Integrale improprio $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^2(x)}{\pi^2-x^2} dx$
Buongiorno, sto cercando di risolvere questo integrale, senza usare metodi di analisi complessa:
$$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^2(x)}{\pi^2-x^2} dx$$
Ho provato con il trucco di Feynman ottenendo questo:
$t=\pi+x, \ x=t- \pi, \ dx=dz$
$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^2(x)}{\pi^2-x^2} dx = \int_{\pi}^{\infty} \frac{\sin^2(t)}{t(2\pi-t)} dt$
$I(\alpha )=\int_{\pi}^{\infty} \frac{\sin^2(t)e^{- \alpha t}}{t(2\pi-t)} dt$
$I'(\alpha)=-\int_{\pi}^{\infty} \frac{\sin^2(t)e^{- \alpha t}}{(2\pi-t)} dt$
$$z=t-2\pi, \ t=2\pi + z, \ dt=dz$$
$$I'(\alpha)=e^{-\alpha 2\pi}\int_{-\pi}^{\infty} \frac{\sin^2(z)e^{- \alpha z}}{z} dz$$
$$I''(\alpha)=-e^{-2\alpha \pi} \int_{-\pi}^{\infty} sin^2(z)e^{- \alpha z} dz = -2\frac {e^{-\alpha \pi}}{\alpha^3+a}$$
Ma ora non so come integrare $$I''$$.
$$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^2(x)}{\pi^2-x^2} dx$$
Ho provato con il trucco di Feynman ottenendo questo:
$t=\pi+x, \ x=t- \pi, \ dx=dz$
$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^2(x)}{\pi^2-x^2} dx = \int_{\pi}^{\infty} \frac{\sin^2(t)}{t(2\pi-t)} dt$
$I(\alpha )=\int_{\pi}^{\infty} \frac{\sin^2(t)e^{- \alpha t}}{t(2\pi-t)} dt$
$I'(\alpha)=-\int_{\pi}^{\infty} \frac{\sin^2(t)e^{- \alpha t}}{(2\pi-t)} dt$
$$z=t-2\pi, \ t=2\pi + z, \ dt=dz$$
$$I'(\alpha)=e^{-\alpha 2\pi}\int_{-\pi}^{\infty} \frac{\sin^2(z)e^{- \alpha z}}{z} dz$$
$$I''(\alpha)=-e^{-2\alpha \pi} \int_{-\pi}^{\infty} sin^2(z)e^{- \alpha z} dz = -2\frac {e^{-\alpha \pi}}{\alpha^3+a}$$
Ma ora non so come integrare $$I''$$.
Risposte
Ciao GinoFranco,
Benvenuto sul forum!
La funzione integranda è pari e l'integrale improprio proposto mi risulta essere nullo:
$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin^2(x)}{\pi^2-x^2} \text{d}x = 2 \int_0^{+\infty} \frac{sin^2(x)}{\pi^2-x^2} \text{d}x = 0 $
Benvenuto sul forum!
La funzione integranda è pari e l'integrale improprio proposto mi risulta essere nullo:
$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin^2(x)}{\pi^2-x^2} \text{d}x = 2 \int_0^{+\infty} \frac{sin^2(x)}{\pi^2-x^2} \text{d}x = 0 $
"pilloeffe":
Ciao GinoFranco,
Benvenuto sul forum!
La funzione integranda è pari e l'integrale improprio proposto mi risulta essere nullo:
$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{sin^2(x)}{\pi^2-x^2} \text{d}x = 2 \int_0^{+\infty} \frac{sin^2(x)}{\pi^2-x^2} \text{d}x = 0 $
A me risulta che fa 1
A me viene 12
"kilogrammo":
A me risulta che fa 1
"qualcuno":
A me viene 12
Scusate, mi fate vedere i conti in base ai quali vi risulta rispettivamente $1$ e $12$?
