Esercizio topo-algebrico

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Propongo il seguente esercizio che trovo molto bello. Vorrei anche conoscere le vostre reazioni

Fonte: "Introduction to commutative algebra", autori M. F. Atiyah e I. G. Macdonald, Addison-Wesley publishing company, pagina 14 (esercizio 26 del capitolo 1, "Rings and Ideals").

Sia $X$ uno spazio topologico compatto e di Hausdorff. Consideriamo l'anello $C(X)$ delle funzioni continue $X to RR$, con somma e prodotto definite per componenti. Sia $Specmax(C(X))$ l'insieme degli ideali massimali di $C(X)$. Per ogni $x in X$ sia $m_x$ il nucleo della valutazione in $x$: $C(X) to RR$. Mostrare che la funzione

$X to Specmax(C(X))$
$x to m_x$

è ben definita ed è biiettiva.

Hint:

Urysohn

Per chi conoscesse la topologia di Zariski, dare un'interpretazione in tal senso.

In particolare, se i punti sono ideali massimali, mi stavo domandando: cosa perdiamo non considerando gli ideali primi? Forse c'entra il famoso "comportamento di una funzione vicino ad un punto"?

[dissonance]

mmh...arrivo a dimostrare che l'applicazione è ben definita e iniettiva ... e come faccio a dimostrare che è suriettiva ...? dovrei mostrare che ogni ideale massimale in C(X) è un insieme di funzioni che si annullano in un certo punto, e come si fa? buh!

comunque più tardi riprovo, solo però che non riesco a seguirti nelle considerazioni finali (naturalmente per colpa mia, non sono molto ferrato su 'ste cose eh ). Se hai voglia, potresti dilungarti un po' di più? grazie!

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"dissonance":Se hai voglia, potresti dilungarti un po' di più? grazie!

Non chiedo di meglio

Beh, se abbiamo mostrato che in qualche senso $X cong Specmax(C(X))$ allora abbiamo identificato lo spazio compatto di Hausdorff $X$ con l'insieme degli ideali massimali dell'anello $C(X)$ - che sono in particolare primi. Dal punto di vista geometrico abbiamo identificato un punto con l'insieme delle funzioni continue che si annullano in quel punto
Ora la mia domanda è: come si possono pensare gli ideali primi di $C(X)$ che non sono massimali? Dal punto di vista "geometrico", intendo. Questa domanda nasce dal fatto che di solito sono gli ideali primi ad essere pensati come punti.

Dal punto di vista topologico, credo (non l'ho verificato ma lo credo) che la topologia indotta su $Specmax(C(X))$ dalla topologia di Zariski su $Spec(C(X))$ (l'insieme degli ideali primi di $C(X)$) faccia diventare la nostra biiezione un omeomorfismo.

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Se interessa dò un aiuto ulteriore per provare la suriettività. Dato $m \in Specmax(C(X))$ considerare $Sigma = \cap_{f in m} f^{-1}(0)$, prendere un elemento di $Sigma$ e vedere cosa succede.

[fu^2]

Il problema è interessante, ma sono ancora agli albori... Nel senso che più che pensare alla funzione in se, mi sto chiedendo che cosa sono gli ideali in questa situazione...

cioè per fare un esempio un attimo fuori dal problema, se ho l'anello $R$ delle funzioni continue $RR\to\RR$

allora gli ideali massimali di R sono tutti gli ideali $J\sub\R$ tali per cui se I è un altro ideale, allora I=J o I=R.

ok fino alla definizione non c'è problema... se in $R=ZZ$ la situazione è semplice, cioè che gli ideali son tutti quelli nella forma $m.ZZ$ ad esempio e son massimali se m è primo.

Ma se R è l'anello delle funzioni continue da $RR$ in $RR$ per esempio i suoi ideali cosa sono esplicitamente (con le operazioni definite per componenti, come nel problema))? questa è una domanda un pò discostata dal problema ma che mi son posto quando l'ho letto... potreste darmi delle delucidazioni grazie... è interessante questo fatto... se andiamo OT apro un altro topic, però potremmo aprire una parentesi su questa domanda nel caso delle funzioni continue da $RR$ in $RR$, che voglio capire meglio cosa sono questi oggetti ? grazie

[dissonance]

allora gli ideali massimali di R sono tutti gli ideali J∈R tali per cui se I è un altro ideale, allora I={0} o I=R.

vuoi dire, se $JsubI$ allora $I=J$ oppure $I=R$?

