Esplicitare l'angolo

[Gildo_1]

Salve a tutti, sono un nuovo utente. Ho un'equazione in cui la sola incognita è l'angolo ("alfa"):

tan(alfa) = (L-50 + 50*SEN(alfa)-D3*COS(alfa) ) / (D2+O-D1 + 50*COS(alfa)+D3*SEN(alfa) )

Il problema è che l'angolo alfa si trova nelle formule di seno, coseno e tangente. Non ho idea di come esplicitarlo per poter ottenere il suo valore.

[gugo82]

Suppongo che le varie lettere siano delle costanti numeriche (note?).
L'equazione si potrebbe provare a risolvere ricordando che \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) ed usando un po' di algebra lì dove può essere usata.
Altrimenti, usi qualche metodo numerico.

[Pappappero1]

Non vorrei dire fesserie (non ho fatto i conti) ma scrivendo $\tan(\alpha) = \sin(\alpha)/\cos(\alpha)$ e moltiplicando per i denominatori si ottiene un sistema quadratico in $\sin(\alpha)$ e $\cos(\alpha)$.

Mettendo questo a sistema con $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ dovrebbe dare un sistema $2 \times 2$ che, almeno per certe scelte dei parametri dovrebbe avere una sola soluzione.

Per sistemi $2\times 2$ di quadriche si sanno un sacco di cose e potrebbe essere possibile anche trovare il discriminante nello spazio dei parametri in una forma carina.

[Erasmus_First]

"Gildo_":[...]tan(alfa) = (L-50 + 50*SEN(alfa)-D3*COS(alfa) ) / (D2+O-D1 + 50*COS(alfa)+D3*SEN(alfa) )[...]

Non sono sicuro di aver letto l'espressione come tu la intendi.

Supponiamo che sia del tipo
$tan(α) = (A*sin(α) + B*cos(α))/(C*sin(α) + D*cos(α))$
con A, B, C e D costanti.

Se è così, quel che chiedi è facile!
Dividendo numeratore e denominatore del secondo membro per cos(α) ottieni:
$tan(α) = (A*tan(α) + B)/(C*tan(α) + D)$
da cui, moltiplicando entrambi i membri per il denominatore del secondo membro e ponendo [per comodità] $t$ al posto di $tan(α)$, si ricava:
$C*t^2 + D*t = A·t + B$
Questa è una equazione di secondo grado nell'incognita $t = tan(α)$.
Ovviamente le soluzioni dipendono dal valore delle quattro costanti $A, B, C$ e $D$.
E non è nemmeno detto che, in generale, siano sempre reali (cioè che il discriminante dell'equazione non sia negativo).

Supponiamo che una soluzione sia $t = tan(α) = k$.
Allora α è un angolo la cui tangente vale k, ossia $α = arctan(k)$ ±$ nπ$ (con $n$ intero arbitrario (perché la tangente è periodica di periodo $π$).

Ciao ciao

[orsoulx]

Problema più da secondaria che da università: i miei stanchi quattro occhi leggono l'equazione in maniera diversa da Erasmus_First.
$ tan alpha={A+50sin alpha-Bcosalpha}/{C+50cosalpha+Bsin alpha $
Equazione in generale non banale, ma in questo caso risolubile agevolmente grazie alle relazioni fra i coefficienti dei seni e dei coseni. L'approccio, meccanico e brutale, può essere l'uso delle formule parametriche. Posto:
$ tan (alpha/2) =t rarr sin alpha=(2t)/(1+t^2); cos alpha=(1-t^2)/(1+t^2); tan alpha=(2t)/(1-t^2) $.
L'equazione si riduce rapidamente, l'unica accortezza può essere quella di non sviluppare i prodotti, perché il termine$ (1+t^2)$ si semplifica, a: $ (A+B)t^2+2Ct+B-A=0 $
che fornisce le soluzioni $ alpha =2arctan ((-C+- sqrt(C^2+A^2-B^2))/(A+B))+2kpi, (k epsilon Z) $.