Posto $I(t) := \int_0^{+\infty} sin^2(tx)/(\pi^2 - x^2) \text{d}x $ con $t \ge 0 $, $I(1)$ è l'integrale iniziale proposto ed ovviamente $I(0) = 0 $
Derivando rispetto a $t$ si ha $I'(t) = \int_0^{+\infty} xsin(2tx)/(\pi^2 - x^2) \text{d}x $ ed ovviamente si ha anche $I'(0) = 0 $
$I'(t) = \int_0^{+\infty} xsin(2tx)/(\pi^2 - x^2) \text{d}x = - \int_0^{+\infty}((pi^2 - x^2 - \pi^2)sin(2tx))/(x(\pi^2 - x^2)) \text{d}x = $
$ = - \int_0^{+\infty} (sin(2tx))/x \text{d}x + \pi^2 \int_0^{+\infty}(sin(2tx))/(x(\pi^2 - x^2)) \text{d}x = - pi/2 \text{sgn}(t) + \pi^2 \int_0^{+\infty}(sin(2tx))/(x(\pi^2 - x^2)) \text{d}x = $
$ = - pi/2 + \pi^2 \int_0^{+\infty}(sin(2tx))/(x(\pi^2 - x^2)) \text{d}x $
Derivando ancora $I'(t) $ rispetto a $t$ si ha:
$I''(t) = 2 \pi^2 \int_0^{+\infty}(cos(2tx))/(\pi^2 - x^2) \text{d}x $
con
$I''(0) = 2 \pi^2 \int_0^{+\infty} 1/(\pi^2 - x^2) \text{d}x = \pi[ln|(\pi + x)/(\pi - x)|]_0^{+\infty} = 0$
nel senso del valor principale. Derivando nuovamente rispetto a $t$ si ha:
$I'''(t) = 2\pi^2 \int_0^{+\infty}(- 2 x sin(2tx))/(\pi^2 - x^2) \text{d}x = - 4\pi^2 I'(t) $
Posto per comodità $y(t) := I'(t) $, si ottiene l'equazione differenziale del secondo ordine seguente:
$y''(t) + 4\pi^2 y(t) = 0 $
Quest'ultima equazione differenziale ha soluzione $y(t) = c_1 cos(2\pi t) + c_2 sin(2\pi t) $
Imponendo le condizioni iniziali $y(0) = I'(0) = 0 $ e $y'(0) = I''(0) = 0 $ si ottiene $c_1 = c_2 = 0 $ sicché si ha $y(t) = I'(t) = 0 \implies I(t) = k $, ma siccome $I(0) = 0 $ allora $k = 0 $ come volevasi dimostrare. [tex]\Box[/tex]
$$\int_{0}^{\infty}\frac{sen^{2}x}{\pi^{2}-x^{2}}dx=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}sen^{2}x\left(\frac{1}{\pi-x}+\frac{1}{\pi+x}\right)dx=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{sen^{2}x}{\pi-x}dx+\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{sen^{2}x}{\pi+x}dx$$
$$=-\frac{1}{2\pi}\int_{\pi}^{-\infty}\frac{sen^{2}t}{t}dt+\frac{1}{2\pi}\int_{\pi}^{\infty}\frac{sen^{2}t}{t}dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\pi}\frac{sen^{2}t}{t}dt+\frac{1}{2\pi}\int_{\pi}^{\infty}\frac{sen^{2}t}{t}dt$$
$$
=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{sen^{2}t}{t}dt=0
$$
Integrale di una funzione dispari su un intervallo simmetrico rispetto all'origine.
$$=-\frac{1}{2\pi}\int_{\pi}^{-\infty}\frac{sen^{2}t}{t}dt+\frac{1}{2\pi}\int_{\pi}^{\infty}\frac{sen^{2}t}{t}dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\pi}\frac{sen^{2}t}{t}dt+\frac{1}{2\pi}\int_{\pi}^{\infty}\frac{sen^{2}t}{t}dt$$
$$
=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{sen^{2}t}{t}dt=0
$$
Integrale di una funzione dispari su un intervallo simmetrico rispetto all'origine.
@totissimus : Perfetto, risoluzione elementare e intelligente.
Pilloeffe ha sciacciato una nocciolina con un maglio.
Ginofranco ha addirittura scomodato Feynman.
Pilloeffe ha sciacciato una nocciolina con un maglio.
Ginofranco ha addirittura scomodato Feynman.
"qualcuno":
Pilloeffe ha sciacciato una nocciolina con un maglio.
Ginofranco ha addirittura scomodato Feynman.
Ho semplicemente seguito le indicazioni dell'OP quando ha scritto di volerlo risolvere
"GinoFranco":
con il trucco di Feynman
Comunque la soluzione con Feynman è più generale, perché si dimostra che $I(t) = 0 $ per ogni $t \in \RR $, quello proposto dall'OP si ottiene nel caso particolare $t = 1 $.
Ancora più in generale si può scrivere:
\begin{equation*}
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin^2(tx)}{a^2-x^2} \text{d}x = 2 I(t, a) = 2 \int_0^{+\infty} \frac{\sin^2(tx)}{a^2-x^2} \text{d}x = 0}
\end{equation*}
Quello proposto dall'OP si ottiene nel caso particolare $a = \pi $ e $t = 1 $
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