Funzione analitica

[Camillo]

Si dimostri che esiste una e una sola funzione $ f $ analitica in un intorno di $ 0 $ che risolve il problema :

$f '(x)= 1+f(x^2)/x $
$ f(0)=0 $

e se ne determini il dominio.

[Cmax1]

Poiché cerchiamo una funzione analitica, è localmente espressa da una serie di potenze convergente $f(x)=\sum_k a_k x^k$. Sostituendo nella relazione e moltiplicando per $x$, $\sum_{k} k*a_k x^k=x+\sum_k a_k x^{2k}$.
La condizione iniziale impone $a_0=0$, ed eguagliando i termini $a_1=1$, e $a_{2m+1}=0$, $(m=1,…)$. Inoltre vale la condizione $2k*a_{2k} = a_k$, quindi se l’indice $j$ ha almeno un divisore dispari $a_j=0$, e gli unici coefficienti della serie non nulli sono quelli il cui indice è una potenza di 2, che, per quanto visto, soddisfano la relazione ricorsiva $a_1=1$, $a_{2^m} = \frac{1}{2^m}a_{2^{m-1}}$, da cui $a_{2^m} = 2^{-{m(m+1)}/2}$. I coefficienti sono univocamente definiti, da cui l’unicità della funzione.
Ad occhio e croce la serie in $f(x)=x+\sum_{m=1}\frac{x^{2^m}}{2^{m(m+1)/2}}$ converge per $|x| \le 1$ (credo che i suoi termini divergano per $|x|>1$, il numeratore si comporta come $2^{ 2^m \log_2 x }$ mentre il denominatore come $2^{m^2}$), che dovrebbe rappresentare il dominio.

[Camillo]

Corretto
l'ho preso dalle prove di ammissione al Dottorato in Matematica della SNS di Pisa.