Esercizio topo-algebrico
Propongo il seguente esercizio che trovo molto bello. Vorrei anche conoscere le vostre reazioni 
Fonte: "Introduction to commutative algebra", autori M. F. Atiyah e I. G. Macdonald, Addison-Wesley publishing company, pagina 14 (esercizio 26 del capitolo 1, "Rings and Ideals").
Sia $X$ uno spazio topologico compatto e di Hausdorff. Consideriamo l'anello $C(X)$ delle funzioni continue $X to RR$, con somma e prodotto definite per componenti. Sia $Specmax(C(X))$ l'insieme degli ideali massimali di $C(X)$. Per ogni $x in X$ sia $m_x$ il nucleo della valutazione in $x$: $C(X) to RR$. Mostrare che la funzione
$X to Specmax(C(X))$
$x to m_x$
è ben definita ed è biiettiva.
Hint:
Per chi conoscesse la topologia di Zariski, dare un'interpretazione in tal senso.
In particolare, se i punti sono ideali massimali, mi stavo domandando: cosa perdiamo non considerando gli ideali primi? Forse c'entra il famoso "comportamento di una funzione vicino ad un punto"?
Fonte: "Introduction to commutative algebra", autori M. F. Atiyah e I. G. Macdonald, Addison-Wesley publishing company, pagina 14 (esercizio 26 del capitolo 1, "Rings and Ideals").
Sia $X$ uno spazio topologico compatto e di Hausdorff. Consideriamo l'anello $C(X)$ delle funzioni continue $X to RR$, con somma e prodotto definite per componenti. Sia $Specmax(C(X))$ l'insieme degli ideali massimali di $C(X)$. Per ogni $x in X$ sia $m_x$ il nucleo della valutazione in $x$: $C(X) to RR$. Mostrare che la funzione
$X to Specmax(C(X))$
$x to m_x$
è ben definita ed è biiettiva.
Hint:
Per chi conoscesse la topologia di Zariski, dare un'interpretazione in tal senso.
In particolare, se i punti sono ideali massimali, mi stavo domandando: cosa perdiamo non considerando gli ideali primi? Forse c'entra il famoso "comportamento di una funzione vicino ad un punto"?
Risposte
"Martino":
Sai che ogni ideale massimale è del tipo $m_x$, dove $x in X$ e $m_x$ è l'insieme delle funzioni che si annullano in $x$. Ora se prendi due punti distinti $m_x$ e $m_y$ essi corrispondono ai due punti distinti $x$ e $y$ di $X$, e questi li puoi separare in $X$, diciamo con due aperti $U$ e $V$. Ora tu riesci a costruire (grazie al teorema di Baire, che se non sbaglio abbiamo già citato in questo filone, o no?) due funzioni $f,g$ dentro $C(X,RR)$ tali che $f$ vale $0$ in $U$ e $1$ in $V$, e $g$ vale $0$ in $V$ e $1$ in $U$. In questo modo l'aperto di Zariski di $Spec(C(X,RR))$ che corrisponde al luogo di non annullamento di $f$ (chiamiamolo $D(f)$) contiene $V$, ed analogamente il luogo $D(g)$ di non annullamento di $g$ contiene $U$. Quindi $D(f) nn Specmax(C(X,RR))$ e $D(g) nn Specmax(C(X,RR))$ sono gli aperti cercati.
Sono arrivato fino a un certo punto, poi mi sono perso.
Comunque provo a riformulare la faccenda:
Sia $A=C(X,RR)$ e sia $Psi \ : \ X -> Specmax(A) \ , \ x |-> {f in A|f(x)=0}$ che sappiamo essere bigettiva.
Voglio far vedere che $Specmax(A)$ è di Hausdorff:
siano $Psi(x),Psi(y) in Specmax(A)$ distinti, con $x,y in X$ distinti.
