[Ex] Topologia terra terra

[dan952]

Siano $X$ e $Y$ due spazi topologici e sia $f: X \mapsto Y$ un'applicazione. Si dimostri che $f$ è continua se e solo se risulta $f^{-1}(S°) \sube (f^{-1}S)°$.

Nota: $S°$ indica l'insieme dei punti interni di $S \sube Y$.

[Sk_Anonymous]

\( ( \Longleftarrow ):\) se \(U \subseteq Y\) aperto, \(U^{\circ} = U\). Per ipotesi \( f^{-1} (U^{\circ})=f^{-1} (U) \subseteq (f^{-1} (U))^{\circ} \); del resto è banalmente vero che \(f^{-1} (U) \supseteq (f^{-1} (U))^{\circ}\) e qvindi \(f^{-1} (U) = (f^{-1} (U))^{\circ} \). Pertanto \(f^{-1}(U)\) è aperto.

\((\Longrightarrow ):\) se \(x \in f^{-1} (S^{\circ})\) allora esiste \(y \in S^{\circ}\) t.c. \(f(x)=y\). Ma \(S^{\circ}\) è aperto, quindi esiste anche un \(y \in U_y \subseteq S^{\circ}\) aperto. Siccome \(f\) è continua, \(x \in f^{-1} (U_y) \subseteq f^{-1} (S)\) e infine \(x \in (f^{-1} (S))^{\circ} \).

[dan952]

Ok!

[j18eos]

Rilanci à la Kuratowski!

Sia \(\displaystyle f:X\to Y\) una funzione tra spazi topologici:
[list=1]
[*:3lb1u0fx]\(\displaystyle f\) è continua se e solo se \(\displaystyle\forall Z\subseteq X,\,f\left(\overline{Z}\right)\subseteq\overline{f(Z)}\);[/*:m:3lb1u0fx]
[*:3lb1u0fx]\(\displaystyle f\) è un omeomomorfismo se solo se \(\displaystyle f\) è biettiva e \(\displaystyle\forall Z\subseteq X,\,f\left(\overline{Z}\right)=\overline{f(Z)}\).[/*:m:3lb1u0fx][/list:o:3lb1u0fx]

[dan952]

1.
Sia $Z sub X$, indico con $A^{*}$ la chiusura di $A$, $f$ è continua quindi $f^{-1}(f(A)^{*})$ è chiuso dunque $A^{*} sub f^{-1}(f(A)^{*})$ da cui la tesi.

Prendiamo un chiuso $C$ di $X$, allora $f(f^{-1}(C)^{*}) sub f(f^{-1}(C))^{*}=C$, poiché C è chiuso, quindi $f^{-1}(C)^{*} sub f^{-1}(C)$ cioè $f^{-1}(C)$ è chiuso.

[j18eos]

A parte le notazioni da sistemare; manca il secondo punto!

[dan952]

($\Rightarrow$ seconda condizione ) Poiché $f$ è un omeomorfismo per quello che è stato detto prima, preso $V \in Y$ si ha $f^{-1}(V^{*}) \sube f^{-1}(V)^{*}$ poniamo dunque sia $Z=f^{-1}(V)$ si ha $f(Z^{*}) \sube f(Z)^{*}=V^{*}$ ovvero $f^{-1}(V)^{*} \sube f^{-1}(V^{*})$ ovvero la mezza-tesi, dopo se mi va faccio l'altra mezza.