Funzione Gamma

[fu^2]

Ciao a tutti!
Ecco un esercio per tutti, probabilisti e non per scoprire qualche interessanti disuguaglianza sulle funzioni gamma, che tornano sempre utili.

Provare che per $x>1$ e $a<0$ per cui $x+a>0$, vale che

$(x-1)^a\leq \frac{\Gamma(x+a)}{\Gamma(x)}\leq (x+a)^a$

Usare il fatto che $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$ e che la funzione Gamma e' log-convessa.

Per qualche richiamo sulle funzioni Gamma http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

[Zero87]

Vista la presenza (in linea ) di fu^2 - che saluto - uppo questo problema di cui sarei curioso di vedere la soluzione. L'unica cosa che conosco della funzione $\Gamma$ è la definizione e, al massimo, un paio (proprio 2 di numero) di proprietà.

[j18eos]

@Zero87 Ti do un suggerimento, valido per chiunque: consulta il (baby) Rudin - Principles of Mathematical Analysis.

[fu^2]

"Zero87":Vista la presenza (in linea ) di fu^2 - che saluto - uppo questo problema di cui sarei curioso di vedere la soluzione. L'unica cosa che conosco della funzione $\Gamma$ è la definizione e, al massimo, un paio (proprio 2 di numero) di proprietà.

visto lo scarso successo di questo topic ora che trovo un po' di tempo scrivo una prima disuguaglianza: Upper bound!

Noi vogliamo dimostratre che $\frac{\Gamma(x+a)}{\Gamma(x)}\leq (x+a)^q$ con $x >1$, $a<0$.

poniamo $z=x+a$. Allora usando il fatto che la funzione Gamma è log-convessa otteniamo che, dalla definizione di funzione convessa,
$\log\Gamma(x)\geq \log \Gamma(z) + (x-z)(\log \Gamma)'(z)$
Ora $(\log \Gamma)'(z)=\frac{\Gamma(z)'}{\Gamma(z)}\geq \log (z-1)$ (qui una referenza: http://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function, con le notazioni della referenza, si dimostra che (capitolo "Computation and approximation") $\psi(z)=\frac{\Gamma(z)'}{\Gamma(z)}\in [\log(z-1),\log z]$.

da cui otteniamo

$\log\Gamma(x)\geq \log \Gamma(z) + (x-z)\log(z)$ ovvero $\log\Gamma(z)/\Gamma(x) \leq \log(z-1)^(z-x))$, ovvero la tesi, ovvero che

$\frac{\Gamma(x+a)}{\Gamma(x)}\leq (x+a-1)^a$. Forse avevo dimenticato un -1 nella scrittura inziale per chi vuole posso dire che invece la scrittura del lower bound è giusta.