Compattezza di un sottoinsieme di $l^{2}(\mathbb{R})$
Vi propongo questo esercizio. Se volete divertirvi...
Sia \(\displaystyle K \subset l^{2}(\mathbb{R}) \) l'insieme \[\displaystyle K= \{ x \in l^{2}(\mathbb{R}) \ : \ |x_{n}| \le \frac{1}{n} \ \forall n \in \mathbb{N} \} \]
dove \(\displaystyle x=(x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \). Provare che \(\displaystyle K \) è compatto.
Risposte
Puoi cercare "cubo di Hilbert" o "mattone hilbertiano".
Porca miseria... Mi pare roba che scotta.
@Delirium: Ci va la disuguaglianza larga (i.e., \(\leq\)) nella definizione di \(K\).
Tuttavia questo è un esercizio "standard" che si può svolgere in diversi modi.
Se uno vuole fare i conti "a mano", fa vedere che \(K\) è sequenzialmente compatto, limitato e chiuso.
Altrimenti, basta invocare il teorema di compattezza di Tychonoff.
Tuttavia questo è un esercizio "standard" che si può svolgere in diversi modi.
Se uno vuole fare i conti "a mano", fa vedere che \(K\) è sequenzialmente compatto, limitato e chiuso.
Altrimenti, basta invocare il teorema di compattezza di Tychonoff.
Salve gugo, ho sistemato. Mi sa quindi che mi tocca smacchinare con i conti.
Ad ogni modo non mi pare un esercizio proprio standard, o almeno non per le nozioni di topologia che possiedo.
Ad ogni modo non mi pare un esercizio proprio standard, o almeno non per le nozioni di topologia che possiedo.
No, infatti non è un esercizio standard, anche se con delle conoscenze un po' più avanzate diventa facile. Ma al momento è difficile. Potresti provare a cercare ispirazione in un mio post su una questione simile di un annetto e mezzo fa:
post447646.html#p447646
il procedimento diagonale, bene o male, è sempre quello.
PS: Come suggerimento è proprio scarso, me ne rendo conto
post447646.html#p447646
il procedimento diagonale, bene o male, è sempre quello.
PS: Come suggerimento è proprio scarso, me ne rendo conto
Grazie dissonance. Qui, se non vedo biecamente, tu stesso hai dimostrato la compattezza di questo insieme. Ad ogni modo hai (giustamente) utilizzato delle tecniche (troppo) sofisticate; devo trovare un ragionamento "un po' più rozzo".
Appena posso ci penso bene, e quindi vi renderò partecipi dei miei sproloqui.
Appena posso ci penso bene, e quindi vi renderò partecipi dei miei sproloqui.
M'ero proprio scordato di quel topic! Là ho citato il teorema di convergenza dominata, un parolone, ma è completamente superfluo. L'ho messo lì giusto perché suonava bene, ma non ha nessun ruolo.
Comunque, in quel topic c'è, incidentalmente, un suggerimento di Rigel: cerca di dimostrare che l'insieme è totalmente limitato. (\(\varepsilon\)-rete è il gergo per indicare un sottoinsieme finito \(\{f_1 \ldots f_n\} \subset M\) tale che l'insieme delle sfere di raggio \(\varepsilon\) e centro in \(f_1 \ldots f_n\) ricopre tutto \(M\).)
Comunque, in quel topic c'è, incidentalmente, un suggerimento di Rigel: cerca di dimostrare che l'insieme è totalmente limitato. (\(\varepsilon\)-rete è il gergo per indicare un sottoinsieme finito \(\{f_1 \ldots f_n\} \subset M\) tale che l'insieme delle sfere di raggio \(\varepsilon\) e centro in \(f_1 \ldots f_n\) ricopre tutto \(M\).)
Le due strade che vedo.
Una da "soft Analysis" consiste nello sfruttare il notissimo teorema di compattezza di Tychonoff (si studiava in Geometria II, ai miei tempi).
Altrimenti, si può fare "hard Analysis" con le sottosuccessioni, come illustrato da dissonance nell'altro post.
