Due circonferenze
Date due circonferenze C e C' di uguale raggio, trovare il luogo dei punti medi dei segmenti AA', con A in C e A' in C'.
[Ho provato a fare uno schizzo di quello che mi sta chiedendo, e mi sembra di ottenere due circonferenze, dal raggio pari alla metà delle due circonferenze iniziali, una al di sopra del segmento che unisce i due centri e una al di sotto. Ho provato a ricavarmi il luogo dei punti con la geometria analitica, ma credo ci sia un modo migliore. Grazie!]
[Ho provato a fare uno schizzo di quello che mi sta chiedendo, e mi sembra di ottenere due circonferenze, dal raggio pari alla metà delle due circonferenze iniziali, una al di sopra del segmento che unisce i due centri e una al di sotto. Ho provato a ricavarmi il luogo dei punti con la geometria analitica, ma credo ci sia un modo migliore. Grazie!]
Risposte
Non si accenna alla posizione reciproca delle due circonferenze, immagino.
No, non se ne accenna. Difatti ho immaginato quella più generica, circonferenze esterne. Ma credo che il risultato debba essere valido per ogni tipo di coppia di circonferenze..
Il luogo geometrico che ne dovrebbe venire fuori dovrebbe essere al quanto strano, suppongo. Per esempio, se si considera l'asse radicale delle due circonferenze e si prendono i punti $A$ ed $A'$ di modo che questi punti siano simmetrici rispetto al predetto asse, una parte del luogo è costituita da un segmento dell'asse radicale.
Problema interessante: sono curioso di vedere come si risolve.
Problema interessante: sono curioso di vedere come si risolve.
Consigliate la geometria analitica o quella sintetica?
Onestamente, non ne ho idea. QUella analitica mi lascia parecchio perplesso.
Posto che si può centrare il sistema di riferimento nel centro di una delle due circonferenza, si hanno due equazioni $\Gamma : x^2 + y^2 = R$ e $\Gamma ' : x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$. Ma a questo punto no nho molte idee.
Posto che si può centrare il sistema di riferimento nel centro di una delle due circonferenza, si hanno due equazioni $\Gamma : x^2 + y^2 = R$ e $\Gamma ' : x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$. Ma a questo punto no nho molte idee.
"elios":
Date due circonferenze C e C' di uguale raggio, trovare il luogo dei punti medi dei segmenti AA', con A in C e A' in C'.
...
Un problema simile era stato proposto da elgiovo nella maratona di problemi.
Il luogo cercato dovrebbe essere il cerchio di raggio r e centro nel punto medio del segmento che congiunge i centri delle due circonferenze.
Ho cercato il problema da te detto ed è:
"Problema
Siano Γ1 e Γ2 due cerchi i cui centri
si trovino a distanza 10 l'uno dall'altro,
e i cui raggi siano 1 e 3.
Si trovi il luogo di tutti i punti X per i
quali esistono punti H su Γ1 e K su Γ2
tali per cui X sia il punto medio del
segmento HK."
Come vedi è un po' diverso..
"Problema
Siano Γ1 e Γ2 due cerchi i cui centri
si trovino a distanza 10 l'uno dall'altro,
e i cui raggi siano 1 e 3.
Si trovi il luogo di tutti i punti X per i
quali esistono punti H su Γ1 e K su Γ2
tali per cui X sia il punto medio del
segmento HK."
Come vedi è un po' diverso..
"elios":
con A in C e A' in C'.
Ma, con questa dicitura, si deve intendere che $A$ e $A'$ sono punti delle circonferenze (i.e. $A \in \mathfrak{C}$ e $A' \in \mathfrak{C}'$) oppure si deve intendere che $A$ e $A'$ stanno all'interno delle due predette circonferenze?
Secondo lo schizzo che ho fatto, dovrebbe trattarsi di un'area circolare, cioè la superficie che una circonferenza di raggio uguale a quello delle circonferenze delimita e che si trova esattamente tra le due. Qualunque sia, infatti, la disposzione delle due circnferenze date, il luogo risulta la superficie della circonferenza chiusa posta tra le due. In altre parole, gli infiniti punti medi dei segmenti che si possono tracciare da A a B (A e B le due circonferenze), compongono una superficie.
