Coppie $xy$

LoreT314
Determinare tutte le coppie $(x, y) in ZZ^2$ tali che
$x^4+3x^2y^2+9y^4=12^2006$
Sto provando a svolgere questo problema, senza riuscirci però. Non so proprio da dove partire. Ho provato a scomporre il primo polinomio in qualche modo ma non ho trovato nulla. Qualcuno ha qualche suggerimento almeno per partire? Grazie

Risposte
anto_zoolander
$12^2016=x^4+3x^2y^2+9y^4=(x^2+3y^2)^2$

$12^(1008)=x^2+3y^2$

poni $x=12^(504)t$ e $y=12^(504)/3s$ ottenendo semplicemente $t^2+s^2=1$
è chiaro che $12^(1008)=x^2+3y^2 <=> t^2+s^2=1$

ora se $s,t in ZZ$ allora chiaramente $x,y in ZZ$

quindi è chiaro che tutti i punti a coordinate intere di quella circonferenza sono nei punti $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$
Potresti provare a considerare quale proprietà devono rispettare $s,t$ se $x,y$ sono interi

LoreT314
"anto_zoolander":
$12^2016=x^4+3x^2y^2+9y^4=(x^2+3y^2)^2$

Ma il doppio prodotto?

anto_zoolander
c'hai ragione, l'ho dimenticato :-D

allora sarebbe $12^(2016)=(x^2+3y^2)^2-3x^2y^2$ e scomponi in differenza di quadrati

$(x^2+xysqrt3+3y^2)(x^2-xysqrt3+3y^2)=12^(2016)$

appena torno dalla palestra vedo se posso aiutarti meglio :-D

Bremen000
Se avessi messo questo quesito in "scervelliamoci un po'" probabilmente avresti ricevuto tonnellate di risposte (giuste) ormai!

Invece messa qua.... be' io c'ho provato ma non sono molto avvezzo a questo tipo di esercizi quindi non garantisco!

Passo 1:


Passo 2:


Passo 3:

LoreT314
Era al di fuori della mia portata allora...

Bremen000
Ma va, guarda che con un po' di allenamento questi giochetti da gare di matematica sono fattibilissimi!

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