***
Esercizio:
Sia \((a_n)\) una successione positiva tale che \(\sum_{n=1}^\infty a_n^2<\infty\).
Poniamo per definizione:
\[
K(a_n):= \{x=(x_n)\in \ell^2:\ \forall n\in \mathbb{N},\ |x_n|\leq a_n\}\; .
\]
1. Dimostrare che \(K(a_n)\) è compatto in \(\ell^2\) sfruttando la compattezza di \(K=K(1/n)\).
2. Provare che nessun \(K(a_n)\) è un intorno dello zero \(o=(0,0,\ldots, 0,\ldots )\in \ell^2\).
Una da "soft Analysis" consiste nello sfruttare il notissimo teorema di compattezza di Tychonoff (si studiava in Geometria II, ai miei tempi).
Altrimenti, si può fare "hard Analysis" con le sottosuccessioni, come illustrato da dissonance nell'altro post.
***
Esercizio:
Sia \((a_n)\) una successione positiva tale che \(\sum_{n=1}^\infty a_n^2<\infty\).
Poniamo per definizione:
\[
K(a_n):= \{x=(x_n)\in \ell^2:\ \forall n\in \mathbb{N},\ |x_n|\leq a_n\}\; .
\]
1. Dimostrare che \(K(a_n)\) è compatto in \(\ell^2\) sfruttando la compattezza di \(K=K(1/n)\).
2. Provare che nessun \(K(a_n)\) è un intorno dello zero \(o=(0,0,\ldots, 0,\ldots )\in \ell^2\).
"gugo82":Beh, le vedo anch'io; inoltre, non solo ai tuoi tempi di studiava Tychonov!
Le due strade che vedo.
Una da "soft Analysis" consiste nello sfruttare il notissimo teorema di compattezza di Tychonoff (si studiava in Geometria II, ai miei tempi)...
Altrimenti, si può fare "hard Analysis" con le sottosuccessioni, come illustrato da dissonance nell'altro post...
Intervengo perché tempo addietro dimostrai (come esercizio) che \(K\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\) è chiuso ma non compatto, utilizzando effettivamente le successioni in esso; quindi mi domando se il tuo esercizio fornisce una condizione anche necessaria per la compattezza di tali insiemi \(K(a_n)\).
Penso che la condizione sia anche necessaria, nel senso che \(K(a_n)\) è compatto se e solo se \(a_n \in \ell^2\). Infatti in caso contrario l'insieme conterebbe questa successione di successioni:
\[\begin{split}
(a_1, 0, 0, 0 \ldots)\\
(a_1, a_2, 0, 0 \ldots)\\
(a_1, a_2, a_3, 0 \ldots)\\
(a_1, a_2,a_3, a_4 \ldots)\\
\vdots\end{split}\]
che non ha estratte convergenti.
\[\begin{split}
(a_1, 0, 0, 0 \ldots)\\
(a_1, a_2, 0, 0 \ldots)\\
(a_1, a_2, a_3, 0 \ldots)\\
(a_1, a_2,a_3, a_4 \ldots)\\
\vdots\end{split}\]
che non ha estratte convergenti.
"dissonance":
Comunque, in quel topic c'è, incidentalmente, un suggerimento di Rigel: cerca di dimostrare che l'insieme è totalmente limitato. (\(\varepsilon\)-rete è il gergo per indicare un sottoinsieme finito \(\{f_1 \ldots f_n\} \subset M\) tale che l'insieme delle sfere di raggio \(\varepsilon\) e centro in \(f_1 \ldots f_n\) ricopre tutto \(M\).)
Da quanto scrivi deduco (ma mi pare abbastanza ovvio) che totale limitatezza \(\displaystyle \Rightarrow \) compattezza, giusto?
Però non ci ho cavato un accidente lo stesso.
Se prendo una qualunque successione di punti di \(\displaystyle K \), so che tale successione ha elementi in \(\displaystyle \left[-1,1 \right] \). Essendo limitata, possiede un'estratta convergente... Ma come provo che il limite \(\displaystyle L \) di tale estratta appartiene a \(\displaystyle K \)?
