Disuguaglianza integrale

[Rigel1]

Sia \(A\subseteq [-a,a]\) un insieme misurabile. Dimostrare che
\[
\int_A (a-|x|) \, dx \leq a\, |A| - \frac{|A|^2}{4},
\]
dove \(|A|\) denota la misura di Lebesgue di \(A\).

Edit: corretto il secondo membro.

[Paolo902]

Prendi $a=2$ e $A:=(-1,2) \subset (-2,2)$.

Da un lato,
\[
\int_{-1}^{2} 2-\vert x \vert dx = 6 - (2+\frac{1}{2}) = \frac{7}{2}
\]
Dall'altra
\[
a\frac{\vert A\vert}{2} - \frac{\vert A \vert^2}{4} = 3 - \frac{9}{4} =\frac{3}{4}
\]
quindi avremmo
\[
\frac{7}{2} \le \frac{3}{4}.
\]

Conclusione: o sono scemo io o c'è un $+$ a secondo membro (o forse la stima diventa troppo blanda e ne avevi in mente una più sharp?). Btw, io propendo per la prima.

[Rigel1]

Hai ragione; m'era sfuggito un \(2\) di troppo a denominatore (causato da un cambio di notazione quando ho trascritto l'esercizio).

[totissimus]

Per \( x_1\leq x_2\leq 0\) o perr \( 0 \leq x_1 \leq x_2 \) abbiamo:

\(\int_{x1}^{x2}\left(a-\left|x\right|\right)dx=a\left(x_{2}-x_{1}\right)-\frac{1}{2}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)=a\left|A\right|-\frac{1}{4}\left(2x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}\right)=\)
\(=a\left|A\right|-\frac{1}{4}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)\leq a\left|A\right|-\frac{1}{4}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}\right)=a-\frac{1}{4}\left|x_{2}-x_{1}\right|^{2}=a\left|A\right|-\frac{1}{4}\left|A\right|^{2}\).

Consideriamo adesso una unione finita o numerabile di intervalli: $A=\bigcup I_{i}$. Abbiamo:

\(\int_{A}\left(a-\left|x\right|\right)dx=\sum_{n}\int_{I_{n}}\left(a-\left|x\right|\right)dx\leq\sum_{n}\left(a\left|I_{n}\right|-\frac{1}{4}\left|I_{n}\right|^{2}\right)=\)
\(=a\left|A\right|-\frac{1}{4}\sum_{n}\left|I_{n}\right|^{2}\leq a\left|A\right|-\frac{1}{4}\left(\sum_{n}\left|I_{n}\right|\right)^{2}=a\left|A\right|-\frac{1}{4}\left|A\right|^{2}\).
La disuguaglianza quindi vale se \( A\) è un aperto.

La disuguaglianza generale si ottiene facilmente prendendo un aperto \( E\) tale che $A subset E$ e $|E-A|<\epsilon$. Ometto i facili dettagli perchè c'è Crozza su La7.

[Paolo902]

Avevo osservato anche io - facendo il conto - che la disuguaglianza vale quando $A$ è un intervallo, da cui si conclude semplicemente usando il teorema di approssimazione come ha fatto totissimus. Tuttavia, stavo cercando di dare un'interpretazione geometrica della disuguaglianza, ma non mi viene in mente nulla di significativo.

Osservo, tra l'altro, che la disuguaglianza in oggetto si può riscrivere come
\[
\int_A \vert x \vert dx \ge \frac{\vert A \vert^2}{4}
\]
e vale per ogni $A$ misurabile (non serve che sia limitato, a patto di considerare $+\infty$ il primo membro quando $A$ è non limitato). Insomma, quello che voglio dire è che tutto quanto è indipendente da $a$.

[Rigel1]

"Paolo90":Osservo, tra l'altro, che la disuguaglianza in oggetto si può riscrivere come
\[
\int_A \vert x \vert dx \ge \frac{\vert A \vert^2}{4}
\]

Osserva che il primo integrale è, sostanzialmente, il momento angolare rispetto all'origine della "barretta" \(A\) avente densità di massa unitaria; se vuoi minimizzare il momento angolare, ti conviene mettere la massa il più possibile vicino all'origine, vale a dire prendere un insieme \(B=(-\alpha, \alpha)\) con \(\alpha = |A| / 2\).

