Coppie $xy$
Determinare tutte le coppie $(x, y) in ZZ^2$ tali che
$x^4+3x^2y^2+9y^4=12^2006$
Sto provando a svolgere questo problema, senza riuscirci però. Non so proprio da dove partire. Ho provato a scomporre il primo polinomio in qualche modo ma non ho trovato nulla. Qualcuno ha qualche suggerimento almeno per partire? Grazie
$x^4+3x^2y^2+9y^4=12^2006$
Sto provando a svolgere questo problema, senza riuscirci però. Non so proprio da dove partire. Ho provato a scomporre il primo polinomio in qualche modo ma non ho trovato nulla. Qualcuno ha qualche suggerimento almeno per partire? Grazie
Risposte
$12^2016=x^4+3x^2y^2+9y^4=(x^2+3y^2)^2$
$12^(1008)=x^2+3y^2$
poni $x=12^(504)t$ e $y=12^(504)/3s$ ottenendo semplicemente $t^2+s^2=1$
è chiaro che $12^(1008)=x^2+3y^2 <=> t^2+s^2=1$
ora se $s,t in ZZ$ allora chiaramente $x,y in ZZ$
quindi è chiaro che tutti i punti a coordinate intere di quella circonferenza sono nei punti $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$
Potresti provare a considerare quale proprietà devono rispettare $s,t$ se $x,y$ sono interi
$12^(1008)=x^2+3y^2$
poni $x=12^(504)t$ e $y=12^(504)/3s$ ottenendo semplicemente $t^2+s^2=1$
è chiaro che $12^(1008)=x^2+3y^2 <=> t^2+s^2=1$
ora se $s,t in ZZ$ allora chiaramente $x,y in ZZ$
quindi è chiaro che tutti i punti a coordinate intere di quella circonferenza sono nei punti $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$
Potresti provare a considerare quale proprietà devono rispettare $s,t$ se $x,y$ sono interi
"anto_zoolander":
$12^2016=x^4+3x^2y^2+9y^4=(x^2+3y^2)^2$
Ma il doppio prodotto?
c'hai ragione, l'ho dimenticato 
allora sarebbe $12^(2016)=(x^2+3y^2)^2-3x^2y^2$ e scomponi in differenza di quadrati
appena torno dalla palestra vedo se posso aiutarti meglio

allora sarebbe $12^(2016)=(x^2+3y^2)^2-3x^2y^2$ e scomponi in differenza di quadrati
$(x^2+xysqrt3+3y^2)(x^2-xysqrt3+3y^2)=12^(2016)$
appena torno dalla palestra vedo se posso aiutarti meglio

Se avessi messo questo quesito in "scervelliamoci un po'" probabilmente avresti ricevuto tonnellate di risposte (giuste) ormai!
Invece messa qua.... be' io c'ho provato ma non sono molto avvezzo a questo tipo di esercizi quindi non garantisco!
Passo 1:
Passo 2:
Passo 3:
Invece messa qua.... be' io c'ho provato ma non sono molto avvezzo a questo tipo di esercizi quindi non garantisco!
Passo 1:
Passo 2:
Passo 3:
Era al di fuori della mia portata allora...
Ma va, guarda che con un po' di allenamento questi giochetti da gare di matematica sono fattibilissimi!