Funzione derivabile su un intervallo
La questione che presento qui nasce da questo topic e da un successivo scambio di PM con dissonance.
Si pone il seguente
Problema. Data una funzione $f: (a,b) to RR$ derivabile su $(a,b)$, si può dire che $f(x)$ è monotona su qualche sottointervallo di $(a,b)$?
Ci si propone di dimostrare il fatto, se questo è vero; in caso contrario, si chiede di trovare le condizioni sufficienti (precisando se sono anche necessarie) affinchè lo sia.
Non abbiamo (io e dissonance) una soluzione, confidiamo nei vostri pareri e nel vostro aiuto.
Enjoy
Si pone il seguente
Problema. Data una funzione $f: (a,b) to RR$ derivabile su $(a,b)$, si può dire che $f(x)$ è monotona su qualche sottointervallo di $(a,b)$?
Ci si propone di dimostrare il fatto, se questo è vero; in caso contrario, si chiede di trovare le condizioni sufficienti (precisando se sono anche necessarie) affinchè lo sia.
Non abbiamo (io e dissonance) una soluzione, confidiamo nei vostri pareri e nel vostro aiuto.
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Risposte
Se la funzione fosse non costante e la derivata fosse continua in un sub-intervallo l'asserto sarebbe vero, per il teorema della permanenza del segno!
In altre ipotesi bisogna indagare.
In altre ipotesi bisogna indagare.
Esatto, j18eos. Questo è più o meno quanto siamo arrivati a "concludere" io e dissonance.
In realtà, basta un po' di meno che la continuità della derivata: è sufficiente chiedere che esista il limite (anche solo parziale, cioè solo da dx o solo da sx) della derivata in almeno un punto dell'intervallo (per via di un noto teorema sulla regolarità della funzione derivata).
Però non sappiamo se questo è corretto e soprattutto se è anche c.n... Se non esiste nemmeno il limite (parziale) della derivata in un punto, la funzione può comunque essere monotona?
In realtà, basta un po' di meno che la continuità della derivata: è sufficiente chiedere che esista il limite (anche solo parziale, cioè solo da dx o solo da sx) della derivata in almeno un punto dell'intervallo (per via di un noto teorema sulla regolarità della funzione derivata).
Però non sappiamo se questo è corretto e soprattutto se è anche c.n... Se non esiste nemmeno il limite (parziale) della derivata in un punto, la funzione può comunque essere monotona?
Questo risultato citato da Gugo
dovrebbe tornare utile.
(@Paolo: Quando parlavo di "ammennicoli teorici" che non conosciamo, mi riferivo proprio a qualcosa del genere. Certo chiamare "ammennicolo" un teoremone come questo mi pare un po' forte!
)
"gugo82":
Ogni funzione monotona in [tex]$[a,b]$[/tex] è derivabile q.o. (nel senso di Lebesgue) in [tex]$[a,b]$[/tex].
dovrebbe tornare utile.
(@Paolo: Quando parlavo di "ammennicoli teorici" che non conosciamo, mi riferivo proprio a qualcosa del genere. Certo chiamare "ammennicolo" un teoremone come questo mi pare un po' forte!
)
@Paolo90: Costantemente nulla = C.n.? 
"Paolo90":
è sufficiente chiedere che esista il limite (anche solo parziale, cioè solo da dx o solo da sx) della derivata in almeno un punto dell'intervallo (per via di un noto teorema sulla regolarità della funzione derivata).
Scusate se mi intrometto...
Se il limite è positivo o negativo l'ho capito ma se questo limite parziale è uguale a zero?
Piuttosto, il teorema sulla regolarità della funzione derivata sarebbe la proprietà di Darboux?
"j18eos":Condizione necessaria.
@Paolo90: Costantemente nulla = C.n.?
Piuttosto, il teorema sulla regolarità della funzione derivata sarebbe la proprietà di Darboux?@Leonardo: Proprio lui. Anche Paolo lo chiama così. Evidentemente io sono l'unico che non lo conosce con quel nome!!!
Comunque sul fatto del limite che fa zero mi sa che hai ragione. In quel caso non si riesce a concludere nulla, perché per quanto ne sappiamo la derivata potrebbe cambiare segno in ogni intorno e dunque monotonia ciao.
"dissonance":
Evidentemente io sono l'unico che non lo conosce con quel nome!!!
Si vede che non hai studiato sull'Acerbi Buttazzo!
