Esercizio (Teoria analitica dei numeri)

[dan952]

Mostrare che se $p_n$ è l'$n-esimo$, con $n \geq 2$, numero primo allora esistono due costanti $c_1,c_2>0$ tali che:
$$c_1n\log(n)
Edit: chiedo scusa ancora...

[nab2]

Senza scomodare i teoremi dei numeri primi io ho ragionato così.

$c_1 < \frac{p_n}{n\log n} < c_2$

Considerando la condizione $c_1, c_2 > 0$ e considerando che $\mathbb{R}$ è un insieme denso e dato che $0$ è un minorante dell'insieme $A = {\frac{p_n}{n\log n} | n \in \mathbb{N}, n>1}$ ed è l'estremo inferiore ma non è il minimo dell'insieme, si evince che $0 \notin A$, pertanto tra $0$ e $\frac{p_n}{n\log n}$ è sempre possibile determinare un numero $c_1$ appartenente all'intervallo $(0, \frac{p_n}{n\log n})$. Ovviamente l'ho sottinteso, $\frac{p_n}{n\log n}$ è sempre positivo.

Per quanto riguarda $c_2$, essendo $\mathbb{R}$ infinito non vedo perchè non debba esistere un numero maggiore di $\frac{p_n}{n\log n}$.

[j18eos]

@dan95 Fose volevi scrivere che:
\[
\exists0 \]

[dan952]

Scusate sì, ho scritto male ora modifico

[Studente Anonimo]

Nab, il tuo ragionamento non può essere giusto perché funzionerebbe con qualsiasi cosa al posto di $n log(n)$ le due stime $c_1,c_2$ non devono dipendere da $n$, cioè devono valere per ogni $n$, mentre se rileggi il tuo argomento è implicito che fissi un $n$ in partenza (cosa che non puoi fare).

[dan952]

Sono d'accordo con martino, l'approccio non è quello giusto, le costanti in questo modo non è detto che siano fisse, inoltre la soluzione non fa riferimento in alcun modo alla natura del problema.