Funzione derivabile su un intervallo

[Paolo902]

La questione che presento qui nasce da questo topic e da un successivo scambio di PM con dissonance.

Si pone il seguente

Problema. Data una funzione $f: (a,b) to RR$ derivabile su $(a,b)$, si può dire che $f(x)$ è monotona su qualche sottointervallo di $(a,b)$?

Ci si propone di dimostrare il fatto, se questo è vero; in caso contrario, si chiede di trovare le condizioni sufficienti (precisando se sono anche necessarie) affinchè lo sia.

Non abbiamo (io e dissonance) una soluzione, confidiamo nei vostri pareri e nel vostro aiuto.

Enjoy

[Leonardo891]

@Paolo
Mi sembra che hai fatto un ottimo riepilogo.

Comunque mi piacerebbe sapere qualcosa di più su quel teorema citato da Gugo.

[Rigel1]

Esistono funzioni differenziabili ovunque che non sono monotone su alcun intervallo.
La loro costruzione, che io sappia, non è elementare.

Un esempio si può trovare qui:

Y. Katznelson and Karl Stromberg
"Everywhere Differentiable, Nowhere Monotone, Functions"
The American Mathematical Monthly
Vol. 81, No. 4 (Apr., 1974), pp. 349-354
http://www.jstor.org/stable/2318996

Aggiungo anche il seguente articolo, che si può scaricare liberamente (ma è più tecnico del precedente):
http://www.ams.org/journals/proc/2005-1 ... /home.html

[dissonance]

Ah benissimo, Rigel! Questo risolve completamente la questione.

[Leonardo891]

Grazie anche da parte mia Rigel, anche se non sono certo in grado di comprendere quell'interessante articolo!
Però me lo sono salvato, in attesa che le mie conoscenze aumentino!

[Rigel1]

L'esempio di Katznelson e Stromberg si può seguire con le conoscenze di Analisi 2 (serie di funzioni).
L'altro articolo ripropone quasi parola per parola quell'esempio parlando però di classi di funzioni anziché di una funzione specifica.

Ringrazio Paolo90 e Dissonance per aver proposto questo interessante quesito (io non mi ero mai posto prima il problema).

[Leonardo891]

@Rigel
Il primo articolo non è liberamente leggibile.
Per quanto riguarda il secondo, forse potrei sforzarmi un po' di più ma temo che sia un po' al di sopra delle mie attuali capacità.

Ovviamente mi accodo nel ringraziare Paolo90 e dissonance!

[dissonance]

Gli articoli di JSTOR purtroppo si pagano e tra l'altro i prezzi sono ridicolmente alti. Però può essere che la tua Università abbia una convenzione che ti permetta di leggerli: se hai un account su qualche terminale universitario prova ad accedere, vedi un po' che succede. Lo farei io ma purtroppo il mio account è stato chiuso in seguito ad una mia bravata informatica! Mannaggia.

[Leonardo891]

Ti ringrazio dissonance ma il fatto è che al momento sono piacevolmente sommerso dall'inizio dei corsi (per esempio analisi funzionale ) e sono un po' a corto di tempo.
Comunque, non ti immaginavo un hacker, dissonance!

[Rigel1]

Ho trovato questo link dove P. Perfetti si è preso la briga di tradurre l'articolo in questione:
http://poincare.unile.it/fabio/didattic ... o_monot.ps

[Leonardo891]

Grazie mille Rigel!

[Paolo902]

A quasi un anno esatto, riesumo questo topic perchè ho trovato una cosa interessante al riguardo.
Mi sembra bello proporvelo, anche se non ci ho ancora pensato con calma. E' un problema SNS del IV anno (pag. 3 del file linkato).

Problema.

[*:1e25qkil] Sia $f : [0;2pi] to RR$ una funzione di classe $C^1$. Dimostrare che esiste un intervallo in cui $f$ è monotona.[/*:m:1e25qkil]
[*:1e25qkil] Dimostrare che esiste una successione strettamente crescente di numeri interi positivi $a_n$ tali che la funzione continua
\[\begin{split} f (x) := \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} \sin(a_n x) \end{split} \]
non è monotona su alcun intervallo.[/*:m:1e25qkil]
[*:1e25qkil] Sia $C(0; 2\pi)$ lo spazio delle funzioni continue $f : [0;2\pi] to RR$, dotato della norma del sup. Dimostrare che l’insieme delle funzioni in $C(0;2\pi)$ che non sono monotone su alcun intervallo è denso in $C(0;2\pi)$.[/*:m:1e25qkil][/list:u:1e25qkil]

Va be', il primo punto è ovvio (essendo $f \in C^1$ applico la permanenza del segno: si leggano i primi post di questa discussione).

