Equazione funzionale per f(x)=x-1

[Studente Anonimo]

La funzione [tex]f(x)=x-1[/tex] verifica la seguente equazione funzionale:

[tex]f(xy)=f(x)y+f(y) \hspace{1cm} \forall x,y[/tex].

Secondo voi ci sono altre funzioni che la verificano?

[Gi81]

Direi tutte e sole le funzioni del tipo $f(x) =ax-a$, con $a in RR$.

Deve valere $f(xy)=f(x)y +f(y)$ \(\qquad \qquad (*)\)

Con $x=0$ si ha $f(0)=f(0)y+f(y)$

Dunque $f(x)= -f(0)x+f(0)$ per ogni $x in RR$ .

Ponendo $a= -f(0)$, vediamo per quali $a$ la funzione $f(x)= ax-a$ soddisfa \(\displaystyle (*) \)

$axy-a= (ax-a)y +ay-a <=> axy-a= axy-ay+ay-a<=> 0=0$, dunque va bene qualunque $a$ reale.

Ma forse non ho capito la domanda: volevi trovare altre equazioni funzionali di cui la funzione $f(x)=x-1$ fosse soluzione?

[Studente Anonimo]

No no, hai capito bene, è che non ci ho pensato abbastanza grazie.