Propongo anche una soluzione leggermente più complicata, che fa uso della disuguaglianza di riarrangiamento
\[
\int f g \leq \int f^* g^*
\]
con \(f, g\) funzioni non negative e \(f^*, g^*\) i loro riarrangiamenti simmetrici decrescenti.
Posto \(f(x) = a-|x|\) e \(g(x) = \chi_A(x)\), \(x\in [-a,a]\), avremo che \(f^* = f\) e \(g^* = \chi_{A^*} = \chi_{(-\alpha,\alpha)}\) (sempre con \(\alpha = |A|/2\)), dunque
\[
\int f g = \int_A (a-|x|) dx \leq \int f^* g^* = \int_{-\alpha}^{\alpha} (a-|x|) dx = 2a\alpha - \alpha^2 = a |A| - \frac{|A|^2}{4}\,.
\]

[Paolo902]

"Rigel":
Propongo anche una soluzione leggermente più complicata, che fa uso della disuguaglianza di riarrangiamento
\[
\int f g \leq \int f^* g^*
\]
con \(f, g\) funzioni non negative e \(f^*, g^*\) i loro riarrangiamenti simmetrici decrescenti.
Posto \(f(x) = a-|x|\) e \(g(x) = \chi_A(x)\), \(x\in [-a,a]\), avremo che \(f^* = f\) e \(g^* = \chi_{A^*} = \chi_{(-\alpha,\alpha)}\) (sempre con \(\alpha = |A|/2\)), dunque
\[
\int f g = \int_A (a-|x|) dx \leq \int f^* g^* = \int_{-\alpha}^{\alpha} (a-|x|) dx = 2a\alpha - \alpha^2 = a |A| - \frac{|A|^2}{4}\,.
\]

Bella! Grazie anche per la spiegazione "fisica".

[gugo82]

Peccato non averlo visto prima... Ad ogni modo, ecco un facile rilancio: nelle stesse ipotesi, mostrare che:
\[
\int_A (a-|x|)\ \text{d} x \geq \frac{|A|^2}{4}\; .
\]


@ Righello: Non è preferibile dire "riordinamento"?

[Rigel1]

"gugo82":@ Righello: Non è preferibile dire "riordinamento"?

Dal punto di vista dell'italiano non c'è dubbio

[totissimus]

"gugo82":Peccato non averlo visto prima... Ad ogni modo, ecco un facile rilancio: nelle stesse ipotesi, mostrare che:
\[ \int_A (a-|x|)\ \text{d} x \geq \frac{|A|^2}{4}\; . \]

Abbiamo:

\(\displaystyle \int_{-a}^{a}\left(a-\left|x\right|\right)dx=a^{2}=\frac{\left(2a\right)^{2}}{4}\)
e quindi ponendo \(\overline{A}=[-a,a]-A\):
\(\displaystyle \int_{A}\left(a-\left|x\right|\right)dx+\int_{\overline{A}}\left(a-\left|x\right|\right)dx=\frac{\left(\left|A\right|+\left|\overline{A}\right|\right)^{2}}{4}=\frac{\left|A\right|^{2}}{4}+\frac{\left|\overline{A}\right|^{2}}{4}+\frac{\left|A\right|\left|\overline{A}\right|}{2}\)

Per la disuguaglianza integrale già dimostrata abbiamo:
\( \displaystyle \int_{\overline{A}}\left(a-\left|x\right|\right)dx\leq a\left|\overline{A}\right|-\frac{\left|\overline{A}\right|^{2}}{4}=\frac{1}{2}\left(\left|A\right|+\left|\overline{A}\right|\right)\left|\overline{A}\right|-\frac{\left|\overline{A}\right|^{2}}{4}=\frac{\left|\overline{A}\right|^{2}}{4}+\frac{\left|A\right|\left|\overline{A}\right|}{2}\)

Sostituendo sopra si dovrebbe ottenere la disuguaglianza proposta.

[gugo82]

Ok.

