Congiungere una funzione costante con una a derivate positive
Definizione. Una funzione \(f\colon (0, \infty) \to \mathbb R\), di classe \(C^\infty\), e tale che
\[
\frac{d^k f}{dx^k}(x) \ge 0, \qquad \forall x>0,\ \forall k\ge 1,\]
si dice assolutamente monotona.
Esempi. \(f(x)=e^{ax}\) e \(f(x)=x^a\), per \(a\ge 0\), sono funzioni assolutamente monotone.
Domanda. Esiste una funzione assolutamente monotona e tale che \(f(x)=0\) per ogni \(x<1\)? A parte quella banale \(f=0\), naturalmente.
Suggerimento: varianti della funzione \(e^{-\frac1{x^2}}\) non vanno bene, perché non sono assolutamente monotone.
[ot]Questa domanda mi è stata posta da Christoph Thiele. Lì per lì non ho saputo rispondere e la risposta mi è sembrata sorprendente.[/ot]
\[
\frac{d^k f}{dx^k}(x) \ge 0, \qquad \forall x>0,\ \forall k\ge 1,\]
si dice assolutamente monotona.
Esempi. \(f(x)=e^{ax}\) e \(f(x)=x^a\), per \(a\ge 0\), sono funzioni assolutamente monotone.
Domanda. Esiste una funzione assolutamente monotona e tale che \(f(x)=0\) per ogni \(x<1\)? A parte quella banale \(f=0\), naturalmente.
Suggerimento: varianti della funzione \(e^{-\frac1{x^2}}\) non vanno bene, perché non sono assolutamente monotone.
[ot]Questa domanda mi è stata posta da Christoph Thiele. Lì per lì non ho saputo rispondere e la risposta mi è sembrata sorprendente.[/ot]
Risposte
Non ho provato a risolverlo, penso però che ci sia un errore nella definizione: quel \(\forall x > 0\) dovrebbe essere un \(\forall k > 0\), o mi sbaglio?
Dai miei ricordi del corso di analisi complessa, escluderei anche tutte le funzioni analitiche. Insomma, la funzione deve essere non analitica in \(1\). D'altra parte, penso che si possa trovare una funzione siffatta. Di fatto, è sufficiente trovare una funzione \(f\colon (1,\infty)\to \mathbb{R}\), di classe \(C^{\infty}\), assolutamente monotona e tale che \[\lim_{x\to 1^{+}} \frac{\mathrm{d}^{k}f(x)}{\mathrm{d}^{k} x} = 0\] per ogni \(k\ge 0\) (dove per comodità sto definendo la derivata di grado 0 come la funzione stessa).
Dai miei ricordi del corso di analisi complessa, escluderei anche tutte le funzioni analitiche. Insomma, la funzione deve essere non analitica in \(1\). D'altra parte, penso che si possa trovare una funzione siffatta. Di fatto, è sufficiente trovare una funzione \(f\colon (1,\infty)\to \mathbb{R}\), di classe \(C^{\infty}\), assolutamente monotona e tale che \[\lim_{x\to 1^{+}} \frac{\mathrm{d}^{k}f(x)}{\mathrm{d}^{k} x} = 0\] per ogni \(k\ge 0\) (dove per comodità sto definendo la derivata di grado 0 come la funzione stessa).
Boh, ci ho pensato su e probabilmente ha ragione vic.
L'unica idea per una funzione analitica che ho avuto è la logistica $f(x)=1/(1+e^-(x-n))$ con $n->oo$ ma questo è "imbrogliare".
L'unica idea per una funzione analitica che ho avuto è la logistica $f(x)=1/(1+e^-(x-n))$ con $n->oo$ ma questo è "imbrogliare".
"Bokonon":
L'unica idea per una funzione analitica che ho avuto è la logistica $f(x)=1/(1+e^-(x-n))$ con $n->oo$ ma questo è "imbrogliare".
Ma questa non è una risposta, perché quel limite vale \(0\). Il punto è proprio sapere se esistono funzioni non ovunque costanti.
Ma non vale $0$?
"dissonance":
Ma questa non è una risposta, perché quel limite vale \(0\). Il punto è proprio sapere se esistono funzioni non ovunque costanti.
Lo so, per questo ho scritto che è "imbrogliare".
Il punto è che non me ne venivano in mente altre.
Ho provato anche questa:
$ f(x)={ ( 0 if 0
e anche la classe $e^(-1/(x-1)^n$
Ma non sono assolutamente monotone.
