Funzione polinomiale suriettiva $ZZ^m to NN$
Una funzione polinomiale [tex]f: \mathbb{Z}^m \to C \subseteq \mathbb{Z}[/tex] è una funzione con la proprietà che esiste un polinomio [tex]P(X_1,...,X_m) \in \mathbb{Z}[X_1,...,X_m][/tex] tale che [tex]f(z_1,...,z_m) = P(z_1,...,z_m)[/tex] per ogni [tex]z_1,...,z_m \in \mathbb{Z}[/tex].
La domanda che un amico mi ha posto qualche giorno fa è la seguente: qual è il minimo [tex]m[/tex] per cui esiste una funzione polinomiale suriettiva [tex]\mathbb{Z}^m \to \mathbb{N}[/tex]?
Ricordando che [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange's_four-square_theorem]ogni numero naturale è somma di quattro quadrati[/url], possiamo asserire che questo minimo è al più [tex]4[/tex]. Ma che dire di 2 e 3?
Non riesco a capire se si tratta di un problema "davvero" difficile, cosa ne pensate?
La domanda che un amico mi ha posto qualche giorno fa è la seguente: qual è il minimo [tex]m[/tex] per cui esiste una funzione polinomiale suriettiva [tex]\mathbb{Z}^m \to \mathbb{N}[/tex]?
Ricordando che [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange's_four-square_theorem]ogni numero naturale è somma di quattro quadrati[/url], possiamo asserire che questo minimo è al più [tex]4[/tex]. Ma che dire di 2 e 3?
Non riesco a capire se si tratta di un problema "davvero" difficile, cosa ne pensate?
Risposte
Se è per questo, ogni numero naturale è somma di tre numeri triangolari (cf. qui) e restringendoci a valori interi, [tex]\displaystyle \frac{n(n+1)}{2} \ge 0[/tex], quindi il minimo è al più 3.
Sul 2 non so, al momento...
Sul 2 non so, al momento...
Non credo di aver afferrato bene il punto della questione...
Infatti, non è vero che la funzione \(f:\mathbb{Z}\ni x\mapsto x\in \mathbb{N}\) è un'applicazione polinomiale suriettiva?
Infatti, non è vero che la funzione \(f:\mathbb{Z}\ni x\mapsto x\in \mathbb{N}\) è un'applicazione polinomiale suriettiva?
Scusate l'ignoranza ma quella di Gugo è la funzione identica? Perché se così è, non mi pare una funzione di $ ZZ $ in $ NN $.
"Lemniscata":
Scusate l'ignoranza ma quella di Gugo è la funzione identica? Perché se così è, non mi pare una funzione di $ ZZ $ in $ NN $.
Infatti ho scritto una vaccata bella e buona... Scusate.
E grazie per avermelo fatto notare.
"maurer":Perdonami, non ho ben capito.
Se è per questo, ogni numero naturale è somma di tre numeri triangolari (cf. qui) e restringendoci a valori interi, [tex]\displaystyle \frac{n(n+1)}{2} \ge 0[/tex], quindi il minimo è al più 3
L'insieme di partenza è $ZZ^3$, quindi possiamo prendere anche valori interi negativi.
Quale sarebbe questa funzione polinomiale?
Maurer, però il polinomio [tex]\frac{1}{2} x(x+1) + \frac{1}{2} y(y+1) + \frac{1}{2} z(z+1)[/tex] non è in [tex]\mathbb{Z}[X,Y,Z][/tex]. Ma forse in effetti è un po' troppo restrittivo chiedere che i coefficienti del polinomio siano interi.
@Gi8: no, [tex]n(n+1) \ge 0[/tex] per ogni [tex]n \in \mathbb Z[/tex]. La funzione a cui pensavo era quella suggerita da Martino.
Però hai ragione (e mi è venuto in mente mentre ero fuori stasera...), i polinomi vanno presi a coefficienti in [tex]\mathbb Z[/tex]. Ritiro quanto ho detto e torno a pensarci...
Però hai ragione (e mi è venuto in mente mentre ero fuori stasera...), i polinomi vanno presi a coefficienti in [tex]\mathbb Z[/tex]. Ritiro quanto ho detto e torno a pensarci...
"gugo82":
[quote="Lemniscata"]Scusate l'ignoranza ma quella di Gugo è la funzione identica? Perché se così è, non mi pare una funzione di $ ZZ $ in $ NN $.
Infatti ho scritto una vaccata bella e buona... Scusate.
E grazie per avermelo fatto notare.
[/quote]Figurati Gugo, l'avresti di sicuro notato subito anche tu in un altro momento, quindi in realtà la mia correzione era del tutto inutile. Però mettimi nei miei panni: quando mi sarebbe capitata un'altra occasione così? Non capita tutti i giorni che un ignorantone come me corregga un genio! Così ho preso la palla al balzo
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