Aggiungo: una volta sistemate le due circonferenze, si traccino gli assi per il loro centro in modo che siano a due a due paralleli tra loro (ovvero, il diametro verticale di A parallelo al diametro verticale di B e quelllo orizzontale giacente sulla retta ortognale ai diametri tracciati) si può subito verificare che tracciando i segmenti A B congiungenti i rispettivi estremi destri dei diametri e i segmenti che uniscono gli esterni sinistri di A e B, i punti medi di questi 4 segmenti sono le immagini dei punti corrispondenti alle circonferenze date. I punti connessi da segmenti in altre posizioni determinano punti interni della circonferenza formandone l'area.
A questo punto dovresti provare che quello che hai trovato è il luogo cercato:
1) provare che se $P$ è un punto della predetta superficie piana, allora esso è il punto medio di un qualche segmento congiungente un punto di $\mathfrak{C}$ con un punto di $\mathfrak{C}'$
2) provare che se un punto $Q$ del piano gode della proprietà di essere punto medio di un qualche segmento congiungente un punto di $\mathfrak{C}$ con un punto di $\mathfrak{C}'$, allora il suddetto punto $Q$ appartiene alla predetta superficie
Io non ho idee, quindi se puoi mostrarmi come si procede...sai com'è, sono uno curioso e l'argomento è interessante
1) provare che se $P$ è un punto della predetta superficie piana, allora esso è il punto medio di un qualche segmento congiungente un punto di $\mathfrak{C}$ con un punto di $\mathfrak{C}'$
2) provare che se un punto $Q$ del piano gode della proprietà di essere punto medio di un qualche segmento congiungente un punto di $\mathfrak{C}$ con un punto di $\mathfrak{C}'$, allora il suddetto punto $Q$ appartiene alla predetta superficie
Io non ho idee, quindi se puoi mostrarmi come si procede...sai com'è, sono uno curioso e l'argomento è interessante
Per semplificare l'argomento, ipotizziamo che la circonferenza A abbia il centro all'origine O e raggio r; la sua equazione è $x^2+y^2=r^2$; sia B un'altra circonferenza con il centro sull'asse x a distanza d dall'origine avente raggio uguale a quello della circonferenza A; la sua equazione è $(1)$ $x^2+y^2+ax+c = 0$, dove $a = -2d$ e $c=d^2-r^2$ essendo 0 la coordinata di $y_0$. Siano, inoltre, P un punto della circonferenza A di coordinate P(-r,0) e P' un punto sulla circonferenza B di coordinate P'(d+r,0), il punto medio risulta: $P_M=((d+r)-(-r))/2$ di coordinate $P_M((d+2r)/2,0)$. Siano P'' e P''' altri due punti di coordinate P''(0,r) e P'''(d,r), il cui punto medio ha le coordinate: $P'_M(d/2,r)$; la distanza tra questi due punti medi così identificati risulta: $l=sqrt(((d+2r)/2-d/2)^2+(0-r)^2)=r$; svolgendo i passaggi si ottiene l=r, dove con l è stata indicata la distanza tra i punti medi. Basterà adesso trovare l'equazione della circonferenza di centro $C((d+2r)/2,0)$ e raggio $l$, che assomiglierà alla $(1)$ (con $a=2r-d$ e $c=-dr-d^2/4-2r^2$) e si potrà verificare che tutti i punti medi dei segmenti che si possono tracciare tra le due circonferenze date, ne costituiscono l'area ed il contorno (chiuso).
"IvanTerr":
Secondo lo schizzo che ho fatto, dovrebbe trattarsi di un'area circolare, cioè la superficie che una circonferenza di raggio uguale a quello delle circonferenze delimita e che si trova esattamente tra le due. Qualunque sia, infatti, la disposzione delle due circnferenze date, il luogo risulta la superficie della circonferenza chiusa posta tra le due. In altre parole, gli infiniti punti medi dei segmenti che si possono tracciare da A a B (A e B le due circonferenze), compongono una superficie.
Ivan, ci sono un po' di cose che non ho capito delle tue spiegazioni, provo a chiedertelo. Secondo quello che hai scritto e ho citato qui, secondo te esiste questo luogo dei punti solo se le due circonferenze sono secanti? e tale luogo è l'area ottenuta come intersezione delle due circonferenze?