Piuttosto, per derivabile q.o. (?quasi ovunque?) secondo Lebesgue intendi derivabile su tutto l'intervallo tranne che su un insieme di misura nulla?
Alcune considerazioni.
Anzitutto, grazie per le risposte.
dovrebbe tornare utile.
(@Paolo: Quando parlavo di "ammennicoli teorici" che non conosciamo, mi riferivo proprio a qualcosa del genere. Certo chiamare "ammennicolo" un teoremone come questo mi pare un po' forte! )[/quote]
Ho visto il risultato di Gugo... se ho capito bene (non sono molto ferrato su teoria della misura) dice che una funzione monotona in un intervallo è derivabile su tutto l'intervallo tranne al più un sottoinsieme di misura (di Lebesgue) nulla. Giusto?
Se così è, bisognerebbe capire sotto quali ipotesi la proposizione si inverte.
Naturalmente, Leo, hai ragionissima, mi sono dimenticato di precisarlo: il limite deve esistere finito e non nullo.
Quanto alla questione del nome, be', ancora una volta c'è disaccordo: il mio prof chiamava questa proprietà di regolarità "proprietà di Darboux" della derivata; il mio libro di Analisi I invece non dava un nome a questo teorema, riservando la dicitura "di Darboux" al teorema secondo cui la funzione derivata di una funzione derivabile - pur non essendo necessariamente continua - assume, nell'intervallo $(a,b)$, tutti i valori compresi tra $f'(a)$ e $f'(b)$ (forse tu dissonance conosci questa versione dei fatti?).
Anzitutto, grazie per le risposte.
"dissonance":
Questo risultato citato da Gugo
[quote="gugo82"]Ogni funzione monotona in [tex]$[a,b]$[/tex] è derivabile q.o. (nel senso di Lebesgue) in [tex]$[a,b]$[/tex].
dovrebbe tornare utile.
(@Paolo: Quando parlavo di "ammennicoli teorici" che non conosciamo, mi riferivo proprio a qualcosa del genere. Certo chiamare "ammennicolo" un teoremone come questo mi pare un po' forte!
)[/quote] Ho visto il risultato di Gugo... se ho capito bene (non sono molto ferrato su teoria della misura) dice che una funzione monotona in un intervallo è derivabile su tutto l'intervallo tranne al più un sottoinsieme di misura (di Lebesgue) nulla. Giusto?
Se così è, bisognerebbe capire sotto quali ipotesi la proposizione si inverte.
Naturalmente, Leo, hai ragionissima, mi sono dimenticato di precisarlo: il limite deve esistere finito e non nullo.
Quanto alla questione del nome, be', ancora una volta c'è disaccordo: il mio prof chiamava questa proprietà di regolarità "proprietà di Darboux" della derivata; il mio libro di Analisi I invece non dava un nome a questo teorema, riservando la dicitura "di Darboux" al teorema secondo cui la funzione derivata di una funzione derivabile - pur non essendo necessariamente continua - assume, nell'intervallo $(a,b)$, tutti i valori compresi tra $f'(a)$ e $f'(b)$ (forse tu dissonance conosci questa versione dei fatti?).
Forse sto facendo confusione...
Paolo quando dici che il tuo libro non dava un nome a questo teorema a quale teorema ti riferisci?
Io pensavo ti riferissi a quello che il tuo libro chiama di Darboux...
"Paolo90":
il mio libro di Analisi I invece non dava un nome a questo teorema, riservando la dicitura "di Darboux" al teorema secondo cui la funzione derivata di una funzione derivabile - pur non essendo necessariamente continua - assume, nell'intervallo $(a,b)$, tutti i valori compresi tra $f'(a)$ e $f'(b)$ (forse tu dissonance conosci questa versione dei fatti?).
Paolo quando dici che il tuo libro non dava un nome a questo teorema a quale teorema ti riferisci?
Io pensavo ti riferissi a quello che il tuo libro chiama di Darboux...
Scusami, Leo (posso chiamarti Leo? ), non avevo visto il tuo post di sopra.
Comunque, ti spiego com'era organizzato il mio libro di Analisi I (C. Trapani) su questa parte. Dopo tutto il capitolo sulle derivate, dopo i teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy presentava una pagina dal titolo "Proprietà della funzione derivata".