Come hai fatto tu: esistono $U,V$ aperti in $X$ disgiunti tali che $x in U$, $y in V$, ed esistono $f in A$ tali che $f$ si annulla su $U$ e vale $1$ su $V$, $g$ si annulla su $V$ e vale $1$ su $U$.
Pongo $D(f) = { z in X | f(z) != 0}$ , $D(g) = { z in X | g(z) !=0}$.
Per la continuità $D(f),D(g)$ sono aperti in $X$; inoltre $D(f) supe V$ e $D(g) supe U$.
Ma ora io non capisco come concludi: non mi pare ovvio che $Psi(D(f)),Psi(D(g))$ siano aperti in $Specmax(A)$ nè che siano disgiunti.
Quando ho costruito $D(f)$ e $D(g)$ li ho costruiti in $Specmax(C(X,RR))$, non in $X$. E sono aperti per definizione di topologia di Zariski.
In effetti bisogna manipolarli un po' affinche' siano disgiunti, strano perche' mi pareva che non bisognasse fare grandi cose.
In effetti bisogna manipolarli un po' affinche' siano disgiunti, strano perche' mi pareva che non bisognasse fare grandi cose.
Non serve far vedere che Specmax(A) sia di Hausdorff (forse non è neanche vero).
$X$ spazio topologico compatto e di Hausdorff. $A=C(X,RR)$ anello delle funzioni continue da $X$ a $RR$.
$Spec(A)$ insieme degli ideali primi di $A$, dotato della topologia di Zariski, $Specmax(A)$ insieme degli ideali massimali di $A$, dotato della topologia di sottospazio di $Spec(A)$.
Sia $Psi \ : \ X -> Specmax(A) \ , \ x |-> {f in A|f(x)=0}$ che sappiamo essere bigettiva.
Vogliamo far vedere che è un omeomorfismo.
Per ogni $f in A$ consideriamo i seguenti sottoinsiemi:
$V({f}) = {P in Spec(A) | f in P}$
$P_f \ = Spec(A) - V({f}) = {P in Spec(A) | f notin P}$ insieme dei primi di $A$ che non contengono $f$. (E' aperto in Spec(A))
$M_f \ = Specmax(A) nn P_f \ = {M in Specmax(A) | f notin M}$ insieme dei massimali di $A$ che non contengono $f$. (E' aperto in Specmax(A))
$Y_f \ = {x in X | f(x) != 0} = f^(-1) (RR - {0})$ è aperto in $X$.
Ora considero le famiglie:
$B={P_f}_(f in A)$ è una base della topologia di Zariski su Spec(A). (facile)
$B' = {M_f}_(f in A)$ è una base della topologia di Specmax(A). (segue da sopra)
$B'' = {Y_f}_(f in A)$ è una base della topologia su X (unico punto che resta da dimostrare, ma è vero! cfr Atiyah, Macdonald - Introduction to Commutative Algebra, pag.15).
$Psi$ è continua: basta verificare che la preimmagine tramite $Psi$ di un aperto della base $B'$ è un aperto di $X$: per ogni $f in A$ si ha $Psi^(-1) (M_f) = {x in X | Psi(x) in M_f} = {x in X | f notin Psi(x)} = {x in X | f(x) != 0} = Y_f$ che è aperto in $X$.
$Psi$ è aperta: basta verificare che l'immagine tramite $Psi$ di un aperto della base $B''$ è un aperto di Specmax(A): per ogni $f in A$ $Psi(Y_f) = {Psi(x) in Specmax(A) | x in Y_f } = {Psi(x) in Specmax(A) | f(x) !=0} =$
$ = {Psi(x) in Specmax(A) | f notin Psi(x) } = {M in Specmax(A) | f notin M} = M_f$ che è aperto in Specmax(A).
Quindi resta da far vedere che $B''$ è una base per $X$; adesso sono stanco, ma prometto che ci ripenserò!
