Indeterminazione di Heisenberg (per gruppi finiti!)

[Martino]

Ciao! Volevo parlarvi di una cosa che per me è nuova, me ne ha parlato un mio amico qualche giorno fa.

Siano [tex]N[/tex] un intero positivo e [tex]G := \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}[/tex] il gruppo (ciclico) delle classi resto modulo [tex]N[/tex]. Chiamiamo [tex]L(G)[/tex] l'insieme delle funzioni [tex]G \to \mathbb{C}[/tex]. [tex]L(G)[/tex] ha un'ovvia struttura di spazio vettoriale su [tex]\mathbb{C}[/tex] (se [tex]c \in \mathbb{C}[/tex] e [tex]f,g \in L(G)[/tex], [tex]f+g[/tex] manda [tex]x[/tex] in [tex]f(x)+g(x)[/tex] e [tex]cf \in L(G)[/tex] manda [tex]x[/tex] in [tex]c f(x)[/tex]) di dimensione [tex]N[/tex] (basta osservare che l'insieme delle funzioni caratteristiche dei punti, [tex]\delta_x[/tex] - che manda [tex]y[/tex] in [tex]1[/tex] se [tex]y = x[/tex] e in [tex]0[/tex] se [tex]y \neq x[/tex] -, è una base). Definiamo

[tex]\hat{G} := \{\chi:G \to \mathbb{C}^{\ast}\ |\ \chi(a+b) = \chi(a)\chi(b)\ \forall a,b \in G\} \subset L(G)[/tex].

Si tratta dell'insieme degli omomorfismi [tex]G \to \mathbb{C}^{\ast}[/tex]. E' facile vedere che ogni [tex]\chi \in \hat{G}[/tex] ha la forma [tex]\chi(k) = \chi_l(k) = e^{2 \pi i (kl/N)}[/tex] dove [tex]l \in \mathbb{Z}[/tex]. E' immediato che [tex]\hat{G}[/tex] è un gruppo, essendo [tex]\chi_l \chi_s = \chi_{l+s}[/tex] e [tex]\chi_l^{-1} = \chi_{-l}[/tex]. La mappa [tex]\mathbb{Z} \to \hat{G}[/tex] che manda [tex]l[/tex] in [tex]\chi_l[/tex] si fattorizza e otteniamo [tex]\hat{G} \cong \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} = G[/tex].

Definiamo in [tex]L(G)[/tex] un prodotto Hermitiano [tex](\cdot,\cdot)[/tex] come segue: [tex](f,g) := \frac{1}{|G|} \sum_{x \in G} f(x) \overline{g(x)}[/tex], dove [tex]\overline{g(x)}[/tex] indica il coniugato di [tex]g(x)[/tex] in [tex]\mathbb{C}[/tex].

Proposizione: [tex]\hat{G}[/tex] e [tex]\{\delta_x\ |\ x \in G\}[/tex] sono basi ortonormali di [tex]L(G)[/tex] su [tex]\mathbb{C}[/tex].

Dimostrazione. Mostrare che la base [tex]\{ \delta_x\ |\ x \in G \}[/tex] è ortonormale è facile. Siccome [tex]\hat{G}[/tex] ha cardinalità [tex]N[/tex], per concludere basta mostrare che è ortonormale (si tratta di algebra lineare standard). Prendiamo [tex]\chi,\chi' \in \hat{G}[/tex]. Se [tex]\chi=\chi'[/tex] allora [tex](\chi,\chi') = \frac{1}{|G|} \sum_{x \in G} \chi(x) \overline{\chi(x)} = \frac{1}{|G|} \sum_{x \in G} |\chi(x)|^2 = \frac{1}{|G|} \sum_{x \in G} 1 = 1[/tex]. Se [tex]\chi \neq \chi'[/tex] e per assurdo [tex]\sum_{x \in G} \chi(x) \overline{\chi'(x)} \neq 0[/tex] allora per ogni [tex]y \in G[/tex], dato che la mappa [tex]G \to G,\ x \mapsto xy[/tex] è una biiezione, otteniamo

