[EX] Somme di coseni in libertà

[Paolo902]

Esercizio. Si calcoli il valore esatto della somma
\[
1+ \cos\left(\frac{2}{15}\pi\right) + \cos\left(\frac{4}{15}\pi\right) + \ldots + \cos\left(\frac{14}{15}\pi\right)
\]

Bonus. Generalizzare il risultato ottenuto.

E' un esercizio secondo me molto bello, soprattutto per quanto riguarda la generalizzazione. Sono in possesso di una soluzione, che ho elaborato io e che fa uso di "alcuni" strumenti (non dico quali per non svelare tutto ).

Ma non escludo ci siano altre vie, magari più elementari.

[gugo82]

"Paolo90":Esercizio. Si calcoli il valore esatto della somma
\[
1+ \cos\left(\frac{2}{15}\pi\right) + \cos\left(\frac{4}{15}\pi\right) + \ldots + \cos\left(\frac{14}{15}\pi\right)
\]
Bonus. Generalizzare il risultato ottenuto.

Parto, per economia di caratteri, direttamente dal Bonus.

Se la miopia non mi inganna, si chiede di determinare una forma chiusa di:
\[
x(N):=\sum_{n=0}^N \cos \frac{2n \pi}{2N+1}
\]
per ogni fissato \(N\geq 1\).

Ricordato che \(\Re e (\exp (\imath\ n\theta)) =\cos n\theta\), sembra oltremodo giustificato pensare agli addendi di \(x(N)\) come parti reali delle potenze di \(\exp (\imath 2\pi/(2N+1))\) con esponenti \(n=0,\ldots ,N\).
In maniera del tutto analoga, la somma:
\[
y(N):=\sum_{n=0}^N \sin \frac{2n\pi}{2N+1}
\]
coincide con la somma delle parti immaginarie delle potenze di \(\exp (\imath 2\pi/(N+1))\) di esponenti \(n=0,\ldots ,N\).
Conseguentemente:
\[
x(N)=\Re e\left( \sum_{n=0}^N \left( \exp (\imath 2\pi/(N+1))\right)^n\right) \quad \text{e} \quad y(N)=\Im m\left( \sum_{n=0}^N \left( \exp (\imath 2\pi/(N+1))\right)^n\right)
\]
e ciò fornisce:
\[
x(N)+\imath\ y(N)= \sum_{n=0}^N \left( \exp (\imath 2\pi/(N+1))\right)^n\; .
\]
Ne viene che il numero \(z(N):=x(N)+\imath y(N)\) coincide con la ridotta d'indice \(N\) della serie geometrica di ragione \(\varepsilon^2\), ove \(\varepsilon:=\exp \left( \imath \pi/(2N+1) \right)\) è la prima radice \((2N+1)\)-esima primitiva di \(-1\), e perciò:
\[
z(N)=\frac{1-\varepsilon^{2(N+1)}}{1-\varepsilon^2}\; .
\]
Tenendo presente che \(\varepsilon^{2(N+1)} =\varepsilon^{2N+1} \varepsilon =-\varepsilon\), razionalizzando si trova:
\[
\begin{split}
z(N) &= \frac{1+\varepsilon}{(1+\varepsilon)(1-\varepsilon)}\\
&= \frac{1}{1-\varepsilon}\\
&= \frac{1-\overline{\varepsilon}}{\left| 1-\varepsilon\right|^2}
\end{split}
\]
e quindi, sporcandosi un po' le mani con una separazione del reale dall'immaginario:
\[
z(N) = \frac{1}{2}+\imath\ \frac{\sin \frac{\pi}{2N+1}}{2\left( 1-\cos \frac{\pi}{2N+1}\right)}\; .
\]
Ricordate, infine, le definizioni di \(z(N)\), \(x(N)\) ed \(y(N)\) si ottiene:
\[
\sum_{n=0}^N \cos \frac{2n\pi}{2N+1} = \frac{1}{2} \qquad \text{e}\qquad \sum_{n=0}^N \sin \frac{2n\pi}{2N+1} = \frac{\sin \frac{\pi}{2N+1}}{2\left( 1-\cos \frac{\pi}{2N+1}\right)}\; .
\]
In particolare, è notevole il fatto che il valore della somma \(x(N)\) non dipenda in realtà da \(N\), mentre ciò non accade per il valore di \(y(N)\).\(\square\)

Passando all'Esercizio, quanto appena visto importa che la somma dei coseni proposta è uguale a \(\frac{1}{2}\).

P.S.: Non sarebbe stato meglio mettere i seni in libertà?!?

[Paolo902]

Ovviamente, tutto corretto

Mi permetto solo di osservare che un ragionamento del tutto simile permette di determinare il valore esatto di
\[
x(N):=\sum_{n=0}^N \cos(n\theta)
\]
per ogni $\theta \in (0,2\pi)$ e $N$ fissati. Naturalmente, considerando le parti immaginarie anziché quelle reali, è certamente possibile determinare una formula chiusa per l'analoga somma di seni.

Potente, no?
A titolo di cronaca, comunque, è un esercizio tratto dal Lang, Complex Analysis.

P.S.

"gugo82": P.S.: Non sarebbe stato meglio mettere i seni in libertà?!?

LOL