Convergenza di un integrale impropio

[Wilde1]

Dire se il seguente integrale impropio esiste finito
$int_0^1 1/x|cos(1/x)| dx $

[Rigel1]

Io dico di no...

[Wilde1]

Risposta esatta !!!
Aspetto ancora qualche altra risposta con idea risolutiva...

[dan952]

Applicando la sostituzione $t=1/x$ l'integrale diventa $I=-\int_{+\infty}^{1}\frac{|\cos(t)|}{t}dt=\int_{1}^{+\infty}\frac{|\cos(t)|}{t}dt$ questo integrale è minorato dalla somma delle aree di triangolini aventi base $\pi$ e altezza $\frac{1}{n}$ con $n \in NN$, quindi:
$$\sum_{n=1}\frac{\pi}{2n} < I$$
Da cui segue che non converge.

[Wilde1]

ok correttissimo, è il metodo che avevo in mente anche io.

Propongo anche un metodo alternativo:

Osserviamo innanzitutto che (con cambio variabile $1/x=2/t$)
$ int_0^1 1/x|sen(1/x)| dx =int_0^2 1/t|sen(2/t)| dt=int_0^2 2/t |sen(1/t)||cos(1/t)| dt<=2int_0^2 1/t |cos(1/t)| dt$

Inoltre
$ int_0^1 1/x dx = int_0^1 1/x(sen(1/x)^2+cos(1/x)^2) dx<= int_0^1 1/x(|sen(1/x)|+|cos(1/x)|)dx $

Se supponiamo per assurdo $ int_0^1 1/x|cos(1/x)| dx < +\infty \quad $ Allora $\quad int_0^1 1/x dx < +\infty\quad$ Assurdo.