Esiste sempre un \( T: X' \to X \) suriettivo?

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Non ho idea di come si faccia, e potrebbe anche essere banale.

Supponiamo che \( X \) sia uno spazio di Banach non riflessivo e \( X'\) il suo duale topologico, è vero che esiste (sempre) un operatore lineare e continuo \( T : X' \to X \) suriettivo?

Uno potrebbe provare a chiarirsi le idee pigliando \( X = L^1\).

[dissonance]

"080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6":
Uno potrebbe provare a chiarirsi le idee pigliando \( X = L^1\).

In quel caso \(T\colon L^\infty \to L^1\). Esiste una mappa suriettiva di \(L^\infty\) in \(L^1\)? Non saprei dimostrarlo, ma mi sembra strano, sospetterei che una tale mappa non esiste. Infatti, ciò implicherebbe che \(L^1\) è isomorfo al quoziente \(L^\infty / \mathrm{ker} T\), e questo potrebbe essere falsificabile con qualche ragionamento di tipi e cotipi: https://ncatlab.org/nlab/show/type+(functional+analysis)

Ma sono cose di cui non so praticamente niente.

[dissonance]

Mi sono appena accorto che il link del mio post precedente viene interpretato male dal parser. Ecco il link corretto.

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Ciao dissonance, grazie. Non ho più pensato a questo problema, me ne si sono presentati altri centomila.

[dissonance]

Ah certo, è così, i problemi non mancano mai. Ho fatto una ricerca su internet, e ho visto che l'idea di usare tipi e cotipi POTREBBE funzionare, ma ci sono una miriade di dettagli da controllare e io non lo farò di sicuro.

[_fabricius_1]

Una domanda per dissonance. Ma tipo e cotipo sono invarianti per norme equivalenti? Perché col ragionamento di sopra si ottiene (mi sembra) solo un isomorfismo e non un'isometria.

[dissonance]

Si, sono invarianti per solo isomorfismo, non serve che ci sia isometria.

[_fabricius_1]

Vero, e pensare che era anche messo in chiaro sulla pagina nCatLab! Mi aveva tratto in errore il ragionare sul caso finito-dimensionale, mentre appunto sono strumenti nati per distinguere gli spazi infinito-dimensionali.