Esercizio di Trasporti - Investimenti in un sistema congestionato
Salve a tutti,
vi sottopongo il testo dell'esercitazione del corso di Mobilitat Urbana che sto seguendo all'UPC di Barcelona.
Due modi di trasporto distinti, che unitamente trasportano N passeggeri per giorno, vengono migliorati con un investimento a breve termine di S euro. I modi (i=1,2) sono sempre in equilibrio, quindi il il loro tempo di viaggio T_i è lo stesso.
IL tempo di viaggio per ogni modo, i, è dato da una funzione di performance F_i che cresce con il numero di utenti N_i e decresce con la quantità investita, S_i.
Siamo interessati nel determinare una strategia di investimento a breve termine per la somma S (euro), assumendo che il numero totale di utenti giornalieri è fisso: N1+N2=N.
Le seguenti costanti , alfa_i=dF_i/dN_i (propensione alla congestione) e beta_i= -dF_i/dS_i (migliorabilità), sono definite per l'equilibrio corrente.
Mostra che tutti i fondi dovrebbero andare al modo di trasporto che ha il più basso rapporto alfa_i/beta_i, indipendentemente da N.
(Suggerimento: Siccome stiamo analizzando il caso in cui abbiamo piccoli cambiamenti nell'argomento della funzione performance possiamo ipotizzare che queste funzioni sono lineari)
Io ho risolto il problema solo da un punto di vista grafico.
Facendo un diagramma dove sulle ascisse ho gli utenti N1 (e contemporanemanete altra ascissa sovrapposta N2 con verso opposto), e sulle ordinate il tempo. Posso dimostrare graficamente che la strategia migliore (quella che riduce il tempo ti trasporto totale) si ottiene prendendo il più basso valore di alfa e il piu alto di beta. Però ho ancora qualche dubbio e dovrei fare questa dimostrazione anche analiticamente.
Grazie per l'aiuto
vi sottopongo il testo dell'esercitazione del corso di Mobilitat Urbana che sto seguendo all'UPC di Barcelona.
Due modi di trasporto distinti, che unitamente trasportano N passeggeri per giorno, vengono migliorati con un investimento a breve termine di S euro. I modi (i=1,2) sono sempre in equilibrio, quindi il il loro tempo di viaggio T_i è lo stesso.
IL tempo di viaggio per ogni modo, i, è dato da una funzione di performance F_i che cresce con il numero di utenti N_i e decresce con la quantità investita, S_i.
Siamo interessati nel determinare una strategia di investimento a breve termine per la somma S (euro), assumendo che il numero totale di utenti giornalieri è fisso: N1+N2=N.
Le seguenti costanti , alfa_i=dF_i/dN_i (propensione alla congestione) e beta_i= -dF_i/dS_i (migliorabilità), sono definite per l'equilibrio corrente.
Mostra che tutti i fondi dovrebbero andare al modo di trasporto che ha il più basso rapporto alfa_i/beta_i, indipendentemente da N.
(Suggerimento: Siccome stiamo analizzando il caso in cui abbiamo piccoli cambiamenti nell'argomento della funzione performance possiamo ipotizzare che queste funzioni sono lineari)
Io ho risolto il problema solo da un punto di vista grafico.
Facendo un diagramma dove sulle ascisse ho gli utenti N1 (e contemporanemanete altra ascissa sovrapposta N2 con verso opposto), e sulle ordinate il tempo. Posso dimostrare graficamente che la strategia migliore (quella che riduce il tempo ti trasporto totale) si ottiene prendendo il più basso valore di alfa e il piu alto di beta. Però ho ancora qualche dubbio e dovrei fare questa dimostrazione anche analiticamente.
Grazie per l'aiuto
Risposte
ciao,
io penso di averla risolta analiticamente. Allora, i dati iniziali sono, premettendo che $n_i(t)$ è la quantità di utenza di un modo $i$ in un tempo t, e che $s_i(t)$ è la quantità di investimenti ricevuti:
0) $F_1(t) = F_2(t)$ per l'equilibrio impostato
1) $n_1(t) + n_2(t) = N$ (costante)
2) $\Delta s_1 + \Delta s_2 = \Delta S$ (dove $\Delta s_1$ rappresenta l'investimento a breve termine al modo 1 e $\Delta S$ l'investimento totale)
3) $\alpha_i = \frac{\partial F_i}{\partial n_i}$
4) $\beta_i = -\frac{\partial F_i}{\partial s_i}$
Allora parto dalla definizione di funzione Fitness, che per comodità definisco così:
$F_1(t) = \alpha_1 n_1(t) - \beta_1 s_1(t) = F_2(t)$
con un pò di procedimenti mi derivo $\Delta F$ (come varia l'efficienza del sistema a seguito degli investimenti) in funzione di $\Delta s_1$ (investimento al modo 1) , e quindi anche di $\Delta s_2$ (investimento al modo 2):
$\Delta F = \Delta s_1 ( \alpha_1 \frac{\beta_1 + \beta_2}{\alpha_1 + \alpha_2} - \beta_2 ) - \frac{\alpha_1 \beta_2 \Delta S}{\alpha_1 + \alpha_2} \ = \ \Delta s_2 ( \alpha_2 \frac{\beta_1 + \beta_2}{\alpha_1 + \alpha_2} - \beta_1 ) - \frac{\alpha_2 \beta_1 \Delta S}{\alpha_1 + \alpha_2}$
La prima versione è in funzione di $Delta s_1$, mentre la seconda è in funzione di $\Delta s_2$.