$X$ spazio topologico compatto e di Hausdorff. $A=C(X,RR)$ anello delle funzioni continue da $X$ a $RR$.
$Spec(A)$ insieme degli ideali primi di $A$, dotato della topologia di Zariski, $Specmax(A)$ insieme degli ideali massimali di $A$, dotato della topologia di sottospazio di $Spec(A)$.
Sia $Psi \ : \ X -> Specmax(A) \ , \ x |-> {f in A|f(x)=0}$ che sappiamo essere bigettiva.
Vogliamo far vedere che è un omeomorfismo.
Per ogni $f in A$ consideriamo i seguenti sottoinsiemi:
$V({f}) = {P in Spec(A) | f in P}$
$P_f \ = Spec(A) - V({f}) = {P in Spec(A) | f notin P}$ insieme dei primi di $A$ che non contengono $f$. (E' aperto in Spec(A))
$M_f \ = Specmax(A) nn P_f \ = {M in Specmax(A) | f notin M}$ insieme dei massimali di $A$ che non contengono $f$. (E' aperto in Specmax(A))
$Y_f \ = {x in X | f(x) != 0} = f^(-1) (RR - {0})$ è aperto in $X$.
Ora considero le famiglie:
$B={P_f}_(f in A)$ è una base della topologia di Zariski su Spec(A). (facile)
$B' = {M_f}_(f in A)$ è una base della topologia di Specmax(A). (segue da sopra)
$B'' = {Y_f}_(f in A)$ è una base della topologia su X (unico punto che resta da dimostrare, ma è vero! cfr Atiyah, Macdonald - Introduction to Commutative Algebra, pag.15).
$Psi$ è continua: basta verificare che la preimmagine tramite $Psi$ di un aperto della base $B'$ è un aperto di $X$: per ogni $f in A$ si ha $Psi^(-1) (M_f) = {x in X | Psi(x) in M_f} = {x in X | f notin Psi(x)} = {x in X | f(x) != 0} = Y_f$ che è aperto in $X$.
$Psi$ è aperta: basta verificare che l'immagine tramite $Psi$ di un aperto della base $B''$ è un aperto di Specmax(A): per ogni $f in A$ $Psi(Y_f) = {Psi(x) in Specmax(A) | x in Y_f } = {Psi(x) in Specmax(A) | f(x) !=0} =$
$ = {Psi(x) in Specmax(A) | f notin Psi(x) } = {M in Specmax(A) | f notin M} = M_f$ che è aperto in Specmax(A).
Quindi resta da far vedere che $B''$ è una base per $X$; adesso sono stanco, ma prometto che ci ripenserò!
"NightKnight":
$X$ spazio topologico compatto e di Hausdorff. $A=C(X,RR)$ anello delle funzioni continue da $X$ a $RR$.
Per ogni $f in A$ consideriamo i seguenti sottoinsiemi:
$Y_f \ = {x in X | f(x) != 0} = f^(-1) (RR - {0})$ è aperto in $X$.
Ora considero la famiglia:
$B'' = {Y_f}_(f in A)$
...
Quindi resta da far vedere che $B''$ è una base per $X$; adesso sono stanco, ma prometto che ci ripenserò!
Poiché X è compatto e T2 è anche T4 (cioè normale) e quindi si può applicare il lemma di Urysohn.
Per mostrare che B'' è una base della topologia su X, faccio vedere che:
per ogni $Omega$ aperto in X e per ogni punto $omega in Omega$, esiste $f in A$ tale che $omega in Y_f \ subseteq Omega$;
Poiché X è T2, in particolare è T1 e quindi gli insiemi costituiti da un solo punto sono chiusi; considero i chiusi $X - Omega \ , \ {omega}$; essi sono disgiunti, e allora per il lemma di Urysohn esiste una funzione $f in A$ tale che:
$forall x in X - Omega \ , \ f(x)= 0$ e $f(omega)=1$;
quindi $omega in Y_f$ perché $f(omega)=1 != 0$ e $Y_f \ subseteq Omega$ perché $x in Y_f \ => \ f(x) !=0 \ => \ x notin X-Omega \ => \ x in Omega$
A distanza di un anno quasi esatto 
...
