Ciclotomia e Goldbach

[3m0o]

Sia \(N > 0 \) un intero e sia inoltre \( \mathbb{P} = \{ p : p \text{ è un primo dispari } \} \). Denotiamo con \( \mathbf{1}_{\mathbb{P}} \) la funzione indicatrice su \( \mathbb{P} \) - i.e. \( \mathbf{1}_{\mathbb{P}} (n)=1 \) se \( n \in \mathbb{P} \) e \( \mathbf{1}_{\mathbb{P}} (n) = 0 \) altrimenti - e sia inoltre il polinomio
\[ F_N : \mathbb{C} \to \mathbb{C} \]
\[z \mapsto F_N(z) = \sum_{k=0}^{N-1} \left( \sum_{n=1}^{N-1} \mathbf{1}_{\mathbb{P}}(n)z^{kn} \right)^2 \]

Denotiamo con \( \varphi \) la funzione totiente di Eulero.
1.1) Dimostrare che per ogni \(N > 5 \) abbiamo che \(F_N \) possiede almeno \( 2 \varphi(N) \) radici sul cerchio unitario.
1.2) Supponi che per ogni \(N > 5 \) pari risulta che \( F_N \) possiede esattamente \(2 \varphi(N) \) radici sul cerchio unitario, allora (sotto questa ipotesi) dimostra la congettura di Goldbach

Hint:
Non è difficile dimostrare che
\[ \varphi(2N) = \left\{\begin{matrix}
2 \varphi(N) & \text{ se } N \text{ pari} \\
\varphi(N) & \text{ se } N \text{ dispari}
\end{matrix}\right. \]

[Quinzio]

"3m0o": e sia inoltre \( \mathbb{P} = \{ p : p \text{ è un primo dispari } \} \).

Per essere chiari: 1 e 2 non appartengono a \( \mathbb{P} \). Tutti gli altri si. Corretto ?

[3m0o]

Beh.. \(1\) non è primo e \(2\) non è dispari. Quindi è corretto sì.

[3m0o]

Nessuno?
Se volete un hint nello spoiler

Pensate ai polinomi cliclotomici... per quali \( N\), \( \Phi_N \) e/o \( \Phi_{2N} \) dividono \( F_N \).

[3m0o]

Vabbe nessuno ci prova quindi posto la dimostrazione (fonte: un paper di Peter Borwein)

a)
Dimostriamo che per ogni \( N \) risulta che \( \Phi_{2N} \mid F_N \). Sia allora \( \xi \) una radice di \(\Phi_{2N} \) risulta che
\[ F_N(\xi) = \sum_{k=0}^{N-1} \left( \sum_{n=1}^{N-1} \mathbf{1}_{\mathbb{P}}(n) \xi^{kn} \right)^2 \]
\[ = \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{n,m=1}^{N-1} \mathbf{1}_{\mathbb{P}}(n)\mathbf{1}_{\mathbb{P}}(m) \xi^{k(n+m)} \]
\[ = \sum_{n,m=1}^{N-1} \mathbf{1}_{\mathbb{P}}(n)\mathbf{1}_{\mathbb{P}}(m) \sum_{k=0}^{N-1} \xi^{k(n+m)} \]
ora abbiamo che poiché \(\mathbf{1}_{\mathbb{P}}(n)\mathbf{1}_{\mathbb{P}}(m)=0 \) a meno che \(n\) ed \(m\) non siano entrambi dei primi \(n,m > 2 \). Supponiamo quindi che sia il caso e abbiamo che \(n+m \) è pari dunque
\[ \sum_{k=0}^{N-1} \xi^{k(n+m)} = \sum_{k=0}^{N-1} \xi^{2k(n+m)/2} \]
ora abbiamo chiaramente che \( 0 < \frac{n+m}{2} < N \) ed è intero dunque deduciamo che
\[ \mathbf{1}_{\mathbb{P}}(n)\mathbf{1}_{\mathbb{P}}(m) \sum_{k=0}^{N-1} \xi^{k(n+m)} =0 \]
per ogni \( 1 \leq n,m < N \) dimostrando quindi che \( F_N(\xi) = 0 \). Per arbitrarietà della radice \( \xi \) di \( \Phi_{2N} \) abbiamo che \( \Phi_{2N} \mid F_N \). Pertanto abbiamo che \(F_N \) possiede almeno \( \varphi(2N) \) radici. Se \( N \) è pari abbiamo terminato. Supponiamo dunque che \(N\) sia dispari, e denotiamo con \(G(N) \) il numero di decomposizioni di \(N\) in somme ordinate di due primi (escluso il 2) quindi ad esempio \( G(4) = 0 \), \(G(6) = 1 \), e \( G(8) = 2 \).

Fissiamo una radice arbitraria \( \xi \) di \( \Phi_N \). E dimostriamo che per ogni \(N > 5\) risulta che
\[ F_N(\xi) = NG(N) \]
Come prima consideriamo
\[ F_N(\xi) = \sum_{k=0}^{N-1} \left( \sum_{n=1}^{N-1} \mathbf{1}_{\mathbb{P}}(n) \xi^{kn} \right)^2 \]
\[ = \sum_{k=0}^{N-1} \sum_{n,m=1}^{N-1} \mathbf{1}_{\mathbb{P}}(n)\mathbf{1}_{\mathbb{P}}(m) \xi^{k(n+m)} \]
\[ = \sum_{n,m=1}^{N-1} \mathbf{1}_{\mathbb{P}}(n)\mathbf{1}_{\mathbb{P}}(m) \sum_{k=0}^{N-1} \xi^{k(n+m)} \]
come prima \( \mathbf{1}_{\mathbb{P}}(n)\mathbf{1}_{\mathbb{P}}(m) = 0 \) a meno che \(n\) ed \(m\) non siano entrambi dei primi \(n,m > 2 \). Supponiamo quindi che sia il caso e abbiamo che
\[ \sum_{k=0}^{N-1} \xi^{k(n+m)} = 0 \]
a meno che \( N \mid (n+m) \) ma questo può accadere solamente se \( n+m= N \) poiché abbiamo che \( 1 \leq n,m \leq N-1 \) quindi \( 1 < n+m < 2N \). Da cui risulta chiaro che
\[ = \sum_{n,m=1}^{N-1} \mathbf{1}_{\mathbb{P}}(n)\mathbf{1}_{\mathbb{P}}(m) \sum_{k=0}^{N-1} \xi^{k(n+m)} = \sum_{n=1}^{N-1} \mathbf{1}_{\mathbb{P}}(n)\mathbf{1}_{\mathbb{P}}(N-n) \sum_{k=0}^{N-1} \xi^{kN} = N G(N)\]
quindi se \(N \) è dispari abbiamo chiaramente \(G(N) = 0 \) da cui se risulta che \( \Phi_N \mid F_N \) dimostrando quindi che \( F_N \) possiede almeno \( \varphi(2N) + \varphi(N) = 2\varphi(N) \) radici sul cerchio unitario.

b) Semplice corollario del precedente, se supponiamo che \(F_N \) possiede al più radici sul cerchio unitario allora abbiamo che se \(N\) è pari risulta che \( \Phi_N \not\mid F_N \) se e solo se \(G(N) \neq 0 \) da cui esistono \(p,q \) primi tale che \( N=p+q \).