Non sono in grado di inserire il grafico di quanto ho esposto, tuttavia cercherò di spiegarmi meglio. Immagina un piano cartesiano; immagina una circonferenza C di centro O, coincidente con l'origine, di raggio 1 (ma r può essere qualunque). A distanza d=4 (ma d può essere qualunque, non vorrei dilungarmi molto, ma al limite le due circonferenze potrebbero perfino sovrapporsi e la terza circonferenza sarebbe essa stessa sovrapposta esattamente alle prime due!), con centro sull'asse x, si tracci un'altra circonferenza C' avente lo stesso raggio. La circonferenza C ha le radici in $x_1=-r$ e $x_2 =+r$, mentre la circonferenza C' ha le radici in $x'_1=d-r$ e $x'_2=d+r$, pertanto non sono necessariamente intersecantesi. Questa è la condizione da cui ho ottenuto le equazioni. Prendendo un qualunque punto sulla circonferenza di C e unendolo con qualunque altro punto sulla circonferenza C', il punto medio appartiene (al contorno o all'area) del cerchio che emerge tra le due.
Nota che, nel caso limite che $d$ fosse nulla, si ottiene proprio il caso, banale, che le due circonferenze sono sovrapposte, pertanto il lugo generato sarebbe una terza circonferenza essa stessa sovrapposta.
Nota che, nel caso limite che $d$ fosse nulla, si ottiene proprio il caso, banale, che le due circonferenze sono sovrapposte, pertanto il lugo generato sarebbe una terza circonferenza essa stessa sovrapposta.
Io la vedo così.
Siano date due circonferenze $mathfrak{C}$ di centro C e $mathfrak{D}$ di centro D - giusto per riprendere le belle notazioni di WiZaRd
-, entrambe di raggio $r$, i cui centri stanno entrambi sull'asse delle x (a meno di ruotare il disegno). Possiamo supporre (a meno di traslazione) $C=(-c,0)$ e $D=(c,0)$ con $c ge 0$. Allora le due circonferenze sono così rappresentate trigonometricamente:
$mathfrak{C}$: $\{(-c+r cos(k), r sen(k))\ |\ k in [0,2 pi)\}$,
$mathfrak{D}$: $\{(c+r cos(t), r sen(t)\ |\ t in [0,2 pi)\}$.
Ne segue che il luogo che cerchiamo è il seguente:
$mathfrak{X}$: $\{(r/2 cos(k)+r/2 cos(t), r/2 sen(k)+ r/2 sen(t))\ |\ t,k in [0,2 pi)\}$.
L'ho ottenuto esattamente prendendo i punti medi dei segmenti di estremi un elemento di $mathfrak{C}$ (determinato dal parametro k) e un elemento di $mathfrak{D}$ (determinato dal parametro t).
Ora voglio mostrare che $mathfrak{X}$ non è altro che il cerchio pieno di centro l'origine (ovvero il punto medio dei centri) e raggio r (sia esso $mathfrak{S}$). Per mostrare che $mathfrak{X} subseteq mathfrak{S}$ basta mostrare che un elemento di $mathfrak{X}$ ha norma minore o uguale di $r$, o equivalentemente che la sua norma al quadrato è minore o uguale di $r^2$. Ora
$| (r/2 cos(k)+r/2 cos(t); r/2 sen(k)+r/2 sen(t)) |^2 = 1/4 (r^2+r^2+2 r^2 cos(t) cos(k) + 2 r^2 sen(t) sen(k)) = r^2/2 (1+cos(t) cos(k)+sen(t) sen(k)) = r^2/2 (1+cos(t-k)) le r^2$
------------------Attenzione: ora comincia la parte lunga e apparentemente noiosa, il cui scopo è mostrare che $mathfrak{S} subseteq mathfrak{X}$ ---------------------------
Per mostrare che $mathfrak{S} subseteq mathfrak{X}$ bisogna mostrare che ogni elemento di $mathfrak{S}$ è rappresentabile come elemento di $mathfrak{X}$. Dato un punto $(a,b) = (l cos(alpha), l sen(alpha)) in mathfrak{S}$, con $l le r$, dobbiamo quindi trovare $k$ e $t$ tali che:
(1) $r(cos(k)+cos(t))=2a=2l cos(alpha)$
(2) $r(sen(k)+sen(t))=2b=2l sen(alpha)$
$l$ rappresenta la distanza del punto (a,b) dall'origine, e $alpha in [0,2 pi)$ rappresenta il suo argomento. Dalle due relazioni sopra ricaviamo l'uguagliarsi delle norme al quadrato, ovvero:
$2l^2 = r^2(1+cos(k-t))$
Sia $beta$ l'unico elemento di $[0,pi]$ tale che $2l^2 = r^2 (1+cos(beta))$ (esiste perché la funzione coseno ristretta a $[0,pi]$ è iniettiva e assume tutti i valori tra -1 e 1). Ciò ci suggerisce di imporre $k-t=beta$. La (1) si riscrive allora così:
(1') $r(cos(t+beta)+cos(t))=2l cos(alpha)$
nella sola incognita $t$. Qualche non difficile passaggio porge allora:
(*) $l/r cos(t)-sen(t) sqrt{1-(l^2)/(r^2)} = cos(alpha)$
Ciò suggerisce di definire $gamma$ come l'unico elemento di $[0,pi/2]$ tale che $cos(gamma)=l/r$ (notare che in tal modo $sen(gamma)$ è positivo). Allora la relazione (*) diventa:
$cos(gamma+t)=cos(alpha)$
E ciò suggerisce di porre $t=alpha-gamma\ mod(2 pi)$ (ovvero l'elemento di $[0,2 pi)$ che corrisponde a $alpha-gamma$ a meno di aggiungere multipli interi di $2 pi$). Deduciamo che $k=alpha-gamma+beta$ modulo $2 pi$.