Ma si poteva anche usare la disuguaglianza di Hardy-Littlewood a scendere, cioé:
\[
\int_{-a}^a f(x)\ g(x)\ \text{d} x\geq \int_{-a}^a f^*(x)\ g_*(x)\ \text{d} x
\]
in cui \(f^*\) è il riordinamento simmetrico decrescente di \(f\) e \(g_*\) è il riordinamento simmatrico crescente di \(g\).
Nel caso proposto, prendendo \(f(x):=a-|x|\) e \(g(x)=\chi_A(x)\) si ha:
\[
f^*(x)=f(x) \qquad \text{e} \qquad g_*(x) = \chi_{[-a,-a+|A|/2[}(x) + \chi_{]a-|A|/2 ,a]}(x)
\]
dunque:
\[
\int_{-a}^a f^*(x)\ g_*(x)\ \text{d} x=2\ \int_{a-\frac{|A|}{2}}^a (a-|x|)\ \text{d} x = \frac{|A|^2}{4}
\]
(con l'integrale intermedio che si calcola anche senza conti, ossia facendo un banale disegnino).

[Paolo902]

A questo punto, vorrei chiedere a che cosa servono i riarrangiamenti/riordinamenti simmetrici crescenti/decrescenti. Io conosco giusto la definizione, me l'ero cercata l'anno scorso mentre preparavo Istituzioni di Analisi, ma non sono stato in grado di cogliere l'idea "vera" e l'utilità che si celano dietro al concetto e per esempio non conoscevo la disuguaglianza di HL a scendere che ha usato Gugo.

Qualcuno ha voglia di spendere due paroline a proposito, per piacere? Ringrazio.

[Rigel1]

Passo la palla a gugo che è piuttosto esperto in queste cose

[gugo82]

Spero che la fiducia di Righello sia ben riposta. Mi scuso fin d'ora per la lunghezza del post e per le inevitabili inesattezze in esso contenute.

***

Fondamentalmente, il riordinamento è un tipico "strumento geometrico" che si usa nell'Analisi.[nota]Un altro tipico strumento "geometrico" nell'analisi delle PDE è, ad esempio, il metodo dei piani mobili di Alexandrov.[/nota] Esso è usato per semplificare e risolvere problemi di tipo variazionale, tirare fuori proprietà qualitative delle soluzioni di PDE o confrontare (quantità legate a) tali soluzioni.

Qui di seguito, seppure in maniera imperfetta ed un po' prolissa, illustro un paio di esempi di ciò che può esser fatto usando le tecniche di riordinamento... Non preoccuparti: una definizione grafica di "riordinamento" è data all'occorrenza.

Un tipico problema di EDO e le proprietà delle sue soluzioni.

Consideriamo il seguente banalissimo problema al bordo:
\[
\left\{ \begin{split} -\frac{\text{d}^2}{\text{d} x^2}\ u (x) &= \lambda\ u(x) \quad ,\text{ in } ]-\pi,\pi[\\
u(-\pi) &=0\\
u(\pi) &=0 \end{split}\right.\; .
\]
Tale problema ha soluzioni non banali solo in corrispondenza di alcuni valori del parametro \(\lambda\), detti autovalori dell'operatore \(-\frac{\text{d}^2}{\text{d} x^2}\) con condizioni di Dirichlet omogeneee al bordo.
Con un po' di contarielli, si dimostra che tali autovalori sono del tipo \(\lambda_n=\frac{n^2}{4}\), con \(n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\), e che in corrispondenza di ogni \(\lambda_n\) esiste uno spazio monodimensionale di soluzioni, date da:
\[
u_n(x;C_n) := C_n\ \cos \left( \frac{n}{2}\ x\right)\; ;
\]
tali funzioni si chiamano autofunzioni associate a \(\lambda_n\) e l'insieme da esso costituito si chiama autospazio associato a \(\lambda_n\).
Avendo a disposizione l'espressione analitica delle prime autofunzioni, possiamo rivoltarle come dei calzini e tirarne fuori tutte le proprietà qualitative che esse hanno. Ad esempio, si vede subito che esse sono simmetriche rispetto allo \(0\) (perché il coseno è funzione pari) e sono strettamente decrescenti [risp. strettamente crescenti] in \([0,\pi]\) [risp. \([-\pi,0]\)]; volendo esprimere at once queste proprietà, si può dre che le prime autofunzioni sono "a simmetria radiale e radialmente decrescenti".

