Disturbo ossessivo-compulsivo e gruppi finiti
------------Riassunto del post:
$V$, $S_3$, $Q_8$, $A_4$, $A_5$ sono gruppi "interessanti"
...ne conoscete uno interessante di ordine 20?
------------
Salve a tutti!
Mi volevo togliere una curiosità sui gruppi finiti, quindi mi rivolgo in particolare agli algebristi: che voi sappiate esiste un gruppo "notevole" di ordine 20?
Mi spiego meglio. Nella progressione dei gruppi finiti ci sono alcune tappe interessanti, dei controesempi classici:
Ordine, Nome, Simbolo, Primato
4, trirettangolo, $V$, il primo gruppo non-ciclico
6, simmetrico su 3 lettere, $S_3$, il primo gruppo non-abeliano
8, dei quaternioni, $Q_8$, il primo gruppo hamiltoniano
12, alterno su 4 lettere, $A_4$, il primo gruppo in cui non si inverte Lagrange (*)
60, alterno su 5 lettere, $A_5$, il primo gruppo semplice non-abeliano
Ora, quello che sto per dire appartiene più alla cabala/numerologia che alla matematica.. ma assecondatemi un attimo: i solidi platonici (gli unici poliedri regolari e convessi costruibili in 3 dimensioni) sono il tetraedro, il cubo, l'ottaedro, il dodecaedro, l'icosaedro; che hanno rispettivamente 4, 6, 8, 12, 20 facce. Da qui la mia domanda (stupidissima, lo ammetto.. il mio è solo uno sfizio): conoscete un gruppo "fico" di ordine 20?
(*) Il teorema di Lagrange afferma che, se $G$ è un gruppo e $H$ un suo sottogruppo, allora l'ordine di $H$ divide l'ordine di $G$. In $A_4$ non esiste alcun sottogruppo di ordine 6, pur essendo 6 un divisore di 12. Inoltre $A_4$ è l'unico fra gli alterni ad essere non-semplice.
PS Prevengo un'obiezione.
Basterebbe prendere un gruppo di ordine 20 (non quello ciclico magari) e dire:
"questo gruppo è il primo gruppo fatto -esattamente così-" ah ah!
Ok, mi riferisco a proprietà rilevanti nella teoria dei gruppi...
Grazie!
$V$, $S_3$, $Q_8$, $A_4$, $A_5$ sono gruppi "interessanti"
...ne conoscete uno interessante di ordine 20?
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Salve a tutti!
Mi volevo togliere una curiosità sui gruppi finiti, quindi mi rivolgo in particolare agli algebristi: che voi sappiate esiste un gruppo "notevole" di ordine 20?
Mi spiego meglio. Nella progressione dei gruppi finiti ci sono alcune tappe interessanti, dei controesempi classici:
Ordine, Nome, Simbolo, Primato
4, trirettangolo, $V$, il primo gruppo non-ciclico
6, simmetrico su 3 lettere, $S_3$, il primo gruppo non-abeliano
8, dei quaternioni, $Q_8$, il primo gruppo hamiltoniano
12, alterno su 4 lettere, $A_4$, il primo gruppo in cui non si inverte Lagrange (*)
60, alterno su 5 lettere, $A_5$, il primo gruppo semplice non-abeliano
Ora, quello che sto per dire appartiene più alla cabala/numerologia che alla matematica.. ma assecondatemi un attimo: i solidi platonici (gli unici poliedri regolari e convessi costruibili in 3 dimensioni) sono il tetraedro, il cubo, l'ottaedro, il dodecaedro, l'icosaedro; che hanno rispettivamente 4, 6, 8, 12, 20 facce. Da qui la mia domanda (stupidissima, lo ammetto.. il mio è solo uno sfizio): conoscete un gruppo "fico" di ordine 20?
