Classi e insiemi

wide87
Ciao a tutti, premetto che non sapevo proprio dove inserire questo post. Magari in Algebra, però forse avrei rischiato di perdermi il parere di qualche non-algebrista...
Venendo a noi, sto preparando una tesi in Teoria delle Categorie e sto seguendo il simpatico libro di S.Awodey "Theory of Category" che introduce i concetti più importanti senza troppa raffinatezza formale, rimandando il lettore, laddove servisse, al più "influential" e dettagliato "Cateogries for the working mathematician" del pioniere S.Maclane.

La richiesta che sottopongo al popolo di Matematicamente è la seguente:

Dove posso procacciarmi un vademecum serio e formale che tratti bene la distinzione fra gli "impianti concettuali" elemento-insieme e oggetto-classe?

(Se qualcuno ha una spiegazione esauriente e precisa, ben venga!)

Per ora sono qui: Insieme ed appartenenza hanno il "buco" rappresentato dal caso in cui un insieme è elemento di sé stesso... Paradossi, insieme degli insiemi, Russel, Cantor...
Fra oggetto e classe invece c'è una chiara "gerarchia" nel senso che un ente è oggetto di una classe (e la classe può essere oggetto di una classe superiore) ma nessuna classe è oggetto di sé stessa... Farfugliamenti, come si può notare.

Onestamente mi sento in altomare...con nebbia.

Grazie a tutti.

Risposte
jitter1
Ciao wide, ti serve da un punto di vista strettamente matematico o vuoi fare un'introduzione filosofica? In questo secondo caso, se vuoi quando vado a casa posso guardare se dei libri che ho ne parlano.

wide87
L'approccio filosofico mi incuriosisce molto, quindi sono accoglierò benissimo tutto ciò che mi segnalerai.
Io comunque vorrei conoscere la più convenzionale delle differenze fra "elemento-insieme" e "oggetto-classe" a livello iper-tecnico e iper-formale...
Grazie ;)

wide87
Up?

Epimenide93
"wide87":
sto preparando una tesi in Teoria delle Categorie e sto seguendo il simpatico libro di S.Awodey "Theory of Category" che introduce i concetti più importanti senza troppa raffinatezza formale

Nel giro di una frase sei riuscito prima a farmi gasare e poi a farmi provare del dolore fisico. Comunque sia, su cosa la stai facendo di preciso, se ti va di dirlo?

"wide87":
Dove posso procacciarmi un vademecum serio e formale che tratti bene la distinzione fra gli "impianti concettuali" elemento-insieme e oggetto-classe?

Beh, quello che chiedi è una cosa piuttosto vaga. Sarò molto approssimativo, altrimenti finisco tra una settimana. Esistono molte teorie degli insiemi diverse (dove per "diverse" intendo che differiscono tra loro per uno o più assiomi, o anche per approccio, ma sentiti libero di ignorare quest'ultima cosa), di solito sia per ragioni storiche che per questioni di semplicità e di [strike]fossilizzazione[/strike] [strike]inerzia[/strike] diffusione si lavora in \(\sf ZFC\) in cui il concetto di classe non è presente (a meno di non introdurlo solo nel metalinguaggio, come avviene ad esempio nel Jech). A voler sviluppare la teoria delle categorie in \(\sf ZFC\) ci si ritrova in men che non si dica ad avere per le mani poco più o poco meno che una teoria sui poset, e non è certo quello che ci interessa fare (o per lo meno non è l'unica cosa che vogliamo fare), quindi dobbiamo muoverci da qualche parte, possibilmente in un posto che ci permetta di avere per le mani cose come \(\displaystyle \mathbf{Set} \), la categoria degli insiemi e delle funzioni, o \(\mathbf{Grp}\), quella dei gruppi e degli omomorfismi di gruppo. Le soluzioni più comuni sono due: la teoria assiomatica \(\sf NBG\) e la teoria assiomatica \( \sf TG\). \(\sf NBG\) (che venne sviluppata ben prima della nascita della teoria delle categorie, e per altri motivi) è un'estensione conservativa di \(\sf ZFC\) che introduce la nozione di classe e rende tutti felici e contenti fino al prossimo grado di astrazione. Infatti prima o poi si sentirà il bisogno di quantificare sulle classi, ed ecco che la teoria non andrà più bene, al che molti autori ripetono il giochino creando collezioni sempre più grosse e dai nomi sempre più fantasiosi; direi che traspare in maniera piuttosto evidente che quest'approccio non mi piace e mi suona tanto di presa per i fondelli, ma ha l'innegabile pregio di permetterci di lavorare su categorie come \(\displaystyle \mathbf{Set} \) o \(\mathbf{Grp}\) senza farci troppi problemi ed in una maniera molto "onesta" (più avanti sarà chiaro cosa intendo). \( \sf TG\) è un'estensione non conservativa di \( \sf ZFC\) che implica in particolare l'esistenza di cardinali inaccessibili, che risolve il problema in una maniera che trovo molto elegante introducendo il concetto di universo (sul quale mi sono recentemente trovato a discutere qui) ed un assioma che ci garantisca di trovarci sempre in un opportuno universo. Questo traduce il problema di passare da insiemi a classi a conglomerati a supercollezioni a dioguardachecollezionegrossacheho ad un fenomeno molto generale di universi incapsulati attraverso la solita relazione \(\subset\) tra insiemi. Tuttavia ha il limite di non permetterci di lavorare con cose come tutti gli insiemi/gruppi, ma solo con "tutti gli insiemi/gruppi che possono saltar fuori lavorando nel nostro universo". Questo limite è in un certo senso solo apparente, in quanto fissato un universo ci si ritrova un modello per \(\sf NBG\), ma è una questione più complessa di come te la sto presentando, solo che non è il caso di discuterla qui e ora e soprattutto non è detto che io sia in grado di farlo fino in fondo. Comunque, se fai una richiesta un po' più specifica posso provare a rispondere in modo più formale e dettagliato, se ne sono in grado.