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Ciao fu

In realtà uno degli obiettivi del problema in questione è proprio cercare di capire cosa sono gli ideali massimali dell'anello $C(X)$. Una volta dimostrato che $X \cong Specmax(C(X))$ (in particolare la suriettività) avremo mostrato proprio che un ideale massimale è esattamente l'insieme delle funzioni che si annullano in un dato punto.
Quindi in qualche senso la risposta alle tue domande sta nella soluzione del problema che ho posto .. certo non spiega come sono fatti gli ideali massimali di $C^0(RR,RR)$ ma per esempio spiega bene come sono quelli di $C^0([0,1],RR)$. Se prendi l'anello delle funzioni continue da $[0,1]$ a $RR$, un suo ideale massimale corrisponde ad un punto di $[0,1]$ con la corrispondenza descritta. Per esempio l'ideale massimale che corrisponde a $1/2$ è l'insieme delle funzioni continue $[0,1] to RR$ che si annullano in $1/2$.
In realtà a mio avviso avere un'idea intuitiva su queste cose è abbastanza raro. Per questo mi piace questo problema: dà un'idea molto concreta di cosa sono gli ideali massimali in questo caso.

[dissonance]

un' idea per la suriettività (il resto mi sembra più facile, qui lo do per buono). metto in spoiler:

Fissiamo $m$ ideale massimale, $Sigma$ come sopra. Supponiamo che $Sigma$ non sia vuoto, quindi che esista $x_0$ t.c. tutte le funzioni di $m$ si annullino in $x_0$. Supponiamo per assurdo che $m_(x_0)$ non sia contenuto in $m$. Allora esiste $g in m_(x_0)$ t.c. $[g]in C(X)//m$ non è [0], quindi è invertibile (m è massimale quindi il quoziente è un campo). Questo significa che esiste una funzione h t.c. $g*h-=1\ mod\ m$, quindi $g*h-1$ è una funzione in $m$. Allora $g(x_0)*h(x_0)-1=0$ ($x_0inSigma$) ma $ginm_(x_0)$ e perciò $-1=0$. Aggiungiamo che $m_(x_0)$ è un ideale massimale e possiamo concludere che, se $Sigma$ non è vuoto, $m$ è uno degli $m_x$. Resta da dimostrare che nessun ideale massimale può avere $Sigma$ vuoto.

non so quanto possa essere importante... su queste cose non sono ferrato per niente! solo vorrei sapere se può essere una strada oppure se sto perdendo tempo. grazie!

EDIT: ho riscritto tutto, rileggendolo mi sono accorto che non si capiva niente, forse adesso è più chiaro.

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Mi sembra che vada bene...

...anche se era più facile mostrare che $m \subseteq m_{x_0}$ dato che se $f in m$ allora $f(x_0)=0$ e quindi $f in m_{x_0}$

Ora resta da mostrare appunto che...

...$\Sigma$ non è vuoto.

[dissonance]

...ovvero come scoprire l'acqua calda!

[fu^2]

"dissonance":

allora gli ideali massimali di R sono tutti gli ideali J∈R tali per cui se I è un altro ideale, allora I={0} o I=R.

vuoi dire, se $JsubI$ allora $I=J$ oppure $I=R$?

sisi ho scritto male... grazie

@Martino interessante la faccenda, grazie per gli spunti... Ora ci penserò su che la cosa è affascinante, non semplice però

[dissonance]

è vero, molto interessante. Se non lo fosse, a quest'ora non sarei certo qui sopra a postare la mia ultima trovata!
a parte gli scherzi, non è la dimostrazione però potrebbe essere un'idea ...

