Due stupide curiosità (forse)
Salve a tutti,
mi chiedevo come si possa dimostrare, ammesso che sia vero, che:
$AA n > 1: n^2 > p_n$, dove $p_n$ è l' ennesimo numero primo.
E poi: si può dimostrare che esiste almeno un primo tra $p_n$ e $(n+1)^2$?
mi chiedevo come si possa dimostrare, ammesso che sia vero, che:
$AA n > 1: n^2 > p_n$, dove $p_n$ è l' ennesimo numero primo.
E poi: si può dimostrare che esiste almeno un primo tra $p_n$ e $(n+1)^2$?
Risposte
Io proverei usando una conseguenza del Teorema dei numeri primi; precisamente che
\(\displaystyle p_n \sim n\cdot{ln(n)}\) dove \(\displaystyle p_n\) e` l'n-esimo numero primo.
Per \(\displaystyle n \rightarrow \infty\) l'errore tra \(\displaystyle p_n\) e \(\displaystyle n\cdot{ln(n)}\) tende verso zero, dunque per \(\displaystyle n\) sufficentemente "grande" facciamo la sostituzione \(\displaystyle p_n=n\cdot{ln(n)}\), e abbiamo
\(\displaystyle n^2>n\cdot{ln(n)}\),
il che e` vero.
Per la seconda parte, credo che possa essere utile usare un'altra conseguenza del teorema dei numeri primi, ossia che
\(\displaystyle p_{n+1}-p_n \sim ln(n)\),
pero` lo lascio a te.
\(\displaystyle p_n \sim n\cdot{ln(n)}\) dove \(\displaystyle p_n\) e` l'n-esimo numero primo.
Per \(\displaystyle n \rightarrow \infty\) l'errore tra \(\displaystyle p_n\) e \(\displaystyle n\cdot{ln(n)}\) tende verso zero, dunque per \(\displaystyle n\) sufficentemente "grande" facciamo la sostituzione \(\displaystyle p_n=n\cdot{ln(n)}\), e abbiamo
\(\displaystyle n^2>n\cdot{ln(n)}\),
il che e` vero.
Per la seconda parte, credo che possa essere utile usare un'altra conseguenza del teorema dei numeri primi, ossia che
\(\displaystyle p_{n+1}-p_n \sim ln(n)\),
pero` lo lascio a te.
"Pachisi":
Per \(\displaystyle n \rightarrow \infty\) l'errore tra \(\displaystyle p_n\) e \(\displaystyle n\cdot{ln(n)}\) tende verso zero, dunque per \(\displaystyle n\) sufficentemente "grande" facciamo la sostituzione \(\displaystyle
E' pur sempre una stima e c'è da vedere l'errore massimo che si può commettere.
[size=80]A caldo sulla tesi queste cose le sapevo... uffa
[/size]
Hai ragione, solo che non saprei come calcolarlo l'errore massimo.
EDIT: [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Rosser's_theorem]Teorema di Rosser[/url]: \(\displaystyle p_n>n\cdot{ln(n)}\), dove \(\displaystyle p_n\) e` l'n-esimo primo.
EDIT: [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Rosser's_theorem]Teorema di Rosser[/url]: \(\displaystyle p_n>n\cdot{ln(n)}\), dove \(\displaystyle p_n\) e` l'n-esimo primo.
Sposto in Pensare un po' di più perché mi pare che i teoremi sui numeri primi non siano argomento di secondaria.
Grazie a tutti, gentilissimi 
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