Ora, la (1) risulta in tal modo verificata. Andando a sostituire in (2) otteniamo la relazione
$sen(alpha-gamma+beta)+sen(alpha-gamma)=2l/r sen(alpha)$.
Per concludere basta verificare che questa è un'identità. Ebbene, lo è (l'ho fatto fare a mathematica)
Sicuramente il mio argomento per mostrare che $mathfrak{S} subseteq mathfrak{X}$ si può migliorare (e non escludo che ci sia qualche imprecisione), perché questo è lungo e apparentemente difficile. Dico 'apparentemente' perché tutte le equazioni in gioco hanno una naturale tendenza a semplificarsi da sole.
Siano date due circonferenze $mathfrak{C}$ di centro C e $mathfrak{D}$ di centro D - giusto per riprendere le belle notazioni di WiZaRd
-, entrambe di raggio $r$, i cui centri stanno entrambi sull'asse delle x (a meno di ruotare il disegno). Possiamo supporre (a meno di traslazione) $C=(-c,0)$ e $D=(c,0)$ con $c ge 0$. Allora le due circonferenze sono così rappresentate trigonometricamente:$mathfrak{C}$: $\{(-c+r cos(k), r sen(k))\ |\ k in [0,2 pi)\}$,
$mathfrak{D}$: $\{(c+r cos(t), r sen(t)\ |\ t in [0,2 pi)\}$.
Ne segue che il luogo che cerchiamo è il seguente:
$mathfrak{X}$: $\{(r/2 cos(k)+r/2 cos(t), r/2 sen(k)+ r/2 sen(t))\ |\ t,k in [0,2 pi)\}$.
L'ho ottenuto esattamente prendendo i punti medi dei segmenti di estremi un elemento di $mathfrak{C}$ (determinato dal parametro k) e un elemento di $mathfrak{D}$ (determinato dal parametro t).
