Domanda orale Scuola Superiore Sant'Anna di Pisa

[Macellaro]

Salve a tutti, stavo girando un po' su internet e sono inciampato su di una "domanda tipica" (cit.) dell'orale della Scuola citata nel titolo della discussione. Ho provato a trovare una soluzione ma non sono riuscito. Vediamo se qualcuno mi può aiutare.

Il problema è molto semplice:

c'è una piscina circolare di raggio R, un nuotatore si trova nel centro e un leone sul bordo. Il leone può muoversi con velocità V di modulo costante e cambiare di direzione. Il nuotatore deve riuscire a raggiungere il bordo della piscina prima del leone. Qual è la velocità minima con cui il nuotatore può muoversi per riuscire a battere il leone?

Non mi dite V/π perché a quanto pare non è la risposta ottimale. Inoltre, non chiedetemi la soluzione perché non la so .

Come fareste?

[Rigel1]

In prima approssimazione direi \(v = \frac{V}{1+\pi}\); in caso sia giusto posso dirti quale sia l'idea.

[Macellaro]

"Rigel":In prima approssimazione direi \(v = \frac{V}{1+\pi}\); in caso sia giusto posso dirti quale sia l'idea.

No, la risposta non la so proprio. Sono interessato all'idea più che al numero finale. Dimmi!

Io, cmq avevo avuto la primitiva e banale idea di farlo nuotare nella direzione opposta a quella in cui si trova il leone all'inizio, da cui la risposta V/π, che non è esatta (l'unica informazione che ho), poi ho pensato che magari potrei far muovere il nuotare in modo che sia sempre diretto nella direzione opposta a quella in cui si trova il leone, quindi una traiettoria a spirale, ma quest'ultima non mi convince perché nelle vicinanze del bordo la velocità del nuotatore deve essere prossima a quella del leone se vuole batterlo e dato che il modulo della velocità deve essere costante, allora dappertutto la velocità del nuotatore deve essere come quella vicino al bordo, in questo modo poi dovrei avere una velocità addirittura maggiore a quella V/π e quindi la proposta del moto a spirale è anche peggiore. Alla fine ho pensato ad un moto a spirale fino ad un certo punto, unito ad una traiettoria radiale da quel punto in poi... Non riuscivo a capire come fare i calcoli e ho rosicato... così ho postato qui

[Rigel1]

La mia idea (non garantisco sul fatto che sia la più efficiente) è piuttosto semplice.
Chiamiamo \(v\) il modulo della velocità del nuotatore e \(V\) quello del leone; chiaramente dovrà essere \(v < V\).
Al nuotatore, fin quando ce la fa, conviene mantenere il leone in opposizione rispetto al centro della piscina, nel senso che se il leone si trova ad un angolo \(\theta\), a lui conviene trovarsi a un angolo \(-\theta\).
Più si allontana dal centro e più farà fatica a fare ciò; la distanza massima \(\rho\) dal centro della piscina fino alla quale riesce a tenere il leone in opposizione è data da
\[
\frac{V}{\pi R} = \frac{v}{\pi\rho}\qquad
\Longrightarrow\qquad
\rho = \frac{v}{V}\, R.
\]
Una volta raggiunta la distanza \(\rho\) dal centro della piscina col leone in opposizione, gli converrà tirare dritto, lungo un raggio, fino al bordo; riuscirà a uscire indenne se
\[
\frac{v}{R-\rho} > \frac{V}{\pi R}\,.
\]
Sostituendo \(\rho\) si ottiene \(v > V / (1+\pi)\).

[Macellaro]

Ah vedi, quindi il ragionamento è simile a quello che avevo pensato alla fine. Puoi spiegarmi meglio il motivo per cui la distanza massima $\rho$ viene trovata in quel modo?

[Rigel1]

"maCrobo":Puoi spiegarmi meglio il motivo per cui la distanza massima $\rho$ viene trovata in quel modo?