Tuttavia, la cosa bella è che queste proprietà qualitative le possiamo ricavare anche senza avere sotto mano l'espressione analitica delle autofunzioni, cioé direttamente da alcune proprietà basilari del primo autovalore.

Le proprietà fondamentali del primo autovalore.

Il primo autovalore \(\lambda_1 = \frac{1}{4}\), oltre ad essere semplice (i.e., ad avere l'autospazio associato di dimensione \(1\)), è pure isolato (poiché non è p.d.a. dell'insieme degli autovalori) ed ha associate autofunzioni non banali che hanno sempre lo stesso segno in \(]-\pi,\pi[\): infatti, le prime autofunzioni:
\[
u_1(x;C_1) := C_1\ \cos \frac{x}{2}
\]
con \(C_1\neq 0\) conservano in \(]-\pi,\pi[\) lo stesso segno di \(C_1\); questa proprietà si esprime dicendo che il primo autovalore è principale.[nota]Nota che \(\lambda_1\) è l'unico autovalore principale del nostro operatore.[/nota]
In questo caso, avendo già fatto tutti i conti in modo esplicito, le proprietà di semplicita, isolamento e principalità sono state ricavate "a mano". Tuttavia, queste proprietà possono essere dimostrate anche senza avere sotto mano l'espressione analitica delle autofunzioni e degli autovalori (il che, a meno di rarissimi casi particolari, accade sempre nei problemi agli autovalori per PDE): ad esempio, la principalità può essere dimostrata usando la disuguaglianza di Harnack, la semplicità usando identità del tipo di Picone, etc...
Inoltre, si dimostra con tecniche abbastanza standard che \(\lambda_1\) è variazionale: in particolare, si trova:
\[
\lambda_1 = \min \left\{ \frac{\| u^\prime\|_{2,]-\pi,\pi[}}{\|u\|_{2,]-\pi,\pi[}},\ u\in W_0^{1,2}(-\pi,\pi) \text{ e } u\neq 0\right\}
\]
cosicché il primo autovalore si ottiene risolvendo un appropriato problema di minimo di Calcolo delle Variazioni[nota]Anche gli altri autovalori sono variazionali: invero, essi si ottengono risolvendo problemi simili al precedente, ai cui vincoli vanno aggiunti opportuni vincoli di ortogonalità.[/nota].
Le proprietà appena elencate del primo autovalore sono importanti (non tanto nel caso in esame, quanto nel caso generale di PDE ellittiche "abbastanza" fetenti) in quanto risulta:
\[
\lambda_1 \text{ è isolato, semplice, principale e variazionale}\qquad \Rightarrow \qquad \text{le prime autofunzioni sono a simmetria radiale e radialmente decrescenti}.
\]

Il riordinamento radiale decrescente e le sue proprietà di base.

Un modo per provare l'implicazione consiste nell'usare la teoria dei riordinamenti, la quale si basa su una manciata di uguaglianze (che derivano dal teorema di Fubini sull'ordine di integrazione), su un pugno di disuguaglianze (Hardy-Littlewood a salire ed a scendere, Polya-Szego, Riesz) e sulle caratterizzazioni dei casi di uguaglianza in tali disuguaglianze (il più importante dei quali è forse il teorema di Brothers-Ziemer sull'uguaglianza nella disuguaglianza di Polya-Szego).

