Coppie $xy$

[LoreT314]

Determinare tutte le coppie $(x, y) in ZZ^2$ tali che
$x^4+3x^2y^2+9y^4=12^2006$
Sto provando a svolgere questo problema, senza riuscirci però. Non so proprio da dove partire. Ho provato a scomporre il primo polinomio in qualche modo ma non ho trovato nulla. Qualcuno ha qualche suggerimento almeno per partire? Grazie

[anto_zoolander]

$12^2016=x^4+3x^2y^2+9y^4=(x^2+3y^2)^2$

$12^(1008)=x^2+3y^2$

poni $x=12^(504)t$ e $y=12^(504)/3s$ ottenendo semplicemente $t^2+s^2=1$
è chiaro che $12^(1008)=x^2+3y^2 <=> t^2+s^2=1$

ora se $s,t in ZZ$ allora chiaramente $x,y in ZZ$

quindi è chiaro che tutti i punti a coordinate intere di quella circonferenza sono nei punti $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$
Potresti provare a considerare quale proprietà devono rispettare $s,t$ se $x,y$ sono interi

[LoreT314]

"anto_zoolander":$12^2016=x^4+3x^2y^2+9y^4=(x^2+3y^2)^2$

Ma il doppio prodotto?

[anto_zoolander]

c'hai ragione, l'ho dimenticato

allora sarebbe $12^(2016)=(x^2+3y^2)^2-3x^2y^2$ e scomponi in differenza di quadrati

$(x^2+xysqrt3+3y^2)(x^2-xysqrt3+3y^2)=12^(2016)$

appena torno dalla palestra vedo se posso aiutarti meglio

[Bremen000]

Se avessi messo questo quesito in "scervelliamoci un po'" probabilmente avresti ricevuto tonnellate di risposte (giuste) ormai!

Invece messa qua.... be' io c'ho provato ma non sono molto avvezzo a questo tipo di esercizi quindi non garantisco!

Passo 1:

Riscriviamo come

\[ (x^2+3y^2-12^{1003} )(x^2+3y^2+12^{1003} ) = 3x^2y^2 \]

Il membro di sinistra deve essere multiplo di $3$. Dunque almeno uno dei due fattori deve esserlo. Supponiamo lo sia il fattore di sinistra, ma allora $x$ è multiplo di $3$, ma allora anche il fattore di destra è multiplo di $3$. Analogamente se supponiamo che il fattore di destra sia multiplo di $3$. Abbiamo quindi che entrambi i fattori sono multipli di $3$ e in particolare deve essere che $x=3k$ per qualche $k \in ZZ$.

Otteniamo:

\[ 9(3k^2+y^2-12^{1002} \cdot 4)(3k^2+y^2-12^{1002} \cdot 4) = 27k^2y^2\]

\[ (3k^2+y^2-12^{1002} \cdot 4)(3k^2+y^2-12^{1002} \cdot 4) = 3k^2y^2\]

Riapplicando il ragionamento sopra esposto a $y$, si ottiene che deve essere $y=3h$ per qualche $h \in ZZ$. Dunque:

\[ 9(k^2+3h^2-12^{1001} \cdot 4^2)(k^2+3h^2-12^{1001} \cdot 4^2) = 27k^2y^2\]

\[ (k^2+3h^2-12^{1001} \cdot 4^2 )(k^2+3h^2+12^{1001} \cdot 4^2 ) = 3k^2h^2 \]

Quindi questo cambiamento di variabile a due passi si può applicare ancora $500$ volte. Quindi esiste \( (k,h) \in \mathbb{Z}^2 \) tale che \(x=3^{501}k \) e \( y= 3^{501}h \) e deve valere

\[ (k^2+3h^2-12 \cdot 4^{1002} )(k^2+3h^2+12 \cdot 4^{1002} ) = 3k^2h^2 \]

Riapplicandolo un'ultima volta su $k$ si conclude che esiste \( (k,h) \in \mathbb{Z}^2 \) tale che \(x=3^{502}k \) e \( y= 3^{501}h \) e deve valere

\[ (3k^2+h^2-4^{1003} )(3k^2+h^2+ 4^{1003} ) = 3k^2h^2 \]

Passo 2:

Abbiamo concluso che esiste \( (k,h) \in \mathbb{Z}^2 \) tale che \(x=3^{502}k \) e \( y= 3^{501}h \) e deve valere

\[ (3k^2+h^2-4^{1003} )(3k^2+h^2+ 4^{1003} ) = 3k^2h^2 \]

Che può essere riscritta come:

\[ (3k^2+h^2)^2 = 2^{4012} +3k^2h^2 \]

Cioè deve valere

\[ (3k^2+h^2)^2 \equiv 3k^2h^2 \quad \quad (\text{mod } 2) \]

Si può facilmente verificare che deve essere che $k$ e $h$ devono essere entrambi multipli di $2$.

Ovvero esiste \( (m,n) \in \mathbb{Z}^2 \) tale che \(k=2m \) e \( h= 2n \) e deve valere

\[ 16 \cdot (3m^2+n^2)^2 = 2^{4008}\cdot 2^4 +3\cdot 16 m^2n^2 \]

\[ (3m^2+n^2)^2 = 2^{4008} +3 m^2n^2 \]

Riapplicando questo ragionamento altre $1002$ volte si ha che esiste \( (m,n) \in \mathbb{Z}^2 \) tale che \(k=2^{1003}m \) e \( h= 2^{1003}n \) e deve valere

\[ (3m^2+n^2)^2 = 1 +3 m^2n^2 \]

Passo 3:

Abbiamo concluso che esiste \( (m,n) \in \mathbb{Z}^2 \) tale che \(x=3^{502}\cdot 2^{1003}m \) e \( y= 3^{501} \cdot 2^{1003}n \) e deve valere

\[ (3m^2+n^2)^2 = 1 +3 m^2n^2 \quad \quad \quad (\ast) \]

Ma da qua si ricava che

\[ 6m^2n^2 \le (3m^2+n^2)^2 = 1 +3 m^2n^2 \Rightarrow m^2n^2 \le \frac{1}{3} \Rightarrow m^2n^2=0 \]

E quindi ci sono tre possibilità:

\( (m,n) =(0,0) \Rightarrow (x,y) =(0,0) \) che non è soluzione.

\( m \ne 0 \wedge n =0 \Rightarrow x \ne 0 \wedge y=0 \Rightarrow x^4 = 12^{2006} \) che è impossibile.

\( m =0 \wedge n \ne 0 \Rightarrow x=0 \wedge y \ne 0 \Rightarrow y = \pm 3^{501} \cdot 2^{1003} \)

ovvero con \(n= \pm 1 \).

Cioè in definitiva \( (x,y) = (0, 3^{501} \cdot 2^{1003}) \) oppure \( (x,y) = (0, -3^{501} \cdot 2^{1003}) \).

[LoreT314]

Era al di fuori della mia portata allora...

[Bremen000]

Ma va, guarda che con un po' di allenamento questi giochetti da gare di matematica sono fattibilissimi!