Per prima presentava questa proprietà, chiamandola di Darboux:
"La funzione derivata di una funzione derivabile - pur non essendo necessariamente continua - assume, nell'intervallo $(a,b)$, tutti i valori compresi tra $f'(a)$ e $f'(b)$"
Poi sotto, a mo' di corollario, presenta questo fatto:
Data una funzione $f$ continua in un aperto $I$ e derivabile in $I-{x_0}$ (con $x_0 in I$) se esiste $lim_(x to x_0^-) f'(x) = l_(-)$ allora $f_(-)'(x_0)=l_(-)$ e lo stesso per tutti gli altri casi (da destra e globalmente).
E questo il mio professore lo chiamava (creando non poca confusione) teorema di Darboux. In poche parole, l'ultimo fatto che ho scritto stabilisce che per la funzione derivata essere continua equivale ad avere limite.
Più chiaro ora?
), non avevo visto il tuo post di sopra. Comunque, ti spiego com'era organizzato il mio libro di Analisi I (C. Trapani) su questa parte. Dopo tutto il capitolo sulle derivate, dopo i teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy presentava una pagina dal titolo "Proprietà della funzione derivata".
Per prima presentava questa proprietà, chiamandola di Darboux:
"La funzione derivata di una funzione derivabile - pur non essendo necessariamente continua - assume, nell'intervallo $(a,b)$, tutti i valori compresi tra $f'(a)$ e $f'(b)$"
Poi sotto, a mo' di corollario, presenta questo fatto:
Data una funzione $f$ continua in un aperto $I$ e derivabile in $I-{x_0}$ (con $x_0 in I$) se esiste $lim_(x to x_0^-) f'(x) = l_(-)$ allora $f_(-)'(x_0)=l_(-)$ e lo stesso per tutti gli altri casi (da destra e globalmente).
E questo il mio professore lo chiamava (creando non poca confusione) teorema di Darboux. In poche parole, l'ultimo fatto che ho scritto stabilisce che per la funzione derivata essere continua equivale ad avere limite.
Più chiaro ora?
Ciao Paolo!
Certo che puoi chiamarmi Leo!
Quello che il tuo prof chiama teorema di Darboux l'Acerbi Buttazzo lo considera un corollario al teorema di De L'Hopital!
Comunque all'inizio non avevo pensato a questo per seguire il ragionamento tuo e di dissonance: avevo semplicemente considerato la definizione di limite applicata al limite della derivata.
Piuttosto: perché dici che il limite deve essere finito? Se anche il limite fosse infinito (ma con un segno determinato, non oscillante) otterrei comunque quello che mi serve: un intorno, quindi un intervallo, in cui la derivata è positiva (o negativa) e quindi la funzione è strettamente monotona.
Perché la derivata non può tendere all'infinito ai fini del problema?
Certo che puoi chiamarmi Leo!
Quello che il tuo prof chiama teorema di Darboux l'Acerbi Buttazzo lo considera un corollario al teorema di De L'Hopital!
Comunque all'inizio non avevo pensato a questo per seguire il ragionamento tuo e di dissonance: avevo semplicemente considerato la definizione di limite applicata al limite della derivata.
Piuttosto: perché dici che il limite deve essere finito? Se anche il limite fosse infinito (ma con un segno determinato, non oscillante) otterrei comunque quello che mi serve: un intorno, quindi un intervallo, in cui la derivata è positiva (o negativa) e quindi la funzione è strettamente monotona.
Perché la derivata non può tendere all'infinito ai fini del problema?
"Leonardo89":
Ciao Paolo!
Certo che puoi chiamarmi Leo!
Quello che il tuo prof chiama teorema di Darboux l'Acerbi Buttazzo lo considera un corollario al teorema di De L'Hopital!
Che allegro casino
Bello, non c'è un libro che è d'accordo con un altro: un classico, in Matematica
"Leonardo89":
Comunque all'inizio non avevo pensato a questo per seguire il ragionamento tuo e di dissonance: avevo semplicemente considerato la definizione di limite applicata al limite della derivata.
Piuttosto: perché dici che il limite deve essere finito? Se anche il limite fosse infinito (ma con un segno determinato, non oscillante) otterrei comunque quello che mi serve: un intorno, quindi un intervallo, in cui la derivata è positiva (o negativa) e quindi la funzione è strettamente monotona.
Perché la derivata non può tendere all'infinito ai fini del problema?