Se una funzione non si annulla mai, allora è elemento invertibile di $C(X)$. Si può tentare di mostrare che ($Sigma$ vuoto)$Leftrightarrow$(in $m$ c'è una funzione mai nulla)$Leftrightarrow$($m=C(X)$) e quindi che $Sigma$ non è vuoto se $m$ è proprio.
L'idea è questa: se $Sigma$ è vuoto ogni $x inX$ ha una $f in m$ t.c. $f (x)!=0$. Ognuna di queste funzioni è continua e perciò ogni punto dello spazio è contenuto in un aperto su cui una funzione di $m$ non si annulla. Essendo $X$ compatto abbiamo un ricoprimento finito {$U_1 ldots U_n$}, e un sottoinsieme finito di $m$ {$f_1 ldots f_n$} con questa proprietà.
Sicuramente (X è di Hausdorff, compatto, quindi separa i chiusi) ognuno di questi $U_i$ contiene un aperto $V_i$ t.c. le chiusure $bar V_i$ sono 2-2 disgiunte: sfoderiamo allora il lemma di Urysohn e otteniamo {$lambda_1 ldots lambda_n$} continue, $lambda_i(bar V_j)={delta_(ij)}$. La combinazione $lambda_1f_1+ldots+lambda_nf_n$è in $m$ e non si annulla sull'unione dei $barV_i$. Perché non su tutto $X$?ehm... non lo so!:roll:

ciao!

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dissonance, sei molto vicino alla soluzione. E tra l'altro per un certo verso il tuo ragionamento assomiglia molto a quello che avevo fatto io prima di essere illuminato
Per capire meglio quello che succede sarebbe meglio "dualizzare" la definizione di spazio compatto usando i chiusi. E... non serve più usare i cannoni

[dissonance]

Finalmente il topic funziona di nuovo! Per risvegliarlo posto una possibile soluzione:

Dobbiamo dimostrare che la corrispondenza $X->Specmax(X),\ x|->m_x$ è A) ben definita, B) iniettiva, C) suriettiva.

A)Le $x:C(X)->RR$ di sopra sono suriettive, quindi $C(X)//(ker x)~=RR$ e perciò tutti i $ker x=m_x$ sono ideali massimali;

B)Se $x!=y$, allora (Urysohn) esiste una funzione in $C(X)$ che si annulla in x e non in y. Perciò $m_x!=m_y$; (questo è l'unico punto in cui usiamo l'ipotesi che X sia di Hausdorff)

C)Tutti gli ideali massimali di $C(X)$ sono degli $m_x$. Per vederlo consideriamo un ideale $m$ e poniamo $Sigma=nn_(f in m) f^-1(0)$. Risulta che:

c1) Qualsiasi ideale proprio (anche non massimale) ha $Sigma$ non vuoto.
Questo perché X è compatto: infatti ($Sigma=O/$)$=>$({$f^-1(0)|f in m$} non si interseca)$=>$(esiste una famiglia finita {$f_1^-1(0), ldots, f_n^-1(0)$} che non si interseca)$=>$(in $m$ ci sono funzioni $f_1,ldots,f_n$ che non si annullano simultaneamente)$=>$($f_1^2+ldots+f_n^2 in m$ e non si annulla mai)$=>$($m$ contiene un' unità)$=>$($m=C(X)$);

c2)Se $m$ è massimale, allora preso $x in Sigma$ risulta $m sub m_x$, l'altra inclusione perché anche $m_x$ è massimale.

sperando di non aver fatto errori . Resta da verificare che questa corrispondenza è un omeomorfismo se consideriamo $Specmax(C(X))$ come sottospazio di $Spec(C(X))$ con la topologia di Zariski (grazie Martino per le spiegazioni in merito ), cioè il succo del discorso.
Infine c'è da chiarire la questione degli ideali primi, ma non massimali. A questo proposito:

Pure per questi ideali vale il fatto che $Sigma$ non è vuoto. Non è che gli ideali primi sono intersezione di ideali massimali?

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Rieccomi! Finalmente

dissonance, naturalmente la soluzione è ineccepibile

Propongo di omettere lo spoiler se non si parla esplicitamente della soluzione del problema che ho postato

(notare il climax di frasi e di faccine .................................................................................................................................... )

"dissonance":Non è che gli ideali primi sono intersezione di ideali massimali?

Non so, ne dubito: per esempio un'intersezione finita di ideali massimali non è in generale un ideale primo dato che se per esempio $m_1$ e $m_2$ sono massimali e distinti allora $m_1 nn m_2 = m_1m_2$. Quindi se $a_1 in m_1-m_2$ e $a_2 in m_2-m_1$ allora $a_1a_2 in m_1m_2$ ma $a_1$ e $a_2$ non stanno in $m_1m_2$ perché $m_1m_2 = m_1 nn m_2$.
Resterebbe da vedere se è possibile scrivere un ideale primo come intersezione infinita di ideali massimali. Ma a cosa ti servirebbe questo esattamente?