[tex]\sum_{x \in G} \chi(x) \overline{\chi'(x)} = \sum_{x \in G} \chi(xy) \overline{\chi'(xy)} = \sum_{x \in G} \chi(x) \overline{\chi'(x)} \chi(y) \overline{\chi'(y)} = \chi(y) \overline{\chi'(y)} \sum_{x \in G} \chi(x) \overline{\chi'(x)}[/tex],

da cui dividendo per [tex]\sum_{x \in G} \chi(x) \overline{\chi'(x)} \neq 0[/tex] abbiamo [tex]\chi(y) \overline{\chi'(y)} = 1[/tex], cioe' [tex]\chi(y) = \chi'(y)[/tex]. Siccome questo vale per ogni [tex]y \in G[/tex] otteniamo [tex]\chi = \chi'[/tex], assurdo. []

Cosa permette di passare dalla base [tex]\{\delta_x\ |\ x \in G\}[/tex] alla base [tex]\hat{G}[/tex]? La trasformata di Fourier! Per ogni [tex]f \in L(G)[/tex] scriviamo [tex]f = \sum_{\chi \in \hat{G}} \hat{f}(\chi) \chi[/tex], in altre parole chiamiamo [tex]\hat{f}(\chi)[/tex] il [tex]\chi[/tex]-esimo coefficiente di [tex]f[/tex] nella base [tex]\hat{G}[/tex]. Abbiamo [tex]f = \sum_{x \in G} f(x) \delta_x = \sum_{\chi \in \hat{G}} \hat{f}(\chi) \chi[/tex]. Esplicitamente, si ha [tex]\hat{f}(\chi) = (f,\chi) = \frac{1}{|G|} \sum_{x \in G} f(x) \overline{\chi(x)}[/tex]. Chiamiamo

[tex]\mathcal{F}: L(G) \to L(\hat{G})[/tex], definita da [tex]\mathcal{F}(f) (\chi) := \hat{f}(\chi)[/tex]. (Trasformata di Fourier).

Esempio: dato [tex]x \in G[/tex] si ha [tex]\hat{\delta_x}(\chi) = \frac{1}{|G|} \overline{\chi(x)}[/tex]. Identificando [tex]\chi_l[/tex] con [tex]l[/tex], abbiamo quindi [tex]\hat{\delta_x}(l) = \frac{1}{|G|} e^{-2 \pi i (lx/N)}[/tex]. In altre parole la trasformata di Fourier tende a mandare funzioni "localizzate" (cioè spesso nulle) in funzioni "oscillanti".

Aggiungo una cosa per la cronaca in spoiler, non necessaria per il seguito.

Abbiamo due importanti rappresentazioni, una di [tex]G[/tex] e una di [tex]\hat{G}[/tex].

Rappresentazione regolare. Dato [tex]x \in G[/tex] sia [tex]R_x:L(G) \to L(G)[/tex] definita da [tex]R_x(f)(y) := f(y-x)[/tex]. E' una rappresentazione unitaria di [tex]G[/tex]: [tex](R_xf,R_xg) = (f,g)[/tex].

Modulazione. Dato [tex]\rho \in \hat{G}[/tex], sia [tex]M_{\rho}: L(\hat{G}) \to L(\hat{G})[/tex] definita da [tex]M_{\rho}(f)(\chi_l) := f(l) \rho(l)[/tex]. E' una rappresentazione unitaria di [tex]\hat{G}[/tex]: [tex](M_{\rho}f,M_{\rho}g) = (f,g)[/tex] per ogni [tex]\rho \in \hat{G}[/tex].

Fissiamo [tex]x \in G[/tex], e indichiamo [tex]M_{\chi_x}[/tex] con [tex]M_x[/tex]. Ciò che lega la rappresentazione regolare e la modulazione è il seguente diagramma commutativo: [tex]\xymatrix{L(G) \ar[r]^{\mathcal{F}} \ar[d]^{R_x} & L(\hat{G}) \ar[d]^{M_{-x}} \\ L(G) \ar[r]^{\mathcal{F}} & L(\hat{G})}[/tex]

In altre parole [tex]\mathcal{F}(R_x f) = M_{-x} (\mathcal{F}(f))[/tex].