(*) Il teorema di Lagrange afferma che, se $G$ è un gruppo e $H$ un suo sottogruppo, allora l'ordine di $H$ divide l'ordine di $G$. In $A_4$ non esiste alcun sottogruppo di ordine 6, pur essendo 6 un divisore di 12. Inoltre $A_4$ è l'unico fra gli alterni ad essere non-semplice.
PS Prevengo un'obiezione.
Basterebbe prendere un gruppo di ordine 20 (non quello ciclico magari) e dire:
"questo gruppo è il primo gruppo fatto -esattamente così-" ah ah!
Ok, mi riferisco a proprietà rilevanti nella teoria dei gruppi...
Grazie!
Risposte
Questa lista
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_small_groups
purtroppo non arriva a 20. Puoi comunque metterti a cercarli. Sono 5, 2 abeliani (\(C_{20}\) e \(C_2\times C_{10}\cong C_2\times C_2\times C_{10}\) ) e 3 non abeliani (http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_gro ... iven_order). Essendo pari uno di questi è il gruppo dietrale \(\displaystyle D_{10} \) (o \(\displaystyle D_{20} \) a seconda della tua notazione). Gli altri due sono un po' più complessi da descrivere.
Potrebbe interessarti questo sito http://www.bluetulip.org/programs/finitegroups.html
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_small_groups
purtroppo non arriva a 20. Puoi comunque metterti a cercarli. Sono 5, 2 abeliani (\(C_{20}\) e \(C_2\times C_{10}\cong C_2\times C_2\times C_{10}\) ) e 3 non abeliani (http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_gro ... iven_order). Essendo pari uno di questi è il gruppo dietrale \(\displaystyle D_{10} \) (o \(\displaystyle D_{20} \) a seconda della tua notazione). Gli altri due sono un po' più complessi da descrivere.
Potrebbe interessarti questo sito http://www.bluetulip.org/programs/finitegroups.html
C'è il gruppo delle matrici [tex]\left( \begin{array}{cc} x & a \\ 0 & 1 \end{array} \right)[/tex] con [tex]x,a \in \mathbb{F}_5[/tex] e [tex]x \neq 0[/tex]. E' un gruppo di ordine 20 e si potrebbe caratterizzare come il più piccolo gruppo affine che non è un gruppo ciclico o simmetrico (il corrispondente su [tex]\mathbb{F}_2[/tex] è isomorfo a [tex]C_2[/tex], il corrispondente su [tex]\mathbb{F}_3[/tex] è isomorfo a [tex]S_3[/tex]) 
ma mi sembra un po' artificiale. L'altro gruppo interessante di ordine 20 è quello "diciclico", non so se ha qualche particolarità che lo rende speciale. Poi dipende da cosa intendi per "interessante", lo sai no l'argomento che dice che se esistessero cose non interessanti allora prendi l'insieme delle cose non interessanti, lo bene ordini e allora il minimo delle cose non interessanti si può dire a buon diritto interessante.
Il 96 è un numero interessante perché c'è un gruppo di ordine 96 che è generato dai commutatori ma non ogni suo elemento è un commutatore. E' il più piccolo gruppo con questa proprietà.
ma mi sembra un po' artificiale. L'altro gruppo interessante di ordine 20 è quello "diciclico", non so se ha qualche particolarità che lo rende speciale. Poi dipende da cosa intendi per "interessante", lo sai no l'argomento che dice che se esistessero cose non interessanti allora prendi l'insieme delle cose non interessanti, lo bene ordini e allora il minimo delle cose non interessanti si può dire a buon diritto interessante.Il 96 è un numero interessante perché c'è un gruppo di ordine 96 che è generato dai commutatori ma non ogni suo elemento è un commutatore. E' il più piccolo gruppo con questa proprietà.
Dimenticavo il campo con 4 elementi. Diciamo il più piccolo affine che non è simmetrico né alterno
Ok, prima di tutto grazie mille per le risposte. Ho sempre detto che gli appassionati di scienza (una qualunque) sono brave persone
Carina questa applicazione!!