"wide87":
Per ora sono qui: Insieme ed appartenenza hanno il "buco" rappresentato dal caso in cui un insieme è elemento di sé stesso... Paradossi, insieme degli insiemi, Russel, Cantor...
Fra oggetto e classe invece c'è una chiara "gerarchia" nel senso che un ente è oggetto di una classe (e la classe può essere oggetto di una classe superiore) ma nessuna classe è oggetto di sé stessa... Farfugliamenti, come si può notare.

Direi che stai lavorando in \(\sf NBG\). Il punto è che la relazione \(\in\) non può essere usata\non è definita su quelle che vengono dette classi proprie. Ogni elemento di \(\sf NBG\) è una classe, e si distingue (grazie all'assioma di limitazione di taglia) tra classi che possono essere elementi di altre classi (queste vengono dette insiemi) e classi per cui ciò non è possibile (dette classi proprie).

Le tre di cui ti ho parlato non sono le uniche teorie degli insiemi che esistono, anzi, ma sono le più diffuse ed è meglio non mettere altra carne al fuoco per il momento.

wide87
Caro Epimenide, era da tempo che non leggevo qualcosa di così chiaro e piacevole (specialmente la barra su fossilizzazione e inerzia ahaha). Riguardo il dolore fisico che ti ho procurato, ti capisco benissimo e ti chiedo scusa, ma la non raffinatezza formale è stata proprio la causa che mi ha spinto a creare il thread... All'inizio il libro mi sembrava possente, solido, ma poi pian piano ho iniziato a trovare questi artefatti "malandrini" in cui lui non entra più di tanto a giustiifcare, nascondendosi dietro alcuni fantastici "non è il fine di questo libro". Ho avvertito che sotto c'è un calderone di convenzioni e (differenti) teorie degli insiemi, ( e tu me l'hai confermato !!! ) purtroppo però l'autore non ne parla, non dice "io mi affido a questi assiomi". Ora, dato che ho avuto la fortuna di avere una prof. che ha accettato subito di fare da relatrice a una tesi in questo argomento e dato che non sono giovanissimo come te, non cambierò libro e non approfondirò come mi piacerebbe... Mi consola il fatto di sapere che la questione è intricata, e soprattutto ancora discussa e non-sistemata. L'articolazione del lavoro è sostanzialmente quella di attrezzarmi delle tecnologie cui fa riferimento il Lemma di Yoneda e utilizzarlo in qualche semplice dimostrazione di Omologia o Coomologia. Ho visto il post a cui mi hai indirizzato... Credi che "Categorical Algebra" sia un buon partito per non impazzire?

Tuttavia in conclusione, per ora, assumo la "categoria" come il più maneggevole esempio di astrazione del concetto di insieme e proseguo. Se poi sarà il caso vedrò come fare per evitare di essere prelevato da uomini in camice bianco.

Grazie molte,
con stima.

Epimenide93
Ti ringrazio, ma sei troppo buono.

