Esercizio su un'equazione diofantea

[mklplo751]

Salve, in questo periodo, in attesa dell'inizio dell'università, mi ero messo a cercare qualcosa per passare un po' di tempo e ho trovato un "esercizio" interessante, ma che si è rivelato non proprio facile. In sostanza era la soluzione di alcuni equazioni diofantee. L'equazione era questa: $x^3-y^2=2$ nel campo dei numeri interi. Trovare una soluzione è stato facile, dimostrare che le due soluzioni trovate sono uniche era qualcosa che non seppi fare e che cercai su internet. Visto quel metodo, decisi di prendere il caso generale $x^3-y^2=k$ tutti e tre interi e vedere quando questa equazione ammette soluzioni e quante sono. Io ho provato a risolverlo da solo, ma non sono sicuro di aver fatto bene. Spero che la sezione del forum sia corretta.
Comunque metto sotto spoiler la soluzione (parziale) che non so se è corretta, in caso qualcuno volesse presentare un altro modo per risolverla (che poi il fatto di non sapere se la soluzione sia o meno corretta la dice tutto su quanto credo che qualcuno si faccia influenzare da essa, ma per correttezza la metto sotto spoiler).

Allora:
(1)Se $-k$ è un quadrato perfetto abbiamo come soluzioni $(0,+sqrt(-k))$ e $(0,-sqrt(-k))$
(2)Se $k$ è un cubo perfetto abbiamo come soluzione $(k^(1/3),0)$
(3) Ora, per continuare, passo da considerare l'equazione non più in $ZZ$ ma in $ZZ[sqrt(-k)]$ e quindi scrivo $x^3=(y-sqrt(-k))*(y+sqrt(-k))$. Ora, se il prodotto di due termini primi fra loro è un cubo, significa che i due termini sono a loro volta dei cubi e dunque $y+sqrt(-k)=(a+b*sqrt(-k))^3$ e quindi sviluppando abbiamo $y=a^3-3kab^2$ e $1=b(3a^2-b^2*k)$, ora le uniche soluzioni intere della seconda sono per $b=1$ e $b=-1$ e quindi $a=sqrt((1+k)/3)$ o $a=-sqrt((1+k)/3)$. Trovati i valori di $a$ e $b$ ricaviamo che $x=a^2+b^2*k$ e quindi $x=a^2+b^2*k=(4k+1)/3$, mentre $y=sqrt((1+k)/3)*((1+k)/3-3k)$ e $y=-sqrt((1+k)/3)*((1+k)/3-3k)$. Ora, la soluzione è intera se il termine sotto radice è un quadrato perfetto e dunque pongo $k=3n^2-1$ dove $n$ è un numero intero. Facendo questa sostituzione abbiamo $y=n(3-8n^2)$ e $y=n(8n^2-3)$ e $x=4n^2-1$. Essendo queste le uniche soluzioni in $ZZ[sqrt(-k)]$ ed essendo anche soluzioni in $ZZ$ allora sono le uniche soluzioni in $ZZ$.
(4) La soluzione non è completa, infatti prendendo $k=996$ ho che non è possibile trovare interi nella forma che ho espresso prima, tuttavia $x=10$ e $y=2$ soddisfano l'equazione $x^3-y^2=996$ e questo mi fa pensare che forse quelle non sono le uniche formule che permettono di esprimere $x$ e $y$ in funzione di $k$ e quindi addio all'unicità. Purtroppo non so dove è presente l'errore.

[hydro1]

Questo è un problema "classico" di teoria algebrica dei numeri. Sicuramente per qualche $k$ piccolo è stato assegnato innumerevoli volte come esercizio nei corsi universitari. L'idea che hai scritto è quella giusta, ma non funziona per ogni $k$. La parte delicata dell'argomento è il dire che "se il prodotto di due termini coprimi è un cubo allora i due termini sono cubi". Questo è vero in $\mathbb Z$, ma negli anelli della forma $\mathbb Z[\sqrt{-k}]$ è più complicato di così, per 2 motivi: 1) non sono necessariamente a fattorizzazione unica e 2) possono esistere infiniti elementi invertibili (questo succede se e solo se $-k>0$). Ad esempio, prendi il caso in cui $k=-2$, sicchè $x^3=(y+\sqrt{2})(y-\sqrt{2})$. Qua $\mathbb Z[\sqrt{2}]$ ha fattorizzazione unica, quindi se $y\pm\sqrt{2}$ sono coprimi cosa puoi concludere? Beh, che entrambi sono cubi a meno di unità. Questo vuol dire che $y+\sqrt{2}=\pm\varepsilon^n(a+b\sqrt{2})^3$ per qualche $n,a,b\in \mathbb Z$ e $\varepsilon=1+\sqrt{2}$. Quindi vedi bene che la faccenda può essere ben più complicata.

Geometricamente, quello che vorresti fare è trovare i punti a coordinate intere sulla curva ellittica $x^3-y^2=k$. C'è un teorema di Siegel che dice che ce n'è solo un numero finito, ed esistono teoremi che dicono cose del tipo "se $(x,y)$ è una soluzione, allora $|x|\leq C\cdot |k|^3$ per qualche costante $C$." Ma per il momento non esiste una risposta chiusa per ogni $k$.

[mklplo751]

Ok, grazie della risposta, a quanto pare era una cosa troppo oltre le mie capacità. Come mai ogni volta che si parla di equazioni diofantee, una cosa appartentemente semplice diventa assurdamente complicata?

[hydro1]

Guarda il motivo "morale" è essenzialmente il decimo problema di Hilbert. Comunque questa è un'area di ricerca estremamente attiva, va sotto il nome di geometria aritmetica. Quando le equazioni diofantee hanno 2 variabili, come nel tuo caso, quasi sempre il numero di soluzioni razionali è finito, è un teorema di Faltings degli anni 80'. Il caso che hai proposto qua è quello più complicato, perchè le curve ellittiche possono avere finiti o infiniti punti razionali ma non esiste ancora un algoritmo in grado di determinare in quale dei due casi si sia. E anche nei casi in cui si sa che le soluzioni sono un numero finito, in generale non esistono metodi effettivi per determinarle. Negli ultimi 2 anni circa ci sono stati dei passi avanti nell'utilizzo di uno dei pochi metodi effettivi che funzionano con una certa generalità, che si chiama metodo di Chabauty-Coleman, ma siamo ancora lontanissimi dal capire a fondo questo tipo di problema.

[mklplo751]

Grazie per la risposta, sembra un argomento molto interessante, anche se penso che per approfondirlo dovrò quanto minimo arrivare alla magistrale (o forse anche oltre), quindi nel frattempo, chissà che qualcuno che lavora in questo campo non trovi una strategia per avvicinarsi alla soluzione di questo tipo di problema.