Dunque:
1) anche noi (con dissonance) avevamo inizialmente considerato questo: $lim_(x to x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0) = lim_(x to x_0) f'(x)$ dove l'ultima uguaglianza vale sse la derivata prima è continua. Tuttavia, per via del teorema di "non si sa chi"
si può risparmiare un po' e basta chiedere la continuità parziale (basta che la derivata sia continua solo a destra o solo a sinistra)2) la tua osservazione rientra nella questione sulle condizioni necessarie. Noi partiamo supponendo che la funzione sia derivabile in un intervallo (quindi la derivata non può andare all'infinito) e vogliamo capire se la $f$ è monotona in qualche sottointervallo.
Effettivamente il tuo ragionamento è corretto, dunque una funzione può benissimo essere monotona senza essere derivabile e avere derivata continua; anzi, una funzione può essere monotona in un intervallo senza essere nemmeno continua...
"Paolo90":
Noi partiamo supponendo che la funzione sia derivabile in un intervallo (quindi la derivata non può andare all'infinito)
Ci ho ragionato un po' sopra ma non ho trovato né una dimostrazione né un controesempio.
Cioè una funzione derivabile in tutto un intervallo ha la derivata limitata nell'intervallo in questione?
Bada bene Paolo che non stiamo dicendo se la derivata può essere infinita in un punto dell'intervallo (ovviamente no perché la funzione è ivi derivabile) ma se la derivata può non essere limitata cioè se può tendere all'infinito in un punto dell'intervallo, per esempio.
La funzione esponenziale definita sulla retta reale potrebbe essere un possibile controesempio alla tua affermazione però cercavo una funzione la cui derivata tendesse all'infinito in un punto interno all'intervallo di definizione, in un punto finito, intendo.
O forse sono io che mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua...
Mah, forse sono io che sto affogando in una pozzanghera...
Secondo me, il tuo discorso va benissimo su un intervallo illimitato; voglio dire, se la funzione è derivabile su tutto un intervallo illimitato allora la derivata può non essere limitata (qualsiasi polinomio di grado maggiore o uguale al secondo oppure l'esponenziale fanno al caso nostro): questo mi pare corretto.
Però senti, considera un aperto limitato di $RR$, un intervallo $(a,b)$: se io dico la funzione $f$ è derivabile su tutto $(a,b)$ intendo dire che la funzione è derivabile in ogni punto $x_0 in (a,b)$: quindi (per definizione di derivata) esiste finito il limite del rapporto incrementale per ogni $x_0$.
Dunque come può la derivata essere non limitata in $(a,b)$? Se la derivata fosse non limitata in tale intervallo, allora avrei che va all'infinito in prossimità di un punto (chiamamolo $x'$): ma allora $f$ non è derivabile in $x'$.
O no?
Grazie per la tua partecipazione.
Secondo me, il tuo discorso va benissimo su un intervallo illimitato; voglio dire, se la funzione è derivabile su tutto un intervallo illimitato allora la derivata può non essere limitata (qualsiasi polinomio di grado maggiore o uguale al secondo oppure l'esponenziale fanno al caso nostro): questo mi pare corretto.
Però senti, considera un aperto limitato di $RR$, un intervallo $(a,b)$: se io dico la funzione $f$ è derivabile su tutto $(a,b)$ intendo dire che la funzione è derivabile in ogni punto $x_0 in (a,b)$: quindi (per definizione di derivata) esiste finito il limite del rapporto incrementale per ogni $x_0$.
Dunque come può la derivata essere non limitata in $(a,b)$? Se la derivata fosse non limitata in tale intervallo, allora avrei che va all'infinito in prossimità di un punto (chiamamolo $x'$): ma allora $f$ non è derivabile in $x'$.
O no?
Grazie per la tua partecipazione.
Chi ha parlato di derivata limitata? E' facilissimo fabbricare esempi di funzioni derivabili in un intervallo aperto con la derivata non limitata: $\sqrt{x}$ su $(0, 1)$ per dirne una. Ma anche si possono trovare esempi su intervalli compatti (chiaramente la derivata non potrà in questi casi essere continua): il classico
$f(x)=\{(x^2 \sin (1/(x^2)), x!=0), (0, x=0):},\ x \in [-1, 1]$
dovrebbe funzionare.
$f(x)=\{(x^2 \sin (1/(x^2)), x!=0), (0, x=0):},\ x \in [-1, 1]$
dovrebbe funzionare.