Per $\Delta s_1 = 0$ e per $\Delta s_1 = \Delta S$, $|Delta F|$ presenta un massimo e un minimo. Per capire quale delle due strategie di investimento ($\Delta s_1 = 0$ oppure $\Delta s_1 = \Delta S$) sia il massimo, analizziamo la funzione $|\Delta F|$ in questi due casi:
per $\Delta s_1 = 0 \\ \Delta s_2 = \Delta S \ \ \rightarrow \ \|Delta F| = \frac{\alpha_1 \beta_2 \Delta S}{\alpha_1 + \alpha_2}$
per $\Delta s_1 = \Delta S \\ \Delta s_2 = 0 \ \ \rightarrow \ \|Delta F| = \frac{\alpha_2 \beta_1 \Delta S}{\alpha_1 + \alpha_2}$
quando conviene investire tutto nel modo 1 (e quindi togliere tutti gli investimenti dal modo 2)? Nel caso in cui il modulo del cambiamento di efficienza conseguente sia maggiore rispetto al cambiamento dovuto a un ipotetico investimento nel modo 2. Ovvero:
$\frac{\alpha_2 \beta_1 \Delta S}{\alpha_1 + \alpha_2} \ \ {\Delta s_1 = \Delta S} \ \ > \frac{\alpha_1 \beta_2 \Delta S}{\alpha_1 + \alpha_2} \ \ {\Delta s_2 = \Delta S} \ \ \rightarrow \ \frac{\alpha_1}{\beta_1} < \frac{alpha_2}{\beta_2}$ QED
Ovvero conviene investire tutto nel modo che ha il rapporto $\frac{\alpha}{\beta}$ minore.
Spero di essere stato abbastanza chiaro. Probabilmente c'erano modi più semplici per dimostrarlo
.
io penso di averla risolta analiticamente. Allora, i dati iniziali sono, premettendo che $n_i(t)$ è la quantità di utenza di un modo $i$ in un tempo t, e che $s_i(t)$ è la quantità di investimenti ricevuti:
0) $F_1(t) = F_2(t)$ per l'equilibrio impostato
1) $n_1(t) + n_2(t) = N$ (costante)
2) $\Delta s_1 + \Delta s_2 = \Delta S$ (dove $\Delta s_1$ rappresenta l'investimento a breve termine al modo 1 e $\Delta S$ l'investimento totale)
3) $\alpha_i = \frac{\partial F_i}{\partial n_i}$
4) $\beta_i = -\frac{\partial F_i}{\partial s_i}$
Allora parto dalla definizione di funzione Fitness, che per comodità definisco così:
$F_1(t) = \alpha_1 n_1(t) - \beta_1 s_1(t) = F_2(t)$
con un pò di procedimenti mi derivo $\Delta F$ (come varia l'efficienza del sistema a seguito degli investimenti) in funzione di $\Delta s_1$ (investimento al modo 1) , e quindi anche di $\Delta s_2$ (investimento al modo 2):
$\Delta F = \Delta s_1 ( \alpha_1 \frac{\beta_1 + \beta_2}{\alpha_1 + \alpha_2} - \beta_2 ) - \frac{\alpha_1 \beta_2 \Delta S}{\alpha_1 + \alpha_2} \ = \ \Delta s_2 ( \alpha_2 \frac{\beta_1 + \beta_2}{\alpha_1 + \alpha_2} - \beta_1 ) - \frac{\alpha_2 \beta_1 \Delta S}{\alpha_1 + \alpha_2}$
La prima versione è in funzione di $Delta s_1$, mentre la seconda è in funzione di $\Delta s_2$.
Per $\Delta s_1 = 0$ e per $\Delta s_1 = \Delta S$, $|Delta F|$ presenta un massimo e un minimo. Per capire quale delle due strategie di investimento ($\Delta s_1 = 0$ oppure $\Delta s_1 = \Delta S$) sia il massimo, analizziamo la funzione $|\Delta F|$ in questi due casi:
per $\Delta s_1 = 0 \\ \Delta s_2 = \Delta S \ \ \rightarrow \ \|Delta F| = \frac{\alpha_1 \beta_2 \Delta S}{\alpha_1 + \alpha_2}$
per $\Delta s_1 = \Delta S \\ \Delta s_2 = 0 \ \ \rightarrow \ \|Delta F| = \frac{\alpha_2 \beta_1 \Delta S}{\alpha_1 + \alpha_2}$
quando conviene investire tutto nel modo 1 (e quindi togliere tutti gli investimenti dal modo 2)? Nel caso in cui il modulo del cambiamento di efficienza conseguente sia maggiore rispetto al cambiamento dovuto a un ipotetico investimento nel modo 2. Ovvero:
$\frac{\alpha_2 \beta_1 \Delta S}{\alpha_1 + \alpha_2} \ \ {\Delta s_1 = \Delta S} \ \ > \frac{\alpha_1 \beta_2 \Delta S}{\alpha_1 + \alpha_2} \ \ {\Delta s_2 = \Delta S} \ \ \rightarrow \ \frac{\alpha_1}{\beta_1} < \frac{alpha_2}{\beta_2}$ QED
Ovvero conviene investire tutto nel modo che ha il rapporto $\frac{\alpha}{\beta}$ minore.
Spero di essere stato abbastanza chiaro. Probabilmente c'erano modi più semplici per dimostrarlo
.
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