Equazione di secondo grado con radici razionali - SNS 1971
"Se $p$ e $q$ sono numeri interi dispari, l'equazione $x^2+2p*x+2q=0$ non ha radici razionali.
E' facoltativo dimostrare che la stessa conclusione vale per l'equazione $x^n+2p*x+2q=0$"
La prima parte si risolve facilmente, anche attraverso l'equazione risolvente delle equazioni di secondo grado. E' la seconda parte a bloccarmi.. Come devo ragionare? Cercando di ricavarmi la $x$ oppure analizzando il tipo di equazione?
Grazie.
E' facoltativo dimostrare che la stessa conclusione vale per l'equazione $x^n+2p*x+2q=0$"
La prima parte si risolve facilmente, anche attraverso l'equazione risolvente delle equazioni di secondo grado. E' la seconda parte a bloccarmi.. Come devo ragionare? Cercando di ricavarmi la $x$ oppure analizzando il tipo di equazione?
Grazie.
Risposte
Salve a tutti, è il primo messaggio che scrivo e scusatemi se riesumo questo messaggio di anni addietro...
Allora per il secondo punto avevo pensato di procedere così:
Sia $s=a/b$ una soluzione razionale dell'equazione data. Per il teorema delle radici razionali, si deve avere che $b$ divide 1 e che $a$ divide $2q$. Visto che i divisori di 1 sono 1 e -1, possiamo affermare che $b=1$ o $ b=-1$. I divisori di $2q$ invece sono 2, 1, $q$ e i divisori di $q$ stesso.
Prendiamo in considerazione le varie soluzioni razionali dell'equazione:
1) se $s=1$ si ha $1+2p+2q=0$ cioè $2q=-2p-1$, il che è assurdo; lo stesso ragionamento vale per $s=-1$
2) se $s=2$ si ha $2^n+4p+2q=0$, ed essendo $n>2$, $2^(n-1)=-2p-q$ il che è assurdo; analogamente è impossibile che $s=-1/2$
3) se $s=d$ ,qualsiasi divisore di $q$ maggiore di 2, avremo $(d)^n+2pd+2q=0$ cioè $d^n=-2pd-2q$ ma d non può essere pari.
Che ne dite può funzionare??
Grazie per chi risponderà
Allora per il secondo punto avevo pensato di procedere così:
Sia $s=a/b$ una soluzione razionale dell'equazione data. Per il teorema delle radici razionali, si deve avere che $b$ divide 1 e che $a$ divide $2q$. Visto che i divisori di 1 sono 1 e -1, possiamo affermare che $b=1$ o $ b=-1$. I divisori di $2q$ invece sono 2, 1, $q$ e i divisori di $q$ stesso.
Prendiamo in considerazione le varie soluzioni razionali dell'equazione:
1) se $s=1$ si ha $1+2p+2q=0$ cioè $2q=-2p-1$, il che è assurdo; lo stesso ragionamento vale per $s=-1$
2) se $s=2$ si ha $2^n+4p+2q=0$, ed essendo $n>2$, $2^(n-1)=-2p-q$ il che è assurdo; analogamente è impossibile che $s=-1/2$
3) se $s=d$ ,qualsiasi divisore di $q$ maggiore di 2, avremo $(d)^n+2pd+2q=0$ cioè $d^n=-2pd-2q$ ma d non può essere pari.
Che ne dite può funzionare??
Grazie per chi risponderà
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