"Riordinare una funzione misurabile" di una variabile significa, al netto di tutto, renderla più simmetrica conservandone contemporaneamente alcune proprietà.
Un modo standard di fare ciò è il seguente. Prendiamo una funzione a caso[nota]Questa non è proprio una funzoine a caso, sia perché è positiva, sia perché sarà utile nel seguito.[/nota] \(u:[-\pi,\pi]\to \mathbb{R}\) e disegnamone il grafico:
[asvg]xmin=-3;xmax=3; ymin=-2; ymax=4;
axes("","");
strokewidth=2; path([[-3.14,0],[-1.57,1.57],[0,1.57],[0.785,2.355],[3.14,0]]);[/asvg]
tagliando il rettangoloide subordinato al grafico di \(u\) con rette parallele all'asse delle ascisse si ottengono degli insiemi misurabili (nel caso in esame, segmenti):
[asvg]xmin=-3;xmax=3; ymin=-2; ymax=4;
axes("","");
strokewidth=1; path([[-3.14,0],[-1.57,1.57],[0,1.57],[0.785,2.355],[3.14,0]]);
strokewidth=2; stroke="red"; path([[-2.14,1],[2.14,1]]); path([[0.43,2],[1.14,2]]); path([[-1.57,1.57],[1.57,1.57]]); path([[-2.62,0.523],[2.62,0.523]]);[/asvg]
che possiamo riposizionare, sempre allo stesso livello, in maniera simmetrica a cavallo dell'asse delle ordinate, ottenendo:
[asvg]xmin=-3;xmax=3; ymin=-2; ymax=4;
axes("","");
stroke="dodgerblue"; path([[-3.14,0],[-1.57,1.57],[-0.785,1.57],[0,2.355],[0.785,1.57],[1.57,1.57],[3.14,0]]);
strokewidth=2; stroke="red"; path([[-2.14,1],[2.14,1]]); path([[-0.355,2],[0.355,2]]); path([[-1.57,1.57],[1.57,1.57]]);path([[-2.62,0.523],[2.62,0.523]]);[/asvg]
ossia il grafico di una nuova funzione:
[asvg]xmin=-3;xmax=3; ymin=-2; ymax=4;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="dodgerblue"; path([[-3.14,0],[-1.57,1.57],[-0.785,1.57],[0,2.355],[0.785,1.57],[1.57,1.57],[3.14,0]]);[/asvg]
detta riordinamento simmetrico decrescente di \(u\) e denotata con \(u^*\).
Per il principio di Cavalieri (i.e., la versione geometrica del teorema di Fubini), la funzione \(u^*\) ha la stessa norma \(L^1\) di \(u\); ma si può provare che ciò vale per ogni norma \(L^p\) per \(1\leq p\leq \infty\), i.e. che:
\[
\| u^*\|_p = \| u\|_p\; .
\]
Quindi, il procedimento applicato ad \(u\) (anche detto simmetrizzazione) ci ha procurato una nuova funzione \(u^*\), più simmetrica di quella di partenza, che però ne conserva ogni norma \(L^p\).
Ovviamente, con la medesima tecnica si possono simmetrizzare anche funzioni non definite in intervalli simmetrici: ad esempio, simmetrizzando una funzione \(f\) definita in un insieme misurabile \(E\) con misura \(|E|>0\), si ottiene una funzione \(f^*\) definita in \(]-|E|/2 , |E|/2[\).

Si può vedere che la simmetrizzazione non compromette la continuità (i.e. se \(u\) è continua anche \(u^*\) lo è), però essa distrugge la derivabilità "forte": infatti, non è difficile trovare funzioni \(u\in C^\infty\) per le quali \(u^*\) non è nemmeno \(C^1\). Tuttavia la simmetrizzazione non distrugge le proprietà di derivabilità "debole": in altre parole, si dimostra che se \(u\in W_0^{1,p}\) allora si ha pure \(u^*\in W_0^{1,p}\) per ogni \(1 \[
\tag{PS}
\| (u^*)^\prime \|_p \leq \| u^\prime \|_p
\]
detta disuguaglianza di Polya-Szego.
Questa disuguaglianza è abbastanza infida per quel che riguarda la caratterizzazione del caso di uguaglianza: infatti, l'uguaglianza può valere anche se \(u\neq u^*\), come si può vedere calcolando esplicitamente la norma della derivata debole delle due funzioni \(u\) ed \(u^*\) dell'esempio precedente (dovuto a Kawohl)... Tuttavia, Brothers e Ziemer hanno dimostrato che se il grafico di \(u\) (o di \(u^*\)) non ha "zone piatte" a "livelli intermedi", allora si ha uguaglianza in (PS) solo se, a meno di una traslazione, il dominio di \(u\) è un intervallo simmetrico rispetto all'origine e se \(u=u^*\).