Ah ah! Mi ricorda il paradosso "il più piccolo numero che non si può esprimere con meno di quaranta sillabe nella lingua italiana".
Questa mi piace! Dimmi se ho capito bene:
chiamo $G$ il gruppo in questione e $\gamma$ l'applicazione da $G^2$ in $G$ che associa a ogni coppia (a,b) il suo commutatore [a,b]. Risulta allora che $G$ è generato da $\gamma(G^2)$ ma $\gamma$ non è suriettiva?
Corretto?
...e purtroppo non conosco ancora i gruppi affini! (ho passato da poco algebra 2) Adesso mi informo!
Comunque "il più piccolo affine che non è simmetrico né alterno" suona bene!
"vict85":
Potrebbe interessarti questo sito http://www.bluetulip.org/programs/finitegroups.html
Carina questa applicazione!!
"Martino":
Poi dipende da cosa intendi per "interessante", lo sai no l'argomento che dice che se esistessero cose non interessanti allora prendi l'insieme delle cose non interessanti, lo bene ordini e allora il minimo delle cose non interessanti si può dire a buon diritto interessante.
Ah ah! Mi ricorda il paradosso "il più piccolo numero che non si può esprimere con meno di quaranta sillabe nella lingua italiana".
"Martino":
Il 96 è un numero interessante perché c'è un gruppo di ordine 96 che è generato dai commutatori ma non ogni suo elemento è un commutatore. E' il più piccolo gruppo con questa proprietà.
Questa mi piace! Dimmi se ho capito bene:
chiamo $G$ il gruppo in questione e $\gamma$ l'applicazione da $G^2$ in $G$ che associa a ogni coppia (a,b) il suo commutatore [a,b]. Risulta allora che $G$ è generato da $\gamma(G^2)$ ma $\gamma$ non è suriettiva?
Corretto?
...e purtroppo non conosco ancora i gruppi affini! (ho passato da poco algebra 2) Adesso mi informo!
Comunque "il più piccolo affine che non è simmetrico né alterno" suona bene!
"Oort":Corretto.
Questa mi piace! Dimmi se ho capito bene:
chiamo $G$ il gruppo in questione e $\gamma$ l'applicazione da $G^2$ in $G$ che associa a ogni coppia (a,b) il suo commutatore [a,b]. Risulta allora che $G$ è generato da $\gamma(G^2)$ ma $\gamma$ non è suriettiva?
Corretto?
Altre cose: [tex]S_4[/tex] (di ordine 24) è il più piccolo gruppo senza sottogruppi di Sylow normali. Un altro numero interessante è il [tex]32[/tex]. Considera la domanda "se [tex]G[/tex] si immerge in [tex]S_n[/tex] e [tex]N \unlhd G[/tex] è vero che [tex]G/N[/tex] si immerge in [tex]S_n[/tex]?". La risposta è no, il più piccolo controesempio ha ordine [tex]32[/tex]. Esiste un gruppo [tex]G[/tex] di ordine [tex]32[/tex] che si immerge in [tex]S_{12}[/tex] ma esiste un suo sottogruppo normale [tex]N[/tex] tale che [tex]G/N[/tex] non si immerge in [tex]S_{12}[/tex]. Vedi qui.
Wow, una miniera di informazioni!
Perdona la mia insistenza, ma mi permetto di riformulare, per vedere se ho inteso bene:
Sia $G$ un gruppo finito con ordine NON potenza di primo e contemporaneamente NON abeliano. Allora avrà sicuramente sottogruppi di Sylow propri e possiamo sperare che almeno uno di questi sia NON normale. Ma noi vogliamo che TUTTI i sg di Sylow siano non-normali e questo, fino all'ordine 23, non capita mai. Quindi $S_4$, se non ho frainteso, avrà 7 sg di Sylow, tutti non-normali.
