Chiusura di una palla

[robbstark1]

Siano $x_0 in (S,d)$ un punto di uno spazio metrico e $C={x in S: d(x,x_0)<=r$ con $r in RR^+$.
1. Si provi che $C$ è un insieme chiuso. (molto facile)
2. Si provi che $C supe bar{B}(x_0,r)$, dove $B(x_0,r)={x in S: d(x,x_0)

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Risposte

dissonance

28 mar 2011, 20:45

"robbstark":non è detto che $C = bar{B}(x_0,r)$, come invece avviene in $RR^n$ con la metrica euclidea.

Più in generale questo avviene negli spazi normati. Aggiungerei anzi una ulteriore domanda, che mi è venuta in mente adesso e della quale non conosco la risposta:

3) E' vero che $C=bar{B}(x_0, r)$ per ogni $x_0 \in S, r >0$ equivale a dire che $(S, d)$ è uno spazio normabile?

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mistake89

28 mar 2011, 20:55

Sono stanco e non datemi addosso se dico fandonie

Se consideriamo $S=RR$ e $d$ distanza banale (quella per intenderci che è uguale a $0$ se $x=x_0$ e $1$ altrimenti) ) non funziona il controsempio alla 2?
$(RR,d)$ è lo spazio discreto, quindi $\bar (B(x_0),r))=B(x_0,r)$
Ora, posto $r=1$ si ha che $C=RR$, mentre $B(x_0,1)={x_0}$.

Ho detto fesserie?

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robbstark1

28 mar 2011, 21:20

Aggiungo subito in spoiler un esempio che illustra il secondo punto:

Definisco una distanza:
$d:RR X RR->RR^+$, $d(x,y)=|-[|x-y|]|$ dove le parentesi quadre indicano la parte intera. Più intuitivamente pongo la distanza tra due numeri pari alla parte intera del modulo della differenza aumentata di 1, se la differenza non è intera; se la differenza è intera pongo la distanza pari al modulo della differenza stessa.
Si deve innanzitutto provare che effettivamente questa funzione definisce una distanza:
1)$d(x,y)>=0$ $AAx,y in RR$: immediato da verificare
2)$d(x,y)=0 hArr x=y$: immediato da verificare
3)$d(x,y)=d(y,x)$: immediato da verificare
4)$d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)$: Dimostro sotto:

Dimostrazione della validità della disuguaglianza triangolare (4):
Se $zx,y$ allora almeno uno tra $|x-z|$ e $|z-y|$ è maggiore di $|x-y|$, da cui per le proprietà della parte intera si ricava la tesi.
Resta da studiare il caso $z$ compreso tra $x$ e $y$.
Se $|x-y|$ è intero, posso scegliere $z$ in modo che anche $|x-z|$ e $|z-y|$ siano interi. In questo caso la disuguaglianza è verificata col segno di uguaglianza. Se invece $|x-z|$ e $|z-y|$ non sono interi, la somma delle parti intere è minore di una unità rispetto al caso in cui vengono scelti interi, ma $d(x,z)=1+[|x-z|]$ e analogamente per l'altro termine. Quindi anche in questo caso la disuguaglianza è verificata.
Se $|x-y|$ non è intero, almeno uno dei valori assoluti in cui si può dividere è non intero, per cui con ragionamento analogo al precedente si ottiene che la disuguaglianza è verificata.

A questo punto, se non ho fatto errori finora, considero per semplicità $B(0,3)=[-2;2]$. In corrispondenza $C=[-3;3]$. Considero, come esempio, il punto $x=5/2$: $B(5/2,1/2)= {5/2} sube C-B(0,3)$, dunque $x=5/2$ è un punto interno di $C-B(0,3)$ e non è di aderenza per $B(0,3)$.

NOTA: Ho sfruttato una definizione "discreta" di distanza, in modo che in certi casi un intorno di un punto può coincidere con il punto stesso. E' davvero così facile? Oppure ho preso un grave abbaglio?

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j18eos

28 mar 2011, 21:23

"mistake89":

...mentre $B(x_0,1)={x_0}$. Deve essere $B(x_0,0)={x_0}$; by j18eos!

Ho detto fesserie?

Una fesseria l'hai scritta per svista!

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mistake89

28 mar 2011, 21:27

Non l'ho capita la correzione armando

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robbstark1

28 mar 2011, 21:30

Sull'idea di mistake89:

Mi sembra corretto, purchè anticipi la posizione $r=1$. Credo che sia uguale con un qualsiasi $r<1$. In fondo mi pare la mia stessa idea di base, solo molto ma molto più semplice. Complimenti.

