[EX] Continuità della norma $L^p$ per $p\to oo$

[gugo82]

Propongo un esercizio grossomodo standard sugli spazi $L^p$ (si trova anche, ad esempio, in Rudin, Analisi Reale e Complessa).

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Siano $(X,\mathcal{M},\mu )$ uno spazio di misura e $p>=1$.
Studiando la teoria degli spazi $L^p$ si nota subito che c'è una sostanziale differenza nella costruzione della norma di $L^p$ nel caso $p Sembrerebbe dunque che tra le norme $L^p$ con $p Quindi la norma $L^oo$ è pensabile come "caso limite" della norma $L^p$ e ciò "giustifica" l'uso del simbolo $||\cdot||_oo$ per denotare qualcosa di molto diverso da un integrale.

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Problema:

Siano $(X,\mathcal{M} ,\mu)$ uno spazio di misura ed $u:X\to CC$ misurabile.

1. Dimostrare che, se $0<\mu (X)<+oo$, allora risulta:

(*) $\quad "maxlim"_(p\to oo) ||u||_p<=||u||_oo<= "minlim"_(p\to oo) ||u||_p$

e dedurne la relazione di limite:

(**) $\quad lim_(p\to oo) ||u||_p=||u||_oo$.

2. Trovare un controesempio a (**) nel caso in cui $\mu (X)=+oo$.

3. Dimostrare che le (*), e quindi la (**), valgono se $\mu (X)=+oo$ a patto di aggiungere la seguente ipotesi:

(S) $\quad exists r>0: u \in L^r(\mu )$

(superflua nel caso di misura positiva finita).

4. Dimostrare che la (**) non vale per alcuna $u$ misurabile nel caso in cui $\mu (X)=0$.

1. Per ottenere la prima delle (*) basta maggiorare coscienziosamente l'integrando in $\int_X |u|^p " d"\mu$; per dimostrare la seconda delle (*) si fissi \(t\in ] 0,\lVert u\rVert_\infty [\), si usi la disuguaglianza di Chebyshev per stimare dal basso $\int_X |u|^p" d"\mu$ e si passi al limite per $t\to ||u||_oo$. La (**) segue immediatamente dalle (*).

2. Suvvia, un po' di fantasia!

3. La dimostrazione data in precedenza per la seconda delle (*) è ancora valida; si usi l'ipotesi (S) per dimostrare la prima delle (*) applicando un'adeguata disuguaglianza (d'interpolazione) tra le norme $||\cdot||_r,||\cdot||_p,||\cdot||_oo$ con $r<=p<+oo$.

4. Determinare esplicitamente $||u||_p$ e $||u||_oo$ nel caso in esame.

[salvozungri]

Grazie Irenze... Non conoscevo questa convenzione, pensavo che $||u||_{\infty}$ fosse una quantità non negativa.. Beh, oggi ho imparato qualcosa di nuovo .