Per ogni gruppo $G$ di ordine k esiste, da Cayley, una copia isomorfa di $G$ in $S_k$ (costituita solo da dismutazioni, fantastico!). Questo però non vieta che $G$ ammetta anche una copia isomorfa in $S_h$ con hk). Allora è possibile associare a ogni gruppo $G$ un "grado", inteso come il minimo intero $m$ tale che $G$ si immerga in $S_m$. Il fatidico gruppo di ordine 32 ha questa proprietà: ammette un'immagine epimorfa (=un quoziente) il cui "grado" è strettamente maggiore del "grado" del gruppo stesso.
Aggiungo una domandina (che in realtà sarebbe l'altro mio post "Origami del piano di Argand-Gauss".. ma non occorre che ti annoi con tutto il post): considero il gruppo moltiplicativo ($CC$*;$*$), è giusto affermare che se quoziento sui {complessi di modulo unitario} ottengo $(RR;+)$ e che se invece quoziento sulle {radici complesse dell'unità} ottengo $(RR;+) + (RR/QQ;+)$ ?
PS con la parola "ottengo" sottintendo "a meno di isomorfismi"
Grazie mille, e dimmelo se dovessi risultare molesto!
Perdona la mia insistenza, ma mi permetto di riformulare, per vedere se ho inteso bene:
"Martino":
$S_4$ (di ordine 24) è il più piccolo gruppo senza sottogruppi di Sylow normali.
Sia $G$ un gruppo finito con ordine NON potenza di primo e contemporaneamente NON abeliano. Allora avrà sicuramente sottogruppi di Sylow propri e possiamo sperare che almeno uno di questi sia NON normale. Ma noi vogliamo che TUTTI i sg di Sylow siano non-normali e questo, fino all'ordine 23, non capita mai. Quindi $S_4$, se non ho frainteso, avrà 7 sg di Sylow, tutti non-normali.
"Martino":
Considera la domanda "se G si immerge in $S_n$ e N⊴G è vero che G/N si immerge in $S_n$?".
Per ogni gruppo $G$ di ordine k esiste, da Cayley, una copia isomorfa di $G$ in $S_k$ (costituita solo da dismutazioni, fantastico!). Questo però non vieta che $G$ ammetta anche una copia isomorfa in $S_h$ con h
Aggiungo una domandina (che in realtà sarebbe l'altro mio post "Origami del piano di Argand-Gauss".. ma non occorre che ti annoi con tutto il post): considero il gruppo moltiplicativo ($CC$*;$*$), è giusto affermare che se quoziento sui {complessi di modulo unitario} ottengo $(RR;+)$ e che se invece quoziento sulle {radici complesse dell'unità} ottengo $(RR;+) + (RR/QQ;+)$ ?
PS con la parola "ottengo" sottintendo "a meno di isomorfismi"
Grazie mille, e dimmelo se dovessi risultare molesto!
Le tue riformulazioni sono corrette.
Anche gli isomorfismi di cui parli sono corretti.
Anche gli isomorfismi di cui parli sono corretti.
Yeah!
Grazie ancora Martino, gentilissimo
Adesso vado a studiarmi i gruppi affini!!
PS forse riesco a ricambiare il favore: sapevi che $S_6$ è l'unico simmetrico che ammette automorfismi esterni? La dimostrazione non me la ricordo, ma dipendeva dal fatto che il numero di permutazioni di $S_6$ che si scrivono come prodotto di tre scambi disgiunti è 15, e coincide col numero di scambi possibili in $S_6$!
Grazie ancora Martino, gentilissimo
Adesso vado a studiarmi i gruppi affini!!
PS forse riesco a ricambiare il favore: sapevi che $S_6$ è l'unico simmetrico che ammette automorfismi esterni? La dimostrazione non me la ricordo, ma dipendeva dal fatto che il numero di permutazioni di $S_6$ che si scrivono come prodotto di tre scambi disgiunti è 15, e coincide col numero di scambi possibili in $S_6$!
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