Compattezza di un sottoinsieme di $l^{2}(\mathbb{R})$

[Sk_Anonymous]

Vi propongo questo esercizio. Se volete divertirvi...

Io non ho la più pallida idea di come trattarlo

Sia \(\displaystyle K \subset l^{2}(\mathbb{R}) \) l'insieme \[\displaystyle K= \{ x \in l^{2}(\mathbb{R}) \ : \ |x_{n}| \le \frac{1}{n} \ \forall n \in \mathbb{N} \} \]
dove \(\displaystyle x=(x_{n})_{n \in \mathbb{N}} \). Provare che \(\displaystyle K \) è compatto.

[dissonance]

[OT] Non avevamo nessun dubbio. [/OT]

[gugo82]

"j18eos":Intervengo perché tempo addietro dimostrai (come esercizio) che \(K\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\) è chiuso ma non compatto, utilizzando effettivamente le successioni in esso; quindi mi domando se il tuo esercizio fornisce una condizione anche necessaria per la compattezza di tali insiemi \(K(a_n)\).

A dire la verità, non avevo pensato ad una cosa del genere... Però mi sento di concordare con dissonance.

Più che altro questo esercizio l'avevo inventato per far smanettare un po' i piccoli con gli operatori lineari continui su \(\ell^2\).

"dissonance":[quote="j18eos"]Tornando all'esercizio di gugo, il punto 2. per ora mi da rogne, ma ci penserò ancora. Poi pubblicherò tutta la soluzione.

Prova ad usare il teorema di Riesz: in uno spazio normato una sfera chiusa è compatta se e solo se lo spazio ha dimensione finita.[/quote]
Non servono i cannoni, ma una piccola dose di sana intuizione geometrica.

[j18eos]

Notizia dell'ultimo minuto: sto diventando vecchio e scemo, T_T solo ora ho capito cosa c'entri la dimostrazione di gugo della compattezza del cubo di Hilbert con gli operatori lineari e continui (su uno spazio di Hilbert); da ciò segue banalmente la dimostrazione del punto I.

Ovviamente lascio i dettagli a qualche mente più giovane ed assennata.

Per il punto II, propongo una dimostrazione alla pasta e fagioli, la quale, secondo il mio palato, non è tanto saporita.

Se uno qualunque dei \(K(a_n)\) fosse un intorno di \(0\) in \(\ell^2\) allora dovrebbe contenere almeno un palla aperta di centro \(0\), ma il raggio \(r\) di tal detta palla deve essere minore o uguale all'estremo inferiore del sostegno della successione data che è \(0\); indi ciò tale palla non esiste e si conclude.

OUT OF SELF TO Delirium Auguri!

[gugo82]

"j18eos":Notizia dell'ultimo minuto: sto diventando vecchio e scemo, T_T solo ora ho capito cosa c'entri la dimostrazione di gugo della compattezza del cubo di Hilbert con gli operatori lineari e continui (su uno spazio di Hilbert); da ciò segue banalmente la dimostrazione del punto I.

"j18eos":Per il punto II, propongo una dimostrazione alla pasta e fagioli, la quale, secondo il mio palato, non è tanto saporita.

Se uno qualunque dei \(K(a_n)\) fosse un intorno di \(0\) in \(\ell^2\) allora dovrebbe contenere almeno un palla aperta di centro \(0\), ma il raggio \(r\) di tal detta palla deve essere minore o uguale all'estremo inferiore del sostegno della successione data che è \(0\); indi ciò tale palla non esiste e si conclude.

Esatto.

Il succo geometrico della faccenda è: le proiezioni dell'insieme \(K(a_n)\) sulle direzioni della base canonica di \(\ell^2\) si "stringono" intorno a \(0\), quindi tale insieme non può contenere alcuna palla aperta (perché le proiezioni di tali palle hanno tutte diametro costante).