EDO ed esistenza della soluzione

[Dobrogost]

Si consideri il seguente problema di Cauchy:

\begin{align}
y' = y^2 + t^2, \mbox{ } y(0)=1
\end{align}

$1.$ Dimostrare che esiste $b>0$ tale che il problema ha una soluzione per $t$ in $[0, b]$.
$2.$ Fornire un tale $b$.
$3.$ Fornire un $c$ tale che la soluzione non esiste in $[0,c]$

[dan952]

Mi pare che (salvo errori) una soluzione sia
\begin{equation}
y(t)=\frac{1}{1-t}+\frac{t^3}{3}
\end{equation}
Faccia al caso nostro, per $0

Cita

Segnala

[dissonance]

@dan:
[ot]Purtroppo mi sa di no, ho dato tutto in pasto a Maple e trovo che
\[
y'-y^2-t^2 = -\frac{1}{9}\,{\frac {{t}^{3} \left( {t}^{4}-{t}^{3}-6 \right) }{-1+t}}\ne 0\][/ot]

[dan952]

Sì infatti ho contato male... c'è un $t$ di troppo

[dan952]

Chiaramente dalle ipotesi e dalla definizione si ricava che $y'>0$ ovvero la soluzione è crescente e quindi dalle condizioni imposte che $y(t) \geq 1$. Ora non mi vengono in mente manipolazioni ma è possibile far vedere che $y'=\Omega(\frac{1}{(1-t)^2})$, perché $y'=y^2+t^2 \geq y^2$ dunque necessariamente $b<1$.

[Rigel1]

Per rispondere alle domande 1 e 2 basta il classico teorema di esistenza e unicità in ipotesi di locale Lipschitzianità.

Per la domanda 3, è sufficiente osservare che la soluzione massimale $y$ del problema soddisfa, nel suo intervallo di definizione $[0,T)$, la disuguaglianza $y(t) \geq z(t)$, dove $z$ è la soluzione del PdC
\[
z' = z^2, \qquad z(0) = 1.
\]
Poiché tale soluzione (in avanti nel tempo) è $z(t) = 1/(1-t)$, $t \in [0,1)$, ne segue che $y$ esplode prima del tempo $c=1$.