Volevo risolvere una questione che era rimasta aperta. Dato uno spazio topologico $X$ compatto e di Hausdorff, lo spazio topologico $"Specmax"(C(X,RR))$ con la topologia di Zariski è di Hausdorff oppure no?
Secondo me sì.
Comunque provo a riformulare la faccenda:
Sia $A=C(X,RR)$ e sia $Psi \ : \ X -> Specmax(A) \ , \ x |-> {f in A|f(x)=0}$ che sappiamo essere bigettiva.
Voglio far vedere che $Specmax(A)$ è di Hausdorff:
siano $Psi(x),Psi(y) in Specmax(A)$ distinti, con $x,y in X$ distinti.
Come hai fatto tu: esistono $U,V$ aperti in $X$ disgiunti tali che $x in U$, $y in V$, ed esistono $f in A$ tali che $f$ si annulla su $U$ e vale $1$ su $V$, $g$ si annulla su $V$ e vale $1$ su $U$.
Pongo $D(f) = { z in X | f(z) != 0}$ , $D(g) = { z in X | g(z) !=0}$.
Per la continuità $D(f),D(g)$ sono aperti in $X$; inoltre $D(f) supe V$ e $D(g) supe U$.
Ma ora io non capisco come concludi: non mi pare ovvio che $Psi(D(f)),Psi(D(g))$ siano aperti in $Specmax(A)$ nè che siano disgiunti.[/quote]Prendiamo $m_x$, $m_y in "Specmax(C(X,RR))$. Dato $h in C(X,RR)$ definiamo
[tex]D(h) := \{m_x \in \mbox{Specmax}(C(X,\mathbb{R}))\ |\ h \not\in m_x\} =[/tex]
[tex]= \{m_x \in \mbox{Specmax}(C(X,\mathbb{R}))\ |\ h(x) \ne 0\}[/tex].
E' noto che gli aperti di $"Specmax"(C(X,RR))$ della forma $D(h)$ formano una base per la topologia di Zariski.
Vogliamo trovare due aperti di base $D(f)$, $D(g)$ di $"Specmax(C(X,RR))$ (dove $f,g in C(X,RR)$) tali che
- $m_x in D(f)$ (ovvero $f(x) ne 0$),
- $m_y in D(g)$ (ovvero $g(x) ne 0$), e
- $D(f) nn D(g) = emptyset$ (ovvero $f*g=0$).
Separiamo $x$ e $y$ nello spazio T2 $X$ con aperti disgiunti $x in U$, $y in V$. Dato che $X$ è normale troviamo due aperti $A$, $B$ in $X$ tali che $x in A subseteq bar(A) subseteq U$, $y in B subseteq bar(B) subseteq V$, e grazie al lemma di Urysohn troviamo:
- una funzione continua $f:X to RR$ che vale 1 in $bar(A)$ e 0 in $X-U$;
- una funzione continua $g:X to RR$ che vale 1 in $bar(B)$ e 0 in $X-V$.
Per costruzione $f*g=0$. Inoltre $f(x) ne 0$ e $g(y) ne 0$, quindi abbiamo finito.
Mi sembra funzionare..
...Volevo risolvere una questione che era rimasta aperta. Dato uno spazio topologico $X$ compatto e di Hausdorff, lo spazio topologico $"Specmax"(C(X,RR))$ con la topologia di Zariski è di Hausdorff oppure no?
Secondo me sì.
"NightKnight":Sono arrivato fino a un certo punto, poi mi sono perso.