Ho intuito la logica, ma non riesco a seguire bene il tuo ragionamento, dissonance.
Per esempio, perché e come costruisci quella "matrice di punti"?
Ringrazio anticipatamente.
totale limitatezza \(\Rightarrow\) compattezzaNon in generale, però è facile mostrare che \(K\) è chiuso. Totale limitatezza + chiusura in uno spazio metrico completo \(\Rightarrow\) compattezza.
E' una caratterizzazione degli spazi metrici compatti: uno spazio metrico è compatto se e solo se esso è completo e totalmente limitato.
Comunque, quella costruzione (che ora non ho tempo di spiegare) è una classica tecnica di dimostrazione in casi come questo, detta "procedimento diagonale" o "diagonal sequence trick".
Il fatto è che non ho a mia disposizione tutti questi "strumenti"... Ho trovato [url=https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:cYPMePdd028J:www.math.unipd.it/~gdemarco/Topologia/TopFisica03.pdf+cubo+di+hilbert+%C3%A8+compatto+prova&hl=it&gl=it&pid=bl&srcid=ADGEESikeOexbFupbuRO1MG3q9Bl9z2NNOsJhzh2YjZbJ4f-uxgIwTjMFxmAEm-Bg0FNXHOoXWibGkqcK_1S74K44u3CAj0shnqG8Yk40Y-TjcQf-r-lWDXa986yP-6LRasocW7Q8cer&sig=AHIEtbT61wX9XbrRm7b3gQ7WN44StzId4g]questa dimostrazione[/url] del buon De Marco, che però si appoggia ancora su teoria che non ho a mia disposizione. Questo è l'ultimo esercizio di una serie di fogli che il professore di Analisi ha proposto durante il corso, e potrebbe essere domandato all'orale, anche se lui stesso lo segnala come "difficile".
Devo spaccarmi la testa ancora un po', e vedere se riesco a concludere qualcosa di sensato.
Grazie per la disponibilità dissonance.
Devo spaccarmi la testa ancora un po', e vedere se riesco a concludere qualcosa di sensato.
Grazie per la disponibilità dissonance.
se non erro se ne era parlato anche qua del problema originale
insiemi-compatti-t66865.html?hilit=%20compattezza%20l^2
insiemi-compatti-t66865.html?hilit=%20compattezza%20l^2
Come già suggerito da dissonance, puoi usare il metodo diagonale.
Sia \((x^j) \subset K\); denotiamo \(x^j = (x^j_1, x^j_2, \ldots, x^j_n, \ldots)\).
Considera la successione \((x^j_1)_j\) delle prime componenti; poiché è limitata in \(\mathbb{R}\), essa ammette una sottosuccessione, che denotiamo con \((x^{1,j}_1)_j\) convergente a un numero \( x_1\in [-1,1]\).
Considera ora la successione \((x^{1,j}_2)_r\) delle seconde componenti; essa è limitata, dunque ammette una sottosuccessione, che denoteremo con \((x^{2,j}_2)_j\), convergente a un numero \( x_2\in[-1/2, 1/2]\).
Per induzione, dalla \(k\)-esima sottosuccessione \((x^{k,j})_j\) estraiamo una sottosuccessione \((x^{k+1,j})_j\) tale che \((x^{k+1,j}_{k+1})_j\) converge a un numero \(x_{k+1}\in [-1/(k+1), 1/(k+1)]\).
A questo punto consideri la successione \((y^k)\subset K\) i cui elementi sono quelli della successione diagonale, vale a dire \(y^k_j = x^{k,k}_j\). Per costruzione avrai che \(\lim_k y^k_j = x_j\) per ogni \(j\).
Ti rimane da dimostrare che \(y^k \to x\) in \(\ell^2\).
PS: non escludo errori in indici e pedici...
Sia \((x^j) \subset K\); denotiamo \(x^j = (x^j_1, x^j_2, \ldots, x^j_n, \ldots)\).
Considera la successione \((x^j_1)_j\) delle prime componenti; poiché è limitata in \(\mathbb{R}\), essa ammette una sottosuccessione, che denotiamo con \((x^{1,j}_1)_j\) convergente a un numero \( x_1\in [-1,1]\).
