[Geometria Differenziale] De Rham di $\mathbb{T^n}$
Calcolare
$$H_{DR}^{k}(\mathbb{T}^n)$$
Hint:
$$H_{DR}^{k}(\mathbb{T}^n)$$
Hint:
Risposte
Ma è un esercizio che non sai fare o stai chiedendo all'utenza di farlo? Perché sta davvero in ogni libro che sia mai stato scritto 
Variamo un po' la richiesta: in quanti modi diversi si può fare? Me ne vengono in mente tre
1. Kűnneth: è il modo in cui volevi farlo tu, e dice che \(h^k = \binom{n}{k}\) -in particolare, nessuna coomologia ha torsione-. E' un modo che incidentalmente dice qualcosa anche sulla struttura dell'algebra di coomologia di \(\mathbb{T}^n\) che, per il teorema di Kűnneth stesso (o se vuoi per il fatto che il toro è un gruppo di Lie, e che le algebre di coomologia di un gruppo di Lie sono algebre esterne) dice che \(H^\bullet(\mathbb{T}^n)\) è esattamente \(\bigwedge H^1_\text{dR}(\mathbb{S}^1)\), ovvero \[\mathbb{R}[X_1,\dots, X_n]/\langle X_i^2,\; X_iX_j + X_jX_i \mid i < j\rangle.\] 2. Mayer-Vietoris: si prendono due aperti $U=\mathbb{T}^{n-1}\times ]\epsilon, 1-\epsilon[$ e \(V = \mathbb{T}^{n-1}\times \big( [0,\epsilon[\sqcup ]1-\epsilon,1]\big)\) e si guarda la successione esatta lunga.
3. C'è un fibrato $X\to \mathbb{T}^n$ che permette di usare la successione spettrale di Serre?
Variamo un po' la richiesta: in quanti modi diversi si può fare? Me ne vengono in mente tre
1. Kűnneth: è il modo in cui volevi farlo tu, e dice che \(h^k = \binom{n}{k}\) -in particolare, nessuna coomologia ha torsione-. E' un modo che incidentalmente dice qualcosa anche sulla struttura dell'algebra di coomologia di \(\mathbb{T}^n\) che, per il teorema di Kűnneth stesso (o se vuoi per il fatto che il toro è un gruppo di Lie, e che le algebre di coomologia di un gruppo di Lie sono algebre esterne) dice che \(H^\bullet(\mathbb{T}^n)\) è esattamente \(\bigwedge H^1_\text{dR}(\mathbb{S}^1)\), ovvero \[\mathbb{R}[X_1,\dots, X_n]/\langle X_i^2,\; X_iX_j + X_jX_i \mid i < j\rangle.\] 2. Mayer-Vietoris: si prendono due aperti $U=\mathbb{T}^{n-1}\times ]\epsilon, 1-\epsilon[$ e \(V = \mathbb{T}^{n-1}\times \big( [0,\epsilon[\sqcup ]1-\epsilon,1]\big)\) e si guarda la successione esatta lunga.
3. C'è un fibrato $X\to \mathbb{T}^n$ che permette di usare la successione spettrale di Serre?
Hai ragione killing in effetti sta dappertutto...
Comunque al terzo modo non avevo pensato considerando che non conosco la successione spettrale di Serre
Comunque al terzo modo non avevo pensato considerando che non conosco la successione spettrale di Serre
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