[dissonance]

beh no non ho un'idea precisa... giusto per vedere di fare entrare gli ideali primi nel quadro! In fondo anche il fatto che, semplicemente pensando X compatto, gli ideali propri di C(X) hanno degli zeri comuni a tutti i loro elementi mi pare interessante. Comunque ci penserò nei prossimi giorni (si sarà capito che sono uno studente ... beh domani ho un esame! ). buonanotte!

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"dissonance":beh no non ho un'idea precisa... giusto per vedere di fare entrare gli ideali primi nel quadro! In fondo anche il fatto che, semplicemente pensando X compatto, gli ideali propri di C(X) hanno degli zeri comuni a tutti i loro elementi mi pare interessante. Comunque ci penserò nei prossimi giorni (si sarà capito che sono uno studente ... beh domani ho un esame! ). buonanotte!

Facci sapere come è andata a che anno sei per curiosità?

Intanto propongo un nuovo problema (legato a quello di partenza): per quali anelli $A$ lo spazio topologico $Specmax(A)$ è compatto e di Hausdorff? E inoltre: per quali anelli $A$ l'anello $C(Specmax(A))$ è isomorfo ad $A$?

Ok io le ho buttate lì, ci rifletterò sperando di trovare qualcosa.

[NightKnight1]

"Martino":Dal punto di vista topologico, credo (non l'ho verificato ma lo credo) che la topologia indotta su $Specmax(C(X))$ dalla topologia di Zariski su $Spec(C(X))$ (l'insieme degli ideali primi di $C(X)$) faccia diventare la nostra biiezione un omeomorfismo.

Hai scoperto qualcosa in merito?

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"NightKnight":[quote="Martino"]Dal punto di vista topologico, credo (non l'ho verificato ma lo credo) che la topologia indotta su $Specmax(C(X))$ dalla topologia di Zariski su $Spec(C(X))$ (l'insieme degli ideali primi di $C(X)$) faccia diventare la nostra biiezione un omeomorfismo.

Hai scoperto qualcosa in merito?[/quote]

Sì, è un omeomorfismo. Ti interessava la dimostrazione? Se non ricordo male non ci sono idee particolari per procedere (se non quel lemmino che dice che una funzione continua biiettiva da un compatto ad un hausdorff è un omeomorfismo).

[NightKnight1]

"Martino":Sì, è un omeomorfismo. Ti interessava la dimostrazione? Se non ricordo male non ci sono idee particolari per procedere (se non quel lemmino che dice che una funzione continua biiettiva da un compatto ad un hausdorff è un omeomorfismo).

Il lemmino che citi lo conosco.
Inoltre credo di aver dimostrato che la mappa è continua.

Ma non capisco perché lo spettro massimale $m-Spec(A)$ dell'anello $A=C(X,RR)$ delle funzioni continue da $X$ a $RR$ dovrebbe essere di Haussdorff.

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"NightKnight":Ma non capisco perché lo spettro massimale $m-Spec(A)$ dell'anello $A=C(X,RR)$ delle funzioni continue da $X$ a $RR$ dovrebbe essere di Haussdorff.

Uh hai ragione, ora ricordo che il problema si riconduceva tutto a mostrare che Specmax era di Hausdorff. Per questo in effetti ci vuole qualche idea. Ma non se ne era già parlato?

Sai che ogni ideale massimale è del tipo $m_x$, dove $x in X$ e $m_x$ è l'insieme delle funzioni che si annullano in $x$. Ora se prendi due punti distinti $m_x$ e $m_y$ essi corrispondono ai due punti distinti $x$ e $y$ di $X$, e questi li puoi separare in $X$, diciamo con due aperti $U$ e $V$. Ora tu riesci a costruire (grazie al teorema di Baire, che se non sbaglio abbiamo già citato in questo filone, o no?) due funzioni $f,g$ dentro $C(X,RR)$ tali che $f$ vale $0$ in $U$ e $1$ in $V$, e $g$ vale $0$ in $V$ e $1$ in $U$. In questo modo l'aperto di Zariski di $Spec(C(X,RR))$ che corrisponde al luogo di non annullamento di $f$ (chiamiamolo $D(f)$) contiene $V$, ed analogamente il luogo $D(g)$ di non annullamento di $g$ contiene $U$. Quindi $D(f) nn Specmax(C(X,RR))$ e $D(g) nn Specmax(C(X,RR))$ sono gli aperti cercati.