[quote="Martino"]Sai che ogni ideale massimale è del tipo $m_x$, dove $x in X$ e $m_x$ è l'insieme delle funzioni che si annullano in $x$. Ora se prendi due punti distinti $m_x$ e $m_y$ essi corrispondono ai due punti distinti $x$ e $y$ di $X$, e questi li puoi separare in $X$, diciamo con due aperti $U$ e $V$. Ora tu riesci a costruire (grazie al teorema di Baire, che se non sbaglio abbiamo già citato in questo filone, o no?) due funzioni $f,g$ dentro $C(X,RR)$ tali che $f$ vale $0$ in $U$ e $1$ in $V$, e $g$ vale $0$ in $V$ e $1$ in $U$. In questo modo l'aperto di Zariski di $Spec(C(X,RR))$ che corrisponde al luogo di non annullamento di $f$ (chiamiamolo $D(f)$) contiene $V$, ed analogamente il luogo $D(g)$ di non annullamento di $g$ contiene $U$. Quindi $D(f) nn Specmax(C(X,RR))$ e $D(g) nn Specmax(C(X,RR))$ sono gli aperti cercati.
Comunque provo a riformulare la faccenda:
Sia $A=C(X,RR)$ e sia $Psi \ : \ X -> Specmax(A) \ , \ x |-> {f in A|f(x)=0}$ che sappiamo essere bigettiva.
Voglio far vedere che $Specmax(A)$ è di Hausdorff:
siano $Psi(x),Psi(y) in Specmax(A)$ distinti, con $x,y in X$ distinti.
Come hai fatto tu: esistono $U,V$ aperti in $X$ disgiunti tali che $x in U$, $y in V$, ed esistono $f in A$ tali che $f$ si annulla su $U$ e vale $1$ su $V$, $g$ si annulla su $V$ e vale $1$ su $U$.
Pongo $D(f) = { z in X | f(z) != 0}$ , $D(g) = { z in X | g(z) !=0}$.
Per la continuità $D(f),D(g)$ sono aperti in $X$; inoltre $D(f) supe V$ e $D(g) supe U$.
Ma ora io non capisco come concludi: non mi pare ovvio che $Psi(D(f)),Psi(D(g))$ siano aperti in $Specmax(A)$ nè che siano disgiunti.[/quote]Prendiamo $m_x$, $m_y in "Specmax(C(X,RR))$. Dato $h in C(X,RR)$ definiamo
[tex]D(h) := \{m_x \in \mbox{Specmax}(C(X,\mathbb{R}))\ |\ h \not\in m_x\} =[/tex]
[tex]= \{m_x \in \mbox{Specmax}(C(X,\mathbb{R}))\ |\ h(x) \ne 0\}[/tex].
E' noto che gli aperti di $"Specmax"(C(X,RR))$ della forma $D(h)$ formano una base per la topologia di Zariski.
Vogliamo trovare due aperti di base $D(f)$, $D(g)$ di $"Specmax(C(X,RR))$ (dove $f,g in C(X,RR)$) tali che
- $m_x in D(f)$ (ovvero $f(x) ne 0$),
- $m_y in D(g)$ (ovvero $g(x) ne 0$), e
- $D(f) nn D(g) = emptyset$ (ovvero $f*g=0$).
Separiamo $x$ e $y$ nello spazio T2 $X$ con aperti disgiunti $x in U$, $y in V$. Dato che $X$ è normale troviamo due aperti $A$, $B$ in $X$ tali che $x in A subseteq bar(A) subseteq U$, $y in B subseteq bar(B) subseteq V$, e grazie al lemma di Urysohn troviamo:
- una funzione continua $f:X to RR$ che vale 1 in $bar(A)$ e 0 in $X-U$;
- una funzione continua $g:X to RR$ che vale 1 in $bar(B)$ e 0 in $X-V$.
Per costruzione $f*g=0$. Inoltre $f(x) ne 0$ e $g(y) ne 0$, quindi abbiamo finito.
Mi sembra funzionare..
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