La necessità di evitare "zone piatte" ha un'evidente interpretazione geometrica, se si guarda ai grafici precedenti (in cui la condizione di Brothers e Ziemer fallisce): infatti, il grafico di \(u\) differisce da quello di \(u^*\) solamente per la posizione del triangolino superiore, che, di fatto, durante il processo di simmetrizzazione è "scivolato" sulla zona piatta ove era poggiato senza alterare la pendenza dei suoi lati (e quindi senza modificare la norma della derivata).
Perciò la condizione di Brothers e Ziemer, i.e. l'assenza di "zone piatte" a "livello intermedio", impedisce a pezzi del grafico di \(u\) di "scivolare" senza alterare la loro pendenza e quindi senza modificare la norma della derivata.

Una prima applicazione del riordinamento: la simmetria delle prime autofunzioni.

Con questi tre strumenti alla mano, vediamo come la simmetrizzazione possa essere usata nel problema variazionale di cui sopra.
Sia \(u_1\) una prima autofunzione dell'operatore \(-\frac{\text{d}^2}{\text{d} x^2}\) con condizioni di Dirichlet omogeneee; dato che \(\lambda_1\) è principale, possiamo assumere che \(u_1> 0\) in \(]-\pi,\pi[\). Simmetrizzando, possiamo applicare Polya-Szego al numeratore e l'invarianza della norma al denominatore, ottenendo:
\[
\lambda_1 = \frac{\| u_1^\prime\|_{2,]-\pi,\pi[}}{\|u_1\|_{2,]-\pi,\pi[}} \geq \frac{\| (u_1^*)^\prime\|_{2,]-\pi,\pi[}}{\| u_1^*\|_{2,]-\pi,\pi[}}\geq \lambda_1
\]
(l'ultima disuguaglianza vale perché \(\lambda_1\) è il minimo dei rapporti \(\frac{\|u^\prime\|_{2,]-\pi,\pi[}}{\|u\|_{2,]-\pi,\pi[}}\)) cosicché:
\[
\frac{\| u_1^\prime\|_{2,]-\pi,\pi[}}{\|u_1\|_{2,]-\pi,\pi[}} = \lambda_1
\]
e dunque \(u_1^*\) è anch'essa una prima autofunzione di \(-\frac{\text{d}^2}{\text{d} x^2}\) con condizioni di Dirichlet omogeneee. Dato che il primo autospazio è monodimensionale, perché \(\lambda_1\) è semplice, si ha \(u_1=c\ u_1^*\) con \(c>0\); ma dato che \(\| u_1\|_\infty = \| u_1^*\|_\infty\), deve essere \(c=1\) e perciò \(u_1=u_1^*\).
Abbiamo così dimostrato che ogni prima autofunzione positiva coincide col suo riordinamento simmetrico decrescente, sicché è essa stessa "radialmente simmetrica e decrescente".
D'altra parte, essendo l'autospazio monodimensionale, esso si può generare con una qualsiasi di tali autofunzioni positive: da ciò segue che le autofunzioni negative sono "radialmente simmetriche e crescenti".

Una seconda applicazione del riordinamento: confronto tra primi autovalori di problemi diversi.