Ma gli altri due non mi suonano altrettanto ovvi. Il secondo mi pare bello (che $f$ sia continua è facile, Weierstrass ad occhio dovrebbe andare e forse basta prendere $a_n: n mapsto n^2$), ma credo che in particolare il terzo punto sia "sconvolgente".

Che dite?

[dissonance]

Il terzo punto è sicuramente questione di lemma di Baire. In particolare, nello spazio \(C\big( (0, 2\pi) \big)\) ogni intersezione numerabile di aperti densi è densa (perché i complementari sono chiusi con parte interna vuota, quindi la loro unione deve avere parte interna vuota). Ora si tratta di mostrare che questo "insieme delle funzioni che non sono monotone in alcun intervallo" è intersezione numerabile di aperti densi, fatto che a naso (e grazie a vaghe reminescenze di cose sbirciate qua e là) mi pare vero.

[Rigel1]

Non ci ho pensato molto, ma scrivo ugualmente qualche commento che magari può servire da spunto a chi ha voglia di pensarci di più

Conviene concentrarsi sulla classe delle funzioni mai differenziabili; infatti, se una funzione è monotona su qualche intervallo, allora è differenziabile quasi ovunque su tale intervallo.

2) Basta determinare $a_n$ in modo tale che $f$ non sia differenziabile in alcun punto (la costruzione dovrebbe essere analoga a quella della classica funzione di Weierstrass); mi sembra che la scelta suggerita da paolo vada bene.

3) Qui, come già suggerito da dissonance, conviene lavorare col lemma di Baire.
Per $n,m\in NN^+$ possiamo definire l'insieme
$F_{n,m} := \{f\in C(0;2\pi): \text{esiste}\ x\in [0,2\pi]\ \text{t.c.}\ |\frac{f(y)-f(x)}{y-x}| \le n \ \text{se}\ |y-x|<1/m, y\ne x\}$.
Si dimostra abbastanza facilmente che se $f$ è differenziabile in (almeno) un punto, allora $f\in F_{n,m}$ per qualche scelta di $n,m\in\NN^+$.
A questo punto basta dimostrare che gli insiemi $F_{n,m}$ sono chiusi e mai densi in $C(0;2\pi)$, e applicare il lemma di Baire.

[robbstark1]

Provo il terzo punto, con sole conoscenze di analisi 1.

Per evitare perifrasi definisco stramba una funzione continua che non è monotòna su alcun intervallo, normali le altre funzioni continue. Per provare che l'insieme $S$ delle funzioni strambe su $(0,2pi)$ è denso in $C(0,2pi)$ si deve fare vedere che, prese due qualsiasi funzioni di $C(0,2pi)$ distanti $delta$, esiste una funzione stramba che dista da entrambe meno di $delta$. E' giusto?

Se è così, considero due generiche funzioni $f,g in C(0,2pi)$. E' possibile suddividere $(0,2pi)$ in intervalli in cui le funzioni sono entrambe normali, o entrambe strambe o una normale e una stramba. Mi limito a lavorare in uno di questi intervalli.
Si sa dal punto 2 dell'esercizio che esiste almeno una funzione stramba, che chiamo $s$.
Se $f$ e $g$ sono normali nell'intervallo, allora basta prendere la funzione $f+epsilon*s$, dove $epsilon$ è una funzione $C^1$ che è positiva nei punti in cui $fg$ e nulla dove $f=g$, e tale che $|epsilon*s| Se $f$ e $g$ sono entrambe strambe, basta invece usare una funzione $C^1$ al posto della funzione $s$.
Questo tipo di lavoro va fatto in ogni intervallo in cui è necessario suddividere il dominio, l'accordo tra i vari pezzi si ottiene imponendo che le varie $epsilon$ si annullino ai bordi.

Spero di non averne sparate grosse.