Ex - Costruire una funzione tale che...

[Seneca1]

Propongo questo esercizio (conto di pensarci nei prossimi giorni):

Costruisci una funzione $f in C^(oo)$ (smooth function) positiva sull'insieme dei numeri razionali ed avente un'infinità più che numerabile di zeri.

[Seneca1]

Una mia idea (probabilmente poco utile):

Questa tremenda (!) funzione dovrà necessariamente essere tale che la successione delle derivate $f^(n)$ abbia crescita super esponenziale.
Se supponiamo il contrario, infatti, la $f$ risulta sviluppabile in serie di potenze e sarà $f(x) = sum a_k x^k$. I termini della serie sono un'infinità numerabile e quindi gli zeri di $f$ non potranno mai essere un'infinità più che numerabile.

[albertobosia]

se la richiesta fosse solo la continuità, come si potrebbe fare?

[Rigel1]

Propongo una mia costruzione, più complicata di quanto sia necessario

Come da incipit, questa costruzione è più complicata del necessario perché fa uso del seguente teorema di ricoprimento di Besicovich:

Per ogni \(N\in\mathbb{N}^+\) esiste \( \xi_N \in\mathbb{N}^+\) con la seguente proprietà.
Sia \(\mathcal{F}\) una famiglia di palle chiuse di \(\mathbb{R}^N\), e sia \(A\) l'insieme dei centri. Allora esistono \(\xi_N \) sottofamiglie disgiunte \(\mathcal{F}_1,\ldots,\mathcal{F}_{\xi_N}\subset\mathcal{F}\) al più numerabili tali che
\[ A\subset\bigcup_{i=1}^{\xi_N} \bigcup \mathcal{F}_i.\]

A questo punto, sia \((r_n)_n\) una enumerazione di \(\mathbb{Q}\cap[0,1]\).
Fissato \(\epsilon\in (0, 1/3)\), sia \(\rho_n := \epsilon 2^{-n}\). Applichiamo il teorema di Besicovich all'insieme di palle chiuse \( B_n := \overline{B}_{\rho_n}(r_n)\). In questo modo otteniamo \(\xi = \xi_1\) famiglie disgiunte
\[ \mathcal{F}_i = \{ B^i_n = \overline{B}_{\rho_{n}} (r_{n}): n\in I_i \subset\mathbb{N}\}, \qquad i=1,\ldots,\xi.\]
Definiamo le funzioni
\[ f_i(x) := \sum_{n\in I_i} 2^{-n} \phi\left(\frac{x-r_n}{\rho_n}\right), \qquad i=1,\ldots,\xi,\]
dove
\[ \phi(x) := \begin{cases} e^{1/(x^2-1)}, & \text{se}\ |x| < 1,\\ 0, &\text{se}\ |x| \geq 1. \end{cases} \]
e poniamo infine
\[ f := \sum_{i=1}^{\xi} f_i.\]
Non è difficile dimostrare che:
a) ciascuna delle \(f_i\), e dunque \(f\), è una funzione non negativa di classe \(C^{\infty}(\mathbb{R})\);
b) \(f(r_n) > 0\) per ogni \(n\);
c) \( m(\{x\in [0,1]: f_i(x) = 0\}) \geq 1-2\epsilon\) e, di conseguenza, \( m(\{x\in [0,1]: f(x) = 0\}) \geq 1-2\xi\epsilon\);
d) posto \( g(x) := \sum_{n\in \mathbb{Z}} f(x-n)\), si ha che \( g(q) > 0\) per ogni \( q\in\mathbb{Q}\) e inoltre, per ogni \( n\in\mathbb{Z}\), \( m(\{x\in [n,n+1]: g(x) = 0\}) \geq 1-2(\xi+1)\epsilon\).

La funzione \( g \) fa dunque al caso nostro.

[ViciousGoblin]

Ecco la mia proposta.

Partiamo da una funzione $\eta$ di classe $C^\infty(RR)$ tale che $\eta(x)=0 $ fuori da $[-1/2,1/2]$,
$0\le \eta(x)\le 1 $ per ogni $x$ e $\eta(0)=1$.
Sia inoltre ${q_n}$ una successione che ha come immagine tutti i razionali.

Definisco $f(x):=\sum_{n=1}^\infty 1/n^n \eta(2^n (x-q_n))=\sum_{n=1}^\infty f_n(x),$ dove $f_n(x)=1/n^n \eta(2^n (x-q_n))$

Vediamo che :
1) $f$ è continua: infatti fissato un intervallo $[a,b]$ in $RR$, se $||f_n||_\infty:=\max_{a\le x \le b}|f_n(x)|=1/n^n$ - dato
che $\sum_{n=1}^\infty 1/n^n<+\infty$ la serie è totalmente (e quindi uniformemente) convergente ERGO la sua somma è una funzione continua.
2) $f$ è infinitamente derivabile: infatti $d/ dx f_n(x)=1/n^n 2^n (d/dx \eta)(2^n(x-q_n))$ e allora, ragionando come nel punto 1) si ricava che $\sum_{n=1}^\infty ||f'_n||_\infty<+\infty$ , da cui la serie è derivabile e ha come derivata la serie delle derivate - serve qui che la serie $\sum_n (2/n)^n$ è convergente. Iterando il ragionamento si dimostra la derivabilità di ogni ordine.
3) $f(x)\geq 0$ e $f(q_k)>0$ per ogni $k$ - mi pare evidente
4) $f(x)=0$ se $x\notin A:=\cup_{n\in\NN}[q_n-1/2^{n+1},q_n+1/2^{n+1}]$. Si vede subito che la misura di $A$ è al massimo $1$ dato che la serie $\sum_{n=1}^\infty 1/2^n =1$ e quindi $f$ fa zero sul complementare di un insieme di misura $1$
5) Si potrebbe costruire $f$ in modo che l'insieme su cui $f$ non si annulla abbia misura piccola quanto si vuole.

EDIT vedo che rigel è stato più rapido di me - in effetti l'idea è più o meno la stessa.

[Seneca1]

Complimenti ad entrambi... Era fuori dalla mia portata, probabilmente. Ora le leggo con calma.

[Rigel1]

@VG: la costruzione che hai proposto non fa uso della "complicazione non necessaria" che ho inserito nella mia.
Tale complicazione fa in modo che i supporti dei "razionali cicci" si possano prendere separati (nel senso del numero finito di famiglie separate); in tal modo le funzioni $f_i$, pur essendo definite per serie, sono di fatto somme di funzioni aventi supporto disgiunto.

[ViciousGoblin]

"Rigel":@VG: la costruzione che hai proposto non fa uso della "complicazione non necessaria" che ho inserito nella mia.
Tale complicazione fa in modo che i supporti dei "razionali cicci" si possano prendere separati (nel senso del numero finito di famiglie separate); in tal modo le funzioni $f_i$, pur essendo definite per serie, sono di fatto somme di funzioni aventi supporto disgiunto.

Sì, me n'ero accorto in effetti. Il rovescio della medaglia è che è più complicato per me provare la regolarità di $f$.