Ora voglio mostrare che $mathfrak{X}$ non è altro che il cerchio pieno di centro l'origine (ovvero il punto medio dei centri) e raggio r (sia esso $mathfrak{S}$). Per mostrare che $mathfrak{X} subseteq mathfrak{S}$ basta mostrare che un elemento di $mathfrak{X}$ ha norma minore o uguale di $r$, o equivalentemente che la sua norma al quadrato è minore o uguale di $r^2$. Ora
$| (r/2 cos(k)+r/2 cos(t); r/2 sen(k)+r/2 sen(t)) |^2 = 1/4 (r^2+r^2+2 r^2 cos(t) cos(k) + 2 r^2 sen(t) sen(k)) = r^2/2 (1+cos(t) cos(k)+sen(t) sen(k)) = r^2/2 (1+cos(t-k)) le r^2$
------------------Attenzione: ora comincia la parte lunga e apparentemente noiosa, il cui scopo è mostrare che $mathfrak{S} subseteq mathfrak{X}$ ---------------------------
Per mostrare che $mathfrak{S} subseteq mathfrak{X}$ bisogna mostrare che ogni elemento di $mathfrak{S}$ è rappresentabile come elemento di $mathfrak{X}$. Dato un punto $(a,b) = (l cos(alpha), l sen(alpha)) in mathfrak{S}$, con $l le r$, dobbiamo quindi trovare $k$ e $t$ tali che:
(1) $r(cos(k)+cos(t))=2a=2l cos(alpha)$
(2) $r(sen(k)+sen(t))=2b=2l sen(alpha)$
$l$ rappresenta la distanza del punto (a,b) dall'origine, e $alpha in [0,2 pi)$ rappresenta il suo argomento. Dalle due relazioni sopra ricaviamo l'uguagliarsi delle norme al quadrato, ovvero:
$2l^2 = r^2(1+cos(k-t))$
Sia $beta$ l'unico elemento di $[0,pi]$ tale che $2l^2 = r^2 (1+cos(beta))$ (esiste perché la funzione coseno ristretta a $[0,pi]$ è iniettiva e assume tutti i valori tra -1 e 1). Ciò ci suggerisce di imporre $k-t=beta$. La (1) si riscrive allora così:
(1') $r(cos(t+beta)+cos(t))=2l cos(alpha)$
nella sola incognita $t$. Qualche non difficile passaggio porge allora:
(*) $l/r cos(t)-sen(t) sqrt{1-(l^2)/(r^2)} = cos(alpha)$
Ciò suggerisce di definire $gamma$ come l'unico elemento di $[0,pi/2]$ tale che $cos(gamma)=l/r$ (notare che in tal modo $sen(gamma)$ è positivo). Allora la relazione (*) diventa:
$cos(gamma+t)=cos(alpha)$
E ciò suggerisce di porre $t=alpha-gamma\ mod(2 pi)$ (ovvero l'elemento di $[0,2 pi)$ che corrisponde a $alpha-gamma$ a meno di aggiungere multipli interi di $2 pi$). Deduciamo che $k=alpha-gamma+beta$ modulo $2 pi$.
Ora, la (1) risulta in tal modo verificata. Andando a sostituire in (2) otteniamo la relazione
$sen(alpha-gamma+beta)+sen(alpha-gamma)=2l/r sen(alpha)$.
Per concludere basta verificare che questa è un'identità. Ebbene, lo è (l'ho fatto fare a mathematica)
Sicuramente il mio argomento per mostrare che $mathfrak{S} subseteq mathfrak{X}$ si può migliorare (e non escludo che ci sia qualche imprecisione), perché questo è lungo e apparentemente difficile. Dico 'apparentemente' perché tutte le equazioni in gioco hanno una naturale tendenza a semplificarsi da sole.
"IvanTerr":
Prendendo un qualunque punto sulla circonferenza di C e unendolo con qualunque altro punto sulla circonferenza C', il punto medio appartiene (al contorno o all'area) del cerchio che emerge tra le due.
Scusami davvero, ma proprio non capisco quale sia il cerchio che "emerge" tra le due circonferenze.. Cerchio con centro dove? Scusami..
Molto analiticamente te lo ha appena detto Martino. Molto "terra-terra" provo a dirtelo di nuovo: comunque disponi le due circonferenze, quella che "si forma" (emerge) con i punti medi degli infiniti segmenti che puoi tracciare tra C e C' (le due circonferenza date...) si trova esattamente a metà tra le due, inoltre ha lo stesso raggio, il suo centro è il punto medio dei due unici segmenti che si possono tracciare tra (-r e d+r) e (r e d-r) (il punto medio di questi segmenti, infatti, COINCIDE con d/2 che è l'ascissa del centro della circonferenza-LUOGO) e contiene l'area racchiusa dalla sua circonferenza. Si tratta, cioè di una superficie circolare con il contorno incluso.
@Martino
Complimenti per la bella soluzione; anche io avevo iniziato una soluzione analitica (dopo che IvanTerr aveva già accennato alla soluzione ho provato a scrivere la soluzione in questione, dacché da solo non avevo la più pallida idea di quale fosse il luogo), ma non sono un alunno modello
Complimenti per la bella soluzione; anche io avevo iniziato una soluzione analitica (dopo che IvanTerr aveva già accennato alla soluzione ho provato a scrivere la soluzione in questione, dacché da solo non avevo la più pallida idea di quale fosse il luogo), ma non sono un alunno modello
Grazie Ivan, ho capito! Ovviamente grazie mille a Martino..
Ovviamente grazie mille a Martino..
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