Un'altra cosa simpatica che si può fare coi riordinamenti è confrontare quantità legate a diversi problemi al bordo (e.g., autovalori o norme di soluzioni).
Ad esempio, prendi un problema di autovalori del tipo:
\[
\left\{ \begin{split} -\frac{\text{d}^2}{\text{d} x^2}\ v(x) &= \mu\ v(x)\quad ,\text{ in } \Omega:=]-2\pi,-\pi[ \cup ]\pi,2\pi[\\
v(\pm 2\pi) &=0\\
v(\pm \pi) &=0 \end{split}\right.
\]
e chiama \(\mu_1\) il suo primo autovalore (che è anch'esso isolato, semplice, principale e variazionale).
Dato che la misura dell'insieme base \(\Omega\) del problema è \(2\pi\), possiamo pensare di confrontare \(\mu_1\) col precedente \(\lambda_1=\frac{1}{2}\)... Per fare ciò, simmetrizziamo una prima autofunzione positiva \(v_1\) di del nuovo problema (con lo stesso metodo illustrato sopra) ottenendo una funzione \(v_1^*:[-\pi,\pi]\to \mathbb{R}\); poi applichiamo Polya-Szego e l'invarianza della norma ed otteniamo:
\[
\mu_1 = \frac{\|v_1^\prime\|_{2,\Omega}}{\|v_1\|_{2,\Omega}} \geq \frac{\|(v_1^*)^\prime\|_{2,]-\pi,\pi[}}{\| v_1^*\|_{2,]-\pi,\pi[}}\geq \lambda_1
\]
sicché \(\mu_1\geq \lambda_1\) (come può essere dimostrato facendo opportuni contarielli).

La disuguaglianza appena dimostrata si chiama disuguaglianza di Faber-Krahn ed esprime una proprietà vera "abbastanza in generale": il primo autovalore di un operatore ellittico senza termini dipendenti dal gradiente (e.g., una cosa tipo\(-\Delta u + V(x)\ u\), con potenziale \(V\) sufficientemente sommabile) con condizioni omogenee al bordo è minimo quando l'insieme base è "sfericamente simmetrico" ed i coefficienti dell'equazione sono "a simmetria sferica".

Inoltre, qui si può tirare fuori anche qualcosa in più, cioé che \(\mu_1=\lambda_1\) solo se \(\Omega = ]-\pi,\pi[\) modulo traslazioni (cioé \(\Omega = ]x_0-\pi,x_0+\pi[\) con \(x_0\in \mathbb{R}\)).
Invero, se \(\mu_1=\lambda_1\), si ha la catena:
\[
\mu_1 = \frac{\| v_1^\prime\|_{2,\Omega}}{\| v_1\|_{2,\Omega}} \geq \frac{\| (v_1^*)^\prime\|_{2,]-\pi,\pi[}}{\| v_1^*\|_{2,]-\pi,\pi[}}\geq \lambda_1 =\mu_1
\]
che forza l'uguaglianza nelle due disuguaglianze presenti, sicché:
\[
\begin{split}
\frac{\| (v_1^*)^\prime\|_{2,]-\pi,\pi[}}{\| v_1^*\|_{2,]-\pi,\pi[}} &= \lambda_1\\
\frac{\| v_1^\prime\|_{2,\Omega}}{\| v_1\|_{2,\Omega}} &= \frac{\| (v_1^*)^\prime\|_{2,]-\pi,\pi[}}{\| v_1^*\|_{2,]-\pi,\pi[}}\; .
\end{split}
\]
con la seconda equivalente all'uguaglianza in Polya-Szego:
\[
\| v_1^\prime\|_{2,\Omega} = \| (v_1^*)^\prime\|_{2,]-\pi,\pi[}\; .
\]
La prima delle precedenti ci dice che \(v_1^*\) è una prima autofunzione del problema da cui siamo partiti, perciò \(v_1^*\) è strettamente positiva in \(]-\pi,\pi[\) e strettamente radialmente decrescente. Dalla stretta monotonia radiale e dalla positività segue che il grafico di \(v_1^*\) non ha "zone piatte" a "livelli intermedi", quindi siamo nel campo di applicabilità del teorema di Brothers-Ziemer... Che infatti applichiamo nell'ultima uguaglianza per garantirci che \(\Omega=]-\pi,\pi[\) modulo traslazioni e \(v_1=v_1^*\) modulo traslazioni.

Soddisfatto?

[Paolo902]

Perdona il ritardo, ma sono stato impegnato e ho visto solo oggi pomeriggio la tua meravigliosa e completa risposta. Ti ringrazio per la spiegazione, interessante e illuminante.

[gugo82]

Prego Paolo.
Anzi, ringrazio io te per i complimenti: spero di aver solleticato il tuo interesse.


P.S.: Per un trattamento più rigoroso e qualche applicazione più sensata, puoi leggerti il libricino di Kesavan, Symmetrization & Applications, World Scientific Publishing.