Mi arrendo
P.S. Ops ho visto adesso che l'avevi segnalato nel post iniziale...ho perso tempo per nulla
Una piccola curiosità, cercando su internet ho trovato una definizione diversa di assolutamente monotona, infatti si richiede che \[ (-1)^k\frac{d^k f}{dx^k}(x) \ge 0, \qquad \forall x>0,\ \forall k\ge 1, \]
Ad esempio qui.
Ad esempio qui.
Non hai perso tempo per nulla. È con questi esperimenti che uno capisce dove deve andare. E poi, l'ho detto che era sorprendente: una tale funzione non esiste.
@vict: si, ok, sono cose di inizio XX secolo e quindi ci sono state fluttuazioni considerevoli nelle definizioni. Quella che hai scritto tu si dice anche "funzione completamente monotona". Non cambia molto, se una funzione è definita su tutto \(\mathbb R\) la trasformazione \(x\mapsto -x\) mappa le une nelle altre.
@vict: si, ok, sono cose di inizio XX secolo e quindi ci sono state fluttuazioni considerevoli nelle definizioni. Quella che hai scritto tu si dice anche "funzione completamente monotona". Non cambia molto, se una funzione è definita su tutto \(\mathbb R\) la trasformazione \(x\mapsto -x\) mappa le une nelle altre.
"dissonance":
Non hai perso tempo per nulla. È con questi esperimenti che uno capisce dove deve andare. E poi, l'ho detto che era sorprendente: una tale funzione non esiste.
E adesso so dove ti manderei
Comunque ci vuole poco a capire che una $C^(oo)$ debba essere una esponenziale di qualche tipo.
Ma come dimostri che una tale funzione non esiste per qualsiasi classe di funzioni?
Immagino si possa restringere il campo a tutte le funzioni per cui $lim_(x->1^+) f(x)=0$ ma poi?
Ma questo non significa anche che non esiste alcuna funzione assolutamente monotona tale che \(\lim_{x\to 0} f^{(k)}(x) = 0\) ? Insomma, l'intervallo tutto nullo non fa altro che costringere ad imporre la condizione sui limiti.
Immagino che si debbano usare gli integrali. La funzione è certamente integrabile su ogni compatto e il suo integrale è ancora una funzione assolutamente monotona.
Immagino che si debbano usare gli integrali. La funzione è certamente integrabile su ogni compatto e il suo integrale è ancora una funzione assolutamente monotona.
@vict85
Magari ho capito male io ma, dal titolo del thread, è permesso creare una funzione indicatrice.
Stavo pensando che forse sia possibile provare che una tale funzione non esiste partendo proprio dalla classe delle funzioni assolutamente monotone (nel senso dato da Dissonance) e mostrare che nessuna di esse ha un flesso. Se è così allora è impossibile costruire una funzione indicatrice che sia derivabile in (1,0).
Ha senso?
Magari ho capito male io ma, dal titolo del thread, è permesso creare una funzione indicatrice.
Stavo pensando che forse sia possibile provare che una tale funzione non esiste partendo proprio dalla classe delle funzioni assolutamente monotone (nel senso dato da Dissonance) e mostrare che nessuna di esse ha un flesso. Se è così allora è impossibile costruire una funzione indicatrice che sia derivabile in (1,0).
Ha senso?
@Bokonon: la funzione deve essere derivabile infinite volte. La soluzione "soft" di questo esercizio usa il teorema di Bernstein, secondo cui una funzione assolutamente monotona è analitica; quindi, se essa si annulla su un intervallo, si annulla ovunque. È una cosa controintuitiva, e capisco che tu mi abbia mandato a un paese lontano.
In realtà c'è un'altra dimostrazione, molto più diretta e interessante. Se ho capito bene, si tratta sostanzialmente di adattare questo argomento, prendendo come polinomi i polinomi di Taylor della \(f\), che difatti hanno coefficienti tutti positivi. Ora sono in giro ed è complicato per me mettermi a pensare alla cosa.
In realtà c'è un'altra dimostrazione, molto più diretta e interessante. Se ho capito bene, si tratta sostanzialmente di adattare questo argomento, prendendo come polinomi i polinomi di Taylor della \(f\), che difatti hanno coefficienti tutti positivi. Ora sono in giro ed è complicato per me mettermi a pensare alla cosa.
"dissonance":
una funzione assolutamente monotona è analitica; quindi, se essa si annulla su un intervallo, si annulla ovunque.
Beh la mia intuizione "sporca" iniziale con la logistica andava in questo senso...mi conforta
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