"wide87":
Riguardo il dolore fisico che ti ho procurato, ti capisco benissimo e ti chiedo scusa

Non prendermi sul serio quando dico frasi come quella. Anzi, non prendermi sul serio e basta :-D

"wide87":
All'inizio il libro mi sembrava possente, solido, ma poi pian piano ho iniziato a trovare questi artefatti "malandrini" in cui lui non entra più di tanto a giustiifcare, nascondendosi dietro alcuni fantastici "non è il fine di questo libro". (...) Credi che "Categorical Algebra" sia un buon partito per non impazzire?

Per quanto riguarda gli aspetti fondazionali, è un problema ahimè abbastanza diffuso in misura più o meno marcata nei testi introduttivi (e non) di teoria delle categorie. La prassi sembra essere nei testi "semplici" (Borceux incluso) quella di dire «Lavoriamo sempre in \(\sf NBG\), ma quando non possiamo proprio farne a meno facciamo le dimostrazioni in \(\sf TG\), se la cosa non vi sta bene fate finta che sia stato fissato un universo una volta per tutte e che quando usiamo \( \sf NBG\) siamo lì dentro» (che non è proprio il massimo), in quelli "complessi" si lavora direttamente in \(\sf TG\), ma si prendono la libertà di dare per scontato quel che gli pare (tuttavia me ne son passati pochi per le mani, non so se è un fatto generale o se sia stato sfortunato io). Il MacLane ha un occhio un po' più di riguardo verso i fondamenti, ma ha un approccio arcaico, quindi il problema è risolto solo in parte. L'unico che sembra si sia veramente preoccupato di sistemare tutto per benino sembra essere stato H. Schubert nel suo Categories[nota]Libro che andrebbe letto anche solo per il cognome dell'autore :-D[/nota], ma ho avuto quel testo in mano (così come il MacLane) per circa tre minuti, solo per guardare la parte sui fondamenti, quindi non ho idea di come sia quel testo nel complesso. Io in linea di massima come testo di riferimento generico ho il Borceux, che finora mi è sembrato il miglior compromesso, e per gli argomenti classici mi ci trovo piuttosto bene, ergo mi sento di consigliartelo (ha il vizio di relegare alcune cose importanti negli esercizi, il che non è necessariamente un difetto, ma capisco che possa essere seccante), ma la letteratura al riguardo è smisurata ed io non ho letto poi così tanto (tanto per dire, il testo che citi non lo avevo mai sentito).

"wide87":
Mi consola il fatto di sapere che la questione è intricata, e soprattutto ancora discussa e non-sistemata.

Uff! Questa è solo la punta di un iceberg che non ho idea di quanto possa essere profondo. Conosco un paio di direzioni alternative per risolvere la questione, sulle quali però purtroppo non sono in grado di pronunciarmi debitamente.

Buon lavoro :smt023

killing_buddha
TG e' piu' potente di NBG,

Non puoi costruire nessun modello di NBG in ZFC, altrimenti ZFC proverebbe la sua stessa consistenza. Né puoi construire (esplicitamente) un modello di NBG in NBG, per la stessa ragione: ma TG è abbastanza espressiva da permetterti di costruire un modello di NBG per ogni universo (non numerabile) del tuo sistema assiomatico.

Questo http://math.stackexchange.com/questions ... el-for-nbg e' un modello per NBG in TG, e per costruzione le sue classi sono esattamente gli elementi di \(\mathcal{P}(U)\). Quindi se in TG consideri la categoria i cui oggetti sono le parti di U, i morfismi sono tutti e soli i morfismi di TG tra le parti di U, la composizione è la stessa di TG, così come identità, sources e targets... hai una categoria che ti descrive formalmente l'idea di una "meta-categoria" della classe di tutte le classi.

Io l'ho scoperto cercando di capire questo problema: http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... f=6&t=4938

killing_buddha
L'articolazione del lavoro è sostanzialmente quella di attrezzarmi delle tecnologie cui fa riferimento il Lemma di Yoneda e utilizzarlo in qualche semplice dimostrazione di Omologia o Coomologia

Sono curioso. Quali dimostrazioni, e quali tecnologie, se posso chiedere? C'e' essenzialmente una tecnologia sola di cui ti devi equipaggiare una volta appreso il lemma di Yoneda: per ogni prefascio \(F\colon \mathcal{C}\to \mathbf{Set}\), succede che
\[
F\cong \int^c Fc\times \mathcal{C}(-,c)
\]
(vedi l'esempio 1.2 qui)

wide87
Non te lo so dire quali sono le tecnologie, mi manca ancora un bel po' prima di arrivare a Yoneda

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