Considera ora la successione \((x^{1,j}_2)_r\) delle seconde componenti; essa è limitata, dunque ammette una sottosuccessione, che denoteremo con \((x^{2,j}_2)_j\), convergente a un numero \( x_2\in[-1/2, 1/2]\).
Per induzione, dalla \(k\)-esima sottosuccessione \((x^{k,j})_j\) estraiamo una sottosuccessione \((x^{k+1,j})_j\) tale che \((x^{k+1,j}_{k+1})_j\) converge a un numero \(x_{k+1}\in [-1/(k+1), 1/(k+1)]\).
A questo punto consideri la successione \((y^k)\subset K\) i cui elementi sono quelli della successione diagonale, vale a dire \(y^k_j = x^{k,k}_j\). Per costruzione avrai che \(\lim_k y^k_j = x_j\) per ogni \(j\).
Ti rimane da dimostrare che \(y^k \to x\) in \(\ell^2\).
PS: non escludo errori in indici e pedici...
Però. Una domanda del genere ad un esame del primo anno? Caspita. Dev'essere un professore molto in gamba, e un esame spezza-ossa. Dacci dentro che sei bravissimo!
Una domanda del genere al primo anno di matematica? 
A stento proporrei di dimostrare che \(\ell^2\) è uno spazio vettoriale reale, figuriamoci il dimostrare che il cubo di Hilbert è un suo sottoinsieme compatto... bah!
Tornando all'esercizio di gugo, il punto 2. per ora mi da rogne, ma ci penserò ancora.
Poi pubblicherò tutta la soluzione.
A stento proporrei di dimostrare che \(\ell^2\) è uno spazio vettoriale reale, figuriamoci il dimostrare che il cubo di Hilbert è un suo sottoinsieme compatto... bah!Tornando all'esercizio di gugo, il punto 2. per ora mi da rogne, ma ci penserò ancora.
Poi pubblicherò tutta la soluzione.
"j18eos":
Tornando all'esercizio di gugo, il punto 2. per ora mi da rogne, ma ci penserò ancora.
Prova ad usare il teorema di Riesz: in uno spazio normato una sfera chiusa è compatta se e solo se lo spazio ha dimensione finita.
Ringrazio di nuovo Rigel per la spiegazione. Ci ritornerò presto.
Eh sì, in linea di principio tutti gli esercizi dei fogli che il professore ha proposto durante il corso hanno la stessa probabilità di essere domandati. Poi, come lui stesso ha ribadito, selezionerà quelli "più opportuni".
Ad ogni modo è bene saperli risolvere tutti, giacché spesso ciò che è "più opportuno" per i professori è "meno opportuno" per gli studenti
E poi, aldilà della mera possibile richiesta in sede d'esame (e della pessima battuta che ho appena fatto), è un modo per stimolare il pensiero, e un occasione imperdibile per mettersi in gioco.
E comunque sì, è un gran professore. Sebbene sia stato anche parecchio severo negli scritti, lo stimo per la correttezza nei confronti degli studenti e per la sua precisione professionale.
"dissonance":
Però. Una domanda del genere ad un esame del primo anno? Caspita. Dev'essere un professore molto in gamba, e un esame spezza-ossa. Dacci dentro che sei bravissimo!
Eh sì, in linea di principio tutti gli esercizi dei fogli che il professore ha proposto durante il corso hanno la stessa probabilità di essere domandati. Poi, come lui stesso ha ribadito, selezionerà quelli "più opportuni".
Ad ogni modo è bene saperli risolvere tutti, giacché spesso ciò che è "più opportuno" per i professori è "meno opportuno" per gli studenti
E poi, aldilà della mera possibile richiesta in sede d'esame (e della pessima battuta che ho appena fatto), è un modo per stimolare il pensiero, e un occasione imperdibile per mettersi in gioco. E comunque sì, è un gran professore. Sebbene sia stato anche parecchio severo negli scritti, lo stimo per la correttezza nei confronti degli studenti e per la sua precisione professionale.
[OT]
E' andata
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E' andata
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