Dimostrazione. Si ha

[tex]\mathcal{F}(R_xf)(\chi_l) = (R_xf,\chi_l) = \frac{1}{|G|} \sum_{y \in G} f(y-x) \chi_{-l}(y) =[/tex]
[tex]= \frac{1}{|G|} \sum_{y \in G} f(y) \chi_{-l}(y+x) = \chi_{-l}(x) \cdot \frac{1}{|G|} \sum_{y \in G} f(y) \chi_{-l}(y) =[/tex]
[tex]= \chi_{-l}(x) \hat{f}(l) = \chi_{-x}(l) \hat{f}(l) = M_{-x}(\hat{f})(\chi_l)[/tex]. []

Ora per ogni [tex]f \in L(G)[/tex] definiamo [tex]\text{Supp}(f) := \{x \in G\ |\ f(x) \neq 0\}[/tex] (il "supporto" di [tex]f[/tex], che in qualche modo ne misura la complessità).

Principio di indeterminazione di Heisenberg (per [tex]\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}[/tex]). Sia [tex]G=\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}[/tex] come sopra. Per ogni [tex]0 \neq f \in L(G)[/tex] si ha [tex]|\text{Supp}(f)| \cdot |\text{Supp}(\mathcal{F}(f))| \geq N[/tex].

Non sono ancora in grado di esprimermi sulle interpretazioni fisiche dell'analogo con gli integrali (il "vero" principio di indeterminazione di Heisenberg), ma mi documenterò.

Un esempio importante è il seguente. Dato un sottogruppo [tex]H[/tex] di [tex]G = \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}[/tex], indichiamo con [tex]\delta_H \in L(G)[/tex] la funzione caratteristica di [tex]H[/tex], cioè la funzione che manda [tex]x[/tex] in [tex]1[/tex] se [tex]x \in H[/tex], in [tex]0[/tex] se [tex]x \not \in H[/tex]. Allora è facile mostrare che si ha [tex]|\text{Supp}(\delta_H)|=|H|[/tex] e [tex]|\text{Supp}(\mathcal{F}(\delta_H))| = |G:H| = N/|H|[/tex], da cui segue che [tex]|\text{Supp}(\delta_H)| \cdot |\text{Supp}(\mathcal{F}(\delta_H))| = N[/tex].

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Ora vorrei chiedervi delle cose su due fronti. Il primo fronte è la versione "classica" di questo principio (quella fisica, con gli integrali): lo conoscete? Me lo potete spiegare un po' a parole? Il secondo fronte è questo sui gruppi finiti: siete a conoscenza di risultati relativi a questa versione "discreta" del principio? Per esempio, generalizzazione ai gruppi abeliani non ciclici, generalizzazione ai gruppi non abeliani?

Inserirò qualche referenza spero presto.

[dissonance]

Questo thread è riuscito ad incuriosirmi. Adesso inizio a leggerlo approfonditamente, nel frattempo lascio un link alla pagina di Terence Tao sul principio di indeterminazione di Heisenberg che è (secondo me) una ottima referenza.

http://terrytao.wordpress.com/2010/06/2 ... principle/

EDIT: Ad una prima, rapida e sommaria occhiata mi pare che questa versione del principio di indeterminazione di Heisenberg sia contenuta nel punto 11 (Fourier duality) della trattazione di Tao qui sopra. Infatti il gruppo \( G=\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}\) è certamente abeliano e localmente compatto (con la topologia discreta) e la relativa misura di Haar è semplicemente la misura che conta i punti.

[Rigel1]

Per la versione classica puoi vedere, ad esempio, qui:
http://www.math.unipd.it/~marson/didatt ... enberg.pdf

Detto molto brevemente, in meccanica quantistica, come immagino tu sappia, una particella viene descritta attraverso la sua funzione d'onda, vale a dire una funzione $\psi \in L^2(\mathbb{R}^3, \mathbb{C})$ tale che [tex]\|\psi\|_2 = 1[/tex]; la quantità $|\psi(x)|^2$ è la densità di probabilità per la posizione.
La trasformata di Fourier $\hat{\psi}$ (quella usata dai fisici, con [tex](2\pi\hbar)^{3/2}[/tex] come fattore di normalizzazione) è la densità di probabilità per la quantità di moto.
A questo punto, se definisci la dispersione attorno a $x$ della posizione [tex]\Delta_x \psi := \int_{\mathbb{R}^3} |y-x|^2 |\psi(y)|^2 dy[/tex], e analogamente per $\hat{\psi}$, si può dimostrare il principio di indeterminazione di Heisenberg nella forma
[tex]\Delta_x \psi \cdot \Delta_p \hat{\psi} \geq C\hbar^2.[/tex]

[dissonance]

Ci sono un paio di errorucci nella Proposizione che vorrei segnalare. Metto in spoiler tanto sono technicalities che non aggiungono nulla.