Supponi che l'uomo nuoti su una circonferenza di raggio \(r\). Se \(v/r \geq V/R\) allora il nuotatore riesce a tenere in opposizione il leone, viceversa no. Il valore di \(\rho\) è dunque il valore massimo di \(r\) per il quale questo avviene.

[Macellaro]

"Rigel":
Supponi che l'uomo nuoti su una circonferenza di raggio \(r\). Se \(v/r \geq V/R\) allora il nuotatore riesce a tenere in opposizione il leone, viceversa no. Il valore di \(\rho\) è dunque il valore massimo di \(r\) per il quale questo avviene.

Mi sfugge come possa il nuotatore muoversi su di una circonferenza. Lui mentre tiene il leone a 180° di differenza deve comunque muoversi per avvicinarsi al bordo, quindi il moto è sia circolare che radiale. Forse ho capito male.

[Rigel1]

"maCrobo":Mi sfugge come possa il nuotatore muoversi su di una circonferenza. Lui mentre tiene il leone a 180° di differenza deve comunque muoversi per avvicinarsi al bordo, quindi il moto è sia circolare che radiale. Forse ho capito male.

Il "muoversi su una circonferenza" era solo per semplificare il calcolo.
Fin quando hai \(v > V r / R\) hai abbastanza velocità sia per mantenere in opposizione il leone che per aumentare la tua distanza \(r\) dal centro. Quando arrivi ad avere \(r = \rho\) riesci solo a mantenere il leone in opposizione senza più però riuscire ad allontanarti dal centro. A questo punto ti muovi radialmente più veloce che puoi e speri di arrivare prima del leone...

[Macellaro]

Ah ok. Capito. Secondo me anche il metodo più efficiente è quello di fargli fare un percorso del genere.

In ogni caso, chiunque abbia altre idee è invitato a scriverle.

[paul spider]

Ciao! io ho fatto un ragionamento un po' sempliciotto da cui risulta che la velocità minima del nuotatore deve essere circa un terzo di quella del leone per riuscire a sfuggirgli...
supponiamo che la lunghezza del raggio (percorso più breve del nuotatore dal centro alla circonferenza) valga r=1
e che il nuotatore, ovviamente, si diriga lungo il diametro in direzione opposta alla posizione del leone;
perciò il leone, sia in senso orario che antiorario, ha esattamente mezza circonferenza da percorrere per arrivare al punto dove il nuotatore raggiungerà il bordo della piscina, quindi C/2 = 3,14
quindi se la velocità v del nuotatore vale almeno V/3 , lui arriva al bordo quando al leone manca ancora 0,14 per raggiungere lo stesso punto... sperando che mentre il leone percorre l'ultimo pezzetto di circonferenza, allo sventurato bagnante rimanga ancora tempo sufficiente per uscire dall'acqua, infilare le ciabattine e correre a barricarsi nello spogliatoio!

[Rigel1]

@paul spider:
il ragionamento che hai fatto tu è quello che porta alla stima \(v = V / \pi\), che però non è ottimale.

[paul spider]

non è ottimale perché in quel caso leone e nuotatore arriverebbero contemporaneamente allo stesso punto del bordo... infatti io ho detto che v =V/3 è la velocità sufficiente a far fuggire il nuotatore, in ogni caso deve essere v > V/pi greco...
altrimenti... gnam gnam!

[Rigel1]

"paul spider":non è ottimale perché in quel caso leone e nuotatore arriverebbero contemporaneamente allo stesso punto del bordo... infatti io ho detto che v =V/3 è la velocità sufficiente a far fuggire il nuotatore, in ogni caso deve essere v > V/pi greco...
altrimenti... gnam gnam!

No, non ci siamo capiti: non è ottimale perché, facendo come ho descritto negli altri messaggi, va bene qualsiasi velocità \(v > V/(\pi+1)\); in particolare anche con una velocità \(v = V/4\) (e l'adeguata strategia) si riesce a sfuggire al leone.

