Grafo di Schreier e amenabilità

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Sia \( G = (V,E)\) il grafo di Cayley del gruppo libero a due elementi \(F_2=F_{\{a,b\}} \).

a) Dimostrate che \( \exists \epsilon > 0\) tale che \( \forall A \subseteq_f V \) risulta che \( \left| \partial A \right| \geq \epsilon \left| A \right| \), dove \( \subseteq_f \) significa sottoinsieme di cardinalità finita e \( \partial A =\{ x \in A : \exists y\in V, y \not\in A \text{ adiacente ad } x, i.e. xy \in E \} \).

b) Spiegare perché questo è equivalente a dire che \(F_2 \curvearrowright F_2\) non è amenabile.
c) Riuscite a trovare un azione di \(F_2\) su un insieme numerabile \(X \subset F_2\) amenabile, transitiva e fedele?

Hint per c)

Dato un gruppo \(G\), un insieme \(X\) e un azione \( G \curvearrowright X \) e un sottoinsieme \(S \subseteq G \) che genera \( G\). Il grafo di Schreier associato il grafo seguente \( V= X\), \(E=X \times S\) dove per ogni \(s \in S \) e per ogni \( x \in X \) abbiamo che c'è un arco che collega \(x\) con \(s \cdot x\).