[list=1][*:16z98vyl]Il sistema [tex]\{\delta_g \mid g \in G\}[/tex] è ortogonale ma non mi pare ortonormale. Secondo me il sistema ortonormale giusto è [tex]\{\sqrt{\lvert G \rvert} \delta_g \mid g \in G\}[/tex].[/*:m:16z98vyl]
[*:16z98vyl]

La mappa [tex]x \mapsto xy[/tex] è una biezione...

Detto così pare falso, basta prendere come [tex]y[/tex] lo zero oppure un divisore dello zero... Ma sicuramente intendi dire [tex]x \mapsto x+y[/tex], stai solo cambiando notazioni (solo che se confondi così [tex]+[/tex] e [tex]\cdot[/tex] mi mandi in crisi! ).

In tutti i modi io propongo una dimostrazione alternativa del fatto che il sistema [tex]\{\chi_l \mid l=0\ldots N-1\}[/tex] è ortonormale. Se scriviamo [tex]\omega_N=e^{i \frac{2\pi}{N}}[/tex], le funzioni [tex]\chi_l[/tex] si esprimono come

[tex]$\chi_l(x)=\omega_N^{lx}.[/tex]

Ora osserviamo che, essendo [tex]\omega_N[/tex] una radice [tex]N[/tex]-esima dell'unità, l'aritmetica delle sue potenze è modulo [tex]N[/tex]:

[tex]$\omega_N^k=\omega_N^h \iff k \equiv h \mod N.[/tex]

Per [tex]l_1, l_2 \in G[/tex], posto [tex]m=l_1-l_2[/tex], si ha

[tex]$(\chi_{l_1}, \chi_{l_2})=\frac{1}{\lvert G \rvert} \sum_{x \in G}(\omega_N^m)^x=[/tex]
[tex]$1+\omega_N^m+(\omega_N^m)^2+\ldots+(\omega_N^m)^{N-1}=\begin{cases} 0=\frac{1-(\omega_N^m)^N}{1-\omega_N} & m \ne 0 \mod N \\ \frac{\lvert G \rvert}{\lvert G \rvert} & m \equiv 0 \mod N\end{cases}.[/tex][/*:m:16z98vyl][/list:o:16z98vyl]

[dissonance]

Non sono in grado di aggiungere molto, purtroppo. Qui in sostanza si sta definendo la trasformata di Fourier sui gruppo topologico \(\mathbb{Z} / N\mathbb{Z}\) ottenendo così la relativa versione del principio di indeterminazione (principio che, a sentire Terence Tao, è del tutto generale e presente negli ambiti più disparati). Dettagli tecnici sulla trasformata nei gruppi si trovano qui:

http://terrytao.wordpress.com/2009/04/0 ... transform/

(tra l'altro, vorrei riportare la chiusa di questa pagina che forse a te potrà interessare, Martino, visto il tuo interesse per la geometria algebrica:

Finally, there is an analogue of the Fourier duality relationship between an LCA group $G$ and its Pontryagin dual $\hat G$ in algebraic geometry, known as the Fourier-Mukai transform, which relates an abelian variety $X$ to its dual $\hat X$, and transforms coherent sheaves on the former to coherent sheaves on the latter. This transform obeys many of the algebraic identities that the Fourier transform does, although it does not seem to have much of the analytic structure.

[Martino]

Riesumo per dire che poi su questo argomento ci ho scritto una nota per l'università di Padova, che si può trovare qui (pagine 14 e 15).

[j18eos]

Dopo diverso tempo, mi vengono in mente:
[list=1]
[*:6jksl9mu]le misure di Haar;[/*:m:6jksl9mu]
[*:6jksl9mu]il teorema di Peter-Weyl;[/*:m:6jksl9mu]
[*:6jksl9mu]e l'analisi armonica astratta, in particolare, le generalizzazioni della trasformata di Fourier.[/*:m:6jksl9mu][/list:o:6jksl9mu]

Come riferimenti bibliografici in cui trovare qualcosa:
[list=a]
[*:6jksl9mu]Hall B. C. - Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction;[/*:m:6jksl9mu]
[*:6jksl9mu]Kamnitzer J. - Representation Theory of Compact Groups and Complex Reductive Groups (click).[/*:m:6jksl9mu][/list:o:6jksl9mu]