[ViciousGoblin]

Secondo me $v=\frac{V}{\pi+1}R$ non è ottimale . Dovrebbe venire (vedi sotto) $v=\gamma V$ dove $gamma\in]0,1]$ risolve $\pi+\arccos(\gamma)=\frac{\sqrt{1-\gamma^2}}{\gamma}$. Notate che se si pone $\gamma=cos(\theta)$ con $theta\in[0,\frac{\pi}{2}[$, allora l'equazione precedente diventa $\pi+\theta=\tan(\theta)$ che ha, abbastanza chiaramente, un'unica soluzione tra $0$ e $\pi/2$.
Provando a risolvere numericamente $\gamma=0,217230509<0.241453=\frac{1}{\pi+1}$.

Vedete un po' se il discorso che segue vi torna.

La prima parte della strategia deve essere, come dice Rigel, di nuotare tenendo in opposizione il leone, e questo si può fare fino alla distanza $r_0:=\frac{v}{V}R$ dal centro. A questo punto possiamo pensare che il nuotatore sia nel punto $(r_0,0)$ e il leone
nel punto $(-R,0)$ in un sistema di assai cartesiani con origine nel centro della vasca. Supponiamo che il leone decida di correre in verso orario - si capisce che non gli converrà più cambiare direzione e quindi continuerà a correre percorrendo con velocità $V$ il bordo "inferiore" del cerchio.
Il punto è che non è detto che al nuotatore convenga puntare al punto $(R,0)$, cioè al punto della vasca più vicino.
Prendiamo un punto generico $P=((R\cos(\theta),R\sin(\theta))$, con $0\leq\theta<\pi/2$ e vediamo quanto ci mettono il leone e il nuotatore a raggiugere $P$. Chiaramente il tempo $T=T(\theta)$ che serve al leone è $T(\theta)=\frac{R(\pi+\theta)}{V}$.
Per quanto riguarda il nuotatore vediamo che la distanza da percorrere è $\sqrt{R^2+\frac{v^2}{V^2}R^2-2\frac{v}{V}R^2\cos(\theta)}$
(teorema di Carnot) e quindi il tempo per arrivare a riva è $t=t(\theta)=\frac{R}{vV}\sqrt{V^2+v^2-2vV\cos(\theta)}$
Ora, lasciando ancora $v$ e $V$ generici, è chiaro che dobbiamo scegliere $\theta$ in modo che la differenza $t(\theta)-T(\theta)$ sia minima (e auspicabilmente $\leq0$, ma a questo pensiamo dopo). Dunque $t'(\theta)=T'(\theta)$, cioè, semplificando $R/V$,

$1=\frac{2vV\sin(\theta)}{2v\sqrt{V^2+v^2-2vV\cos(\theta)}}$, che con facili passaggi diventa:

$V^2\cos^2(\theta)-2vV\cos(\theta)+v^2=0$

che ci dà $\cos(\theta)=v/V=:\gamma$. Scelto dunque $\theta_\gamma:=\arccos(\gamma)$, dobbiamo scegliere $\gamma$ in modo che $t(\theta_\gamma)=T(\theta_\gamma)$, cioè

$\frac{R}{V}(\pi+\theta_\gamma)=\frac{R}{vV}\sqrt{V^2+v^2-2vV\cos(\theta_\gamma)}$, che equivale a

$\pi+\theta_gamma=\frac{\sqrt{V^2-v^2}}{v}$ se e solo se $\pi+\arccos(\gamma)=\frac{\sqrt{1-\gamma^2}}{\gamma}$
oppure, come detto prima, in termini di $theta$:

$\pi+\theta=\tan(\theta)$.

[Rigel1]

Sì, sembra anche a me che sia corretto.
Praticamente, supponendo che il leone cominci a correre in senso antiorario, per minimizzare la differenza di tempo al nuotatore conviene sempre dirigersi verso il punto con \(\theta = \arccos(v/V)\); se poi \(v/V > \gamma\) allora arriva prima del leone ed esce sano e salvo, viceversa...