Esercizio sulle radici di polinomi
Questo esercizio me lo sono inventato applicando una idea trovata studiando un po'.... Volevo chiedervi se la dimostrazione era corretta e se il risultato è più banale di come mi viene (per le cose ottenute studiando succede sempre così 
)
Ex: Siano $p(x)$ e $q(x)$ polinomi in $F[x]$, dove $F$ è un campo. Prendiamo $K$ il campo di spezzamento di questi polinomi e siano $p_1,...,p_n$ e $q_1,...q_k$ le loro radici, che supponiamo distinte tra di loro (nel senso che non si hanno radici multiple) e non appartenti ad $F$. Supponiamo inoltre che i due polinomi abbiano in comune una radice $a=p_i=q_j$. Allora i due polinomi hanno in comune almeno un'altra radice.
SOl: supponiamo per assurdo che l'unica radice comune sia $a$. Questo vuol dire che il m.c.d. tra $p(x)$ e $q(x)$ visti come polinomi in $K[x]$ è proprio $(x-a)$.
Ora se due polinomi hanno fattori in comune in $K[x]$, allora hanno qualche fattore comune in $F[x]$. Verifichiamolo. Se per assurdo fossero primi in $F[x]$ esisterebbero polinomi $t(x)$ u $u(x)$ t.c. $a(x)t(x)+p(x)u(x)=1$. Essendo questo relazione valida anche in $K[x]$ i due polinomi non avrebbero fattori comuni in $K[x]$. Contraddizione.
Quindi $p(x)$ e $q(x)$ hanno m.c.d. non banale $f(x)$ anche in $F[x]$. Ma $f(x) |(x-a)$ per definizione e quindi $f(x)=(x-a)$. Questo implica che $a$ è in $F$. Contraddizione. Quindi esistono anche altre radici comuni ai due polinomi.
)Ex: Siano $p(x)$ e $q(x)$ polinomi in $F[x]$, dove $F$ è un campo. Prendiamo $K$ il campo di spezzamento di questi polinomi e siano $p_1,...,p_n$ e $q_1,...q_k$ le loro radici, che supponiamo distinte tra di loro (nel senso che non si hanno radici multiple) e non appartenti ad $F$. Supponiamo inoltre che i due polinomi abbiano in comune una radice $a=p_i=q_j$. Allora i due polinomi hanno in comune almeno un'altra radice.
SOl: supponiamo per assurdo che l'unica radice comune sia $a$. Questo vuol dire che il m.c.d. tra $p(x)$ e $q(x)$ visti come polinomi in $K[x]$ è proprio $(x-a)$.
Ora se due polinomi hanno fattori in comune in $K[x]$, allora hanno qualche fattore comune in $F[x]$. Verifichiamolo. Se per assurdo fossero primi in $F[x]$ esisterebbero polinomi $t(x)$ u $u(x)$ t.c. $a(x)t(x)+p(x)u(x)=1$. Essendo questo relazione valida anche in $K[x]$ i due polinomi non avrebbero fattori comuni in $K[x]$. Contraddizione.
Quindi $p(x)$ e $q(x)$ hanno m.c.d. non banale $f(x)$ anche in $F[x]$. Ma $f(x) |(x-a)$ per definizione e quindi $f(x)=(x-a)$. Questo implica che $a$ è in $F$. Contraddizione. Quindi esistono anche altre radici comuni ai due polinomi.
Risposte
Per ipotesi devi considerare che $p,q$ non abbiano radici in $F$.
Ho paura tuttavia che ci sia un motivo piu' facile per cui questo e' vero. Se $p,q$ sono non hanno radici in $F$ e $a$ e' una radice comune, allora il $a$ non sta in $F$. Sia $f$ il polinomio minimo di $a$. Allora per definizione di polinomio minimo $f$ divide sia $p$ che $q$ e il suo grado e' maggiore di $1$ perche' $a \notin F$. Una qualunque altra radice di $f$ e' radice anche di $p$ e $q$.
Resta tuttavia il fatto che esistono campi in cui alcuni polinomi irriducibili che hanno radici coincidenti in qualche estensione. In questo caso puoi trovare polinomi $p,q$ che non hanno radici in $F$ e hanno una sola radice in comune in qualche estensione.
In ogni caso, la dimostrazione del fatto che un polinomio minimo di un elemento $a$ divide ogni polinomio che ha $a$ come radice usa esattamente il tuo stesso argomento con il $MCD$ che usi tu...quindi in pratica hai ridimostrato questo fatto.
Ho paura tuttavia che ci sia un motivo piu' facile per cui questo e' vero. Se $p,q$ sono non hanno radici in $F$ e $a$ e' una radice comune, allora il $a$ non sta in $F$. Sia $f$ il polinomio minimo di $a$. Allora per definizione di polinomio minimo $f$ divide sia $p$ che $q$ e il suo grado e' maggiore di $1$ perche' $a \notin F$. Una qualunque altra radice di $f$ e' radice anche di $p$ e $q$.
Resta tuttavia il fatto che esistono campi in cui alcuni polinomi irriducibili che hanno radici coincidenti in qualche estensione. In questo caso puoi trovare polinomi $p,q$ che non hanno radici in $F$ e hanno una sola radice in comune in qualche estensione.
In ogni caso, la dimostrazione del fatto che un polinomio minimo di un elemento $a$ divide ogni polinomio che ha $a$ come radice usa esattamente il tuo stesso argomento con il $MCD$ che usi tu...quindi in pratica hai ridimostrato questo fatto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo