Dimostrazione ignorante di un fatto

[otta96]

Vorrei sfidarvi a trovare la dimostrazione più ignorante che riuscite a trovare del seguente (semplice) fatto: sia $f:RR->RR$ derivabile e tale che $EE\lim_{x->+\infty} f(x)$ e $EE\lim_{x->+\infty} xf'(x)$ (entrambi finiti); dimostrare che $\lim_{x->+\infty} xf'(x)=0$.
Ora dovrei spiegarvi cosa intendo cosa intendo con l'aggettivo ignorante, ma non sono sicuro di riuscirci per bene, mi scuso in anticipo se non risulterà chiaro.
Con ignorante intendo una dimostrazione inaspettata, strana, che dovrebbe suscitare una reazione a chi la legge del tipo "ma cosa ho appena letto?!?!?", un esempio per far capire cosa NON intendo con dimostrazione ignorante sarebbe procedere dimostrando più in generale che $\text{liminf}_{x->+\infty}xf'(x)<=0<=\text{limsup}_{x->+\infty}xf'(x)$, questa piuttosto la considererei una soluzione elegante.
Io ho in mente una dimostrazione che considero ignorante, vediamo se riuscite a fare di meglio, in ogni caso tra qualche giorno posterò la mia.

[Rigel1]

Utilizza il teorema di l'Hopital sul limite
\[
\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{\log x}\,.
\]
Più ignorante di così...

[otta96]

Non c'è male.

[dan952]

Provo questa...

Chiamiamo $l=\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)$, allora

$l=\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{xf(x)}{x}=\text{De l'Hopital}=\lim_{x \rightarrow +\infty} (f(x)+xf'(x))$

Da cui la tesi.

L'ignoranza sta nel trasformare un limite già calcolato in una forma indeterminata.

[otta96]

Bene, dopotutto questa domanda ha avuto più successo di quanto sperassi , bravi entrambi avete colto il senso della richiesta, l'unica cosa che volevo aggiungere era che la dimostrazione che avevo in mente io è la stessa che ha fornito dan95.
Secondo me l'ignoranza di queste dimostrazioni risiede anche nel fatto che a differenza di quello che uno solitamente sa dalle superiori per applicare de l'Hopital non c'è bisogno che il limite sia della forma $\infty/\infty$, ma basta che al denominatore ci sia $\infty$