Integrali reali esatti
Dimostrare, usando i teoremi sugli integrali che
\(\displaystyle \int_{0}^{\infty}{\frac{t}{e^t-1}\,dt}=\frac{\pi^2}{6} \)
\(\displaystyle \int_{0}^{\infty}{\frac{t}{e^t-1}\,dt}=\frac{\pi^2}{6} \)
Risposte
Ho in mente un rilancio, da cui si suppone anche la soluzione che ho.
Dimostrare, per $x>1$ che
$\int_0^\infty \frac{t^(x-1) dt}{e^t-1} = \Gamma(x) \sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^x}$
Dove $\Gamma(x)$ è proprio la funzione Gamma (di Eulero).
Inoltre, caos81 come firma ha "Cosa distingue un teorico analitico dei numeri da un matematico? La conoscenza dell'Analisi Complessa", quindi sa meglio di me che si può anche andare oltre (es $s$ complesso con $Re(s)>1$)...
Dimostrare, per $x>1$ che
$\int_0^\infty \frac{t^(x-1) dt}{e^t-1} = \Gamma(x) \sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^x}$
Dove $\Gamma(x)$ è proprio la funzione Gamma (di Eulero).
Inoltre, caos81 come firma ha "Cosa distingue un teorico analitico dei numeri da un matematico? La conoscenza dell'Analisi Complessa", quindi sa meglio di me che si può anche andare oltre (es $s$ complesso con $Re(s)>1$)...
"Zero87":
Ho in mente un rilancio, da cui si suppone anche la soluzione che ho.
Dimostrare, per $x>1$ che
$\int_0^\infty \frac{t^(x-1) dt}{e^t-1} = \Gamma(x) \sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^x}$
Dove $\Gamma(x)$ è proprio la funzione Gamma (di Eulero).
Inoltre, caos81 come firma ha "Cosa distingue un teorico analitico dei numeri da un matematico? La conoscenza dell'Analisi Complessa", quindi sa meglio di me che si può anche andare oltre (es $s$ complesso con $Re(s)>1$)...
Bè...ovviamente il caso che ho presentato era un caso particolare della forma integrale della Zeta di Riemann. Il caso particolare, si può dimostrare facilmente anche usando i teoremi sugli integrali dell'analisi complessa. Come hai detto bene la forma integrale converge per \(\displaystyle \Re(s) > 1 \). Nel caso generale e per quanto riguarda il tuo rilancio, basta fare alcune osservazioni seguite da altrettante sostituzioni; ad es partendo da
\(\displaystyle \zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}{\frac{t^{s-1}}{e^t-1}\rm{d}t}=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}{\frac{e^{-t}t^{s-1}}{1-e^{-t}}}\rm{d}t \)
Ora, riconosco la serie geometrica a denominatore \(\displaystyle \frac{1}{1-e^{-t}}=\sum_{k=0}^{\infty}{e^{-kt}} \) per cui posso scrivere
\(\displaystyle \frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}=e^{-t}\sum_{k=0}^{\infty}{e^{-kt}}=\sum_{k=0}^{\infty}{e^{-t(k+1)}}=\sum_{k=1}^{\infty}{e^{-kt}} \) e sostituendo ho
\(\displaystyle \zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}{t^{s-1}\sum_{k=1}^{\infty}{e^{-kt}}\rm{d}t} \)
Utilizzando il metodo della sostituzione (\(\displaystyle kt=x\quad t=\frac{x}{k}\quad dt=\frac{1}{k}dx \)) ho
\(\displaystyle \zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k}\left(\frac{x}{k}\right)^{s-1}e^{-x}}\rm{d}x}=\frac{1}{\Gamma(s)}\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^s}}\int_{0}^{\infty}{e^{-x}x^{s-1}\rm{d}x} \)
ora, poichè \(\displaystyle \Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}{e^{-x}x^{s-1}\rm{d}x} \) posso semplificare la funzione $\Gamma(s)$ a denominatore con l'integrale a numeratore ottenendo
\(\displaystyle \zeta(s)=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^s}} \)
C.V.D.
Rilancio!
Mostrare che
\(\displaystyle \lim_{s\rightarrow 1^{+}}{\left(\zeta(s)-\frac{1}{s-1}\right)}=\gamma \)
dove $\gamma$ è la Costante di Eulero-Mascheroni
\(\displaystyle (\gamma\approx 0,57721...) \)
Mostrare che
\(\displaystyle \lim_{s\rightarrow 1^{+}}{\left(\zeta(s)-\frac{1}{s-1}\right)}=\gamma \)
dove $\gamma$ è la Costante di Eulero-Mascheroni
\(\displaystyle (\gamma\approx 0,57721...) \)
Ricordo nella tesi che avevo scritto una dimostrazione di non so quante facciate che partiva dalla formula della somma di Eulero e che, tra le altre cose, dopo ulteriori calcoli mostrava che
$\gamma=-\int_1^\infty \frac{t-[t]}{t^2}dt+1$
che comunque era corretta
ma, oltre al fatto che non sarebbe giusto riportarla perché lo scopo di questa sezione è quello di spremere le meningi, allora se me ne viene in mente un'altra - magari anche breve - la scrivo.
Buon fine settimana ai forumisti
$\gamma=-\int_1^\infty \frac{t-[t]}{t^2}dt+1$
che comunque era corretta
ma, oltre al fatto che non sarebbe giusto riportarla perché lo scopo di questa sezione è quello di spremere le meningi, allora se me ne viene in mente un'altra - magari anche breve - la scrivo. Buon fine settimana ai forumisti
"Zero87":
Ricordo nella tesi che avevo scritto una dimostrazione di non so quante facciate che partiva dalla formula della somma di Eulero e che, tra le altre cose, dopo ulteriori calcoli mostrava che
$\gamma=-\int_1^\infty \frac{t-[t]}{t^2}dt+1$
che comunque era corretta
Buon fine settimana ai forumisti
Uhm...interessante l'integrale che hai proposto sopra; in effetti è una delle (tante) forme integrali della costante di EM.
Per quanto riguarda il rilancio, è possibile mostrare il valore esatto del limite
\(\displaystyle \lim_{s\rightarrow 1^{+}}{\left(\zeta(s)-\frac{1}{s-1}\right)} \)
in più modi. Il modo classico (che viene proposto) nasce dall'osservazione che la funzione \(\displaystyle \zeta \) di Riemann, ha il seguente sviluppo in Serie di Laurent
\(\displaystyle \zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{j=0}^{\infty}{\frac{(-1)^j}{j!}\gamma_{j}(s-1)^j} \)
dove le costanti \(\displaystyle \gamma_j \) sono le Costanti di Stieltjes (in particolare $\gamma_0=\gamma$, dove $\gamma$ è la Costante di EM). Ora, portando il termine $\frac{1}{s-1}$ a primo membro e facendo il limite destro a uno si ottiene il risultato.
Ovviamente il discorso può essere generalizzato anche alle altre costanti di Stieltjes se, prima del limite derivamo $n$ volte rispetto a $s$, ottenendo
\(\displaystyle \gamma_n=\lim_{s\rightarrow 1^{+}}{\left(\zeta^{(n)}(s)-\frac{(-1)^nn!}{(s-1)^{n+1}}\right)} \)
dove $(n)$ è l'ordine di derivazione rispetto a $s$.
C.V.D.
Nota. Da notare il collegamento tra le derivate della $\zeta$ e le costanti di Stieltjes.
Buon fine settimana anche a te!
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