Sapevo che stavo annegando in una pozzanghera. Scusate per la cantonata 
@dissonance
Mi era venuta in mente la radice quadrata ma io cercavo un esempio in cui, in un punto interno all'intervallo di definizione, la funzione fosse derivabile ma con derivata non limitata in un intorno del punto stesso, come il tuo secondo esempio, cioè. Il problema è che la derivata della funzione del tuo secondo esempio mi sembra limitata!
Cioè
$f'(x)=\{(2x \sin (1/x) - \cos(1/x), x!=0), (0, x=0):},\ x \in [-1, 1]$
Basta applicare la disuguaglianza triangolare per vedere che questa derivata è limitata in $[-1,1].
@Paolo
Grazie a te per aver iniziato la discussione e per aver fatto venir fuori queste questioni!
E a proposito di cantonate, se tu sapessi cosa fui capace di dire io al mio primo orale di analisi 1! Meglio che taccia!
EDIT: giusto per chiarezza per chi leggerà in futuro questo topic la derivata di cui sopra si riferisce alla funzione
$f(x)=\{(x^2 \sin (1/(x)), x!=0), (0, x=0):},\ x \in [-1, 1]$
Mi era venuta in mente la radice quadrata ma io cercavo un esempio in cui, in un punto interno all'intervallo di definizione, la funzione fosse derivabile ma con derivata non limitata in un intorno del punto stesso, come il tuo secondo esempio, cioè. Il problema è che la derivata della funzione del tuo secondo esempio mi sembra limitata!
Cioè
$f'(x)=\{(2x \sin (1/x) - \cos(1/x), x!=0), (0, x=0):},\ x \in [-1, 1]$
Basta applicare la disuguaglianza triangolare per vedere che questa derivata è limitata in $[-1,1].
@Paolo
Grazie a te per aver iniziato la discussione e per aver fatto venir fuori queste questioni!
E a proposito di cantonate, se tu sapessi cosa fui capace di dire io al mio primo orale di analisi 1! Meglio che taccia!
EDIT: giusto per chiarezza per chi leggerà in futuro questo topic la derivata di cui sopra si riferisce alla funzione
$f(x)=\{(x^2 \sin (1/(x)), x!=0), (0, x=0):},\ x \in [-1, 1]$
Hai ragione Leo. Ho ritoccato l'esempio, adesso dovrebbe andare. Se hai tempo e voglia puoi fare tu le verifiche del caso, per favore? Io purtroppo ho molto da fare...
Splendida funzione, dissonance, adesso funziona perfettamente!
Dopo un giorno di "pausa" che mi sono preso per riposarmi ( ) torno a scrivere, sperando di non dire più scemenze.
Dunque dunque, ricapitoliamo un attimo. Siamo partiti chiedendoci:
"Una funzione derivabile in un intervallo è monotona in qualche sottointervallo?"
Siamo arrivati a affermare quanto segue:
) torno a scrivere, sperando di non dire più scemenze. Dunque dunque, ricapitoliamo un attimo. Siamo partiti chiedendoci:
"Una funzione derivabile in un intervallo è monotona in qualche sottointervallo?"
Siamo arrivati a affermare quanto segue:
- 1. se la derivata è continua, il teorema è vero e la dimostrazione si basa sul teorema di permanenza del segno; [/list:u:2kyoch4f]
- 2. se la derivata non è continua ma esiste non nullo il limite (anche solo parziale) in almeno un punto dell'intervallo, allora la tesi vale ancora, sempre per il teorema della permanenza del segno; notare che il limite può anche essere infinito, basta non sia nullo; [/list:u:2kyoch4f]
- 3. se la derivata non è continua e non ammette limite in nessun punto dell'intervallo, non si può concludere nulla: questa affermazione è da controllare, perchè probabilmente ci manca qualche teorema di Analisi, magari non molto noto; [/list:u:2kyoch4f]
Per quanto concerne l'implicazione inversa, siamo arrivati a concludere quanto segue:
- 1bis. la monotonia non implica "in senso stretto" la derivabilità (una funzione può essere monotona in un intervallo senza nemmeno essere ivi continua); [/list:u:2kyoch4f]
- 2bis. d'altra parte, però, vale il risultato citato da Gugo: una funzione monotona in un intervallo è derivabile quasi ovunque (nel senso di Lebesgue) su tale intervallo.
[/list:u:2kyoch4f]
Che ne dite? Ho detto di nuovo qualche bestialità?
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