A dissonance: Quando saprò cos'è uno spazio normato, credo presto, proverò a rispondere.

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j18eos

28 mar 2011, 21:32

@mistake89 Avevo letto un segno uguale che non c'è. Quindi non ci sono fesserie!

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mistake89

28 mar 2011, 21:52

Grazie mille

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j18eos

28 mar 2011, 22:00

@mistake89 Per così poco, non esageriamo!

@robbstark Non mi dire nulla, ho visto la lunghezza e non mi ci sono applicato; ci penserò domani. Notte!

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paolo.papadia

1 apr 2011, 10:45

"robbstark":Siano $x_0 in (S,d)$ un punto di uno spazio metrico e $C={x in S: d(x,x_0)<=r$ con $r in RR^+$.
1. Si provi che $C$ è un insieme chiuso. (molto facile)

sia $X-C$ il complementare di C,cioè $X-C={x in S: d(x,x_0)>r$
voglio dimostrare che $X-C$ è aperto,ottenendo cosi che $C$ è chiuso per definizione.
sia y elemento di $X-C$,allora $d(x,x_o)=r+k$ con $k>0$.
è chiaro che la bolla $B(y,k)$ è contenuta in $X-C$(si verifica tramite la disuguaglianza triangolare)
quindi $X-C$ contiene un un'ntorno di ogni suo punto,e quindi è aperto.

"robbstark":
2. Si provi che $C supe bar{B}(x_0,r)$, dove $B(x_0,r)={x in S: d(x,x_0)

$bar{B}(x_0,r)$ è per definizione l'intersezione di tutti i chiusi contenenti $B(x_0,r)$
C è un chiuso che contienene $bar{B}(x_0,r)$
quindi $C supe bar{B}(x_0,r)$

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j18eos

1 apr 2011, 21:02

@robbstark Scusami ma non ho trovato il tempo di scrivere quello che devo dirti!

@dissonance C'è una [tex]$X$[/tex] di troppo nel tuo post oppure no?

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giaorl

2 apr 2011, 09:08

"dissonance":[quote="robbstark"]non è detto che $C = bar{B}(x_0,r)$, come invece avviene in $RR^n$ con la metrica euclidea.

Più in generale questo avviene negli spazi normati. Aggiungerei anzi una ulteriore domanda, che mi è venuta in mente adesso e della quale non conosco la risposta:

3) E' vero che $C=bar{B}(x_0, r)$ per ogni $x_0 \in S, r >0$ equivale a dire che $(S, d)$ è uno spazio normabile?[/quote]

Di primo acchito mi pare di no. Propongo questo controesempio (non ho fatto i conti, quindi potrebbe benissimo essere sbagliato):

Consideriamo su [tex]\mathbb{R}[/tex] la distanza così definita: [tex]\forall\ x,y \in \mathbb{R}:\ d(x,y):=|x^3-y^3|[/tex]. Questa si vede facendo due conti che è una distanza (e facendoli si capisce perché ho messo il cubo e non il quadrato ). Se chiamo [tex]B_d(x_0,r):=\{x \in \mathbb{R}| |x^3 - x_0^3| < \varepsilon\}[/tex] e [tex]C[/tex] l'insieme con il minore uguale, dovrebbe essere [tex]\overline{B_d(x_0,r)}^d = C[/tex] (ripeto che non ho fatto i conti, ma intuitivamente mi sembra così). Ma questa distanza non è deducibile da una norma, il cubo fa perdere la linearità in questo senso: [tex]|x^3-y^3| \neq |(x+z)^3 - (y+z)^3|[/tex], e invece le distanze dedotte da norme hanno questa proprietà.

Un'altra idea può essere questa (argomento euristico):

Una varietà è metrizzabile (è un risultato che io personalmente non ho ancora visto), ma non è a priori nemmeno uno spazio vettoriale. Però è localmente uno spazio euclideo. Qui non saprei entrare nel dettaglio, ma l'idea che ho in mente è la sfera: sulla sfera non è difficile pensare ad una distanza le cui palle siano dei dischi sulla sfera.

Lo so, due mezze dimostrazioni non ne fanno una, questa è matematica. Solo non volevo lasciare in sospeso la questione e dare una mia idea.

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j18eos

2 apr 2011, 11:39

"giaorl":...sulla sfera non è difficile pensare ad una distanza le cui palle siano dei dischi sulla sfera...

Detta [tex]$S^2$[/tex] una sfera e [tex]$d$[/tex] la distanza euclidea di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex], basta scegliere [tex]$d^{*}=d_{/_{S^2}}$[/tex].

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dissonance

2 apr 2011, 16:52

@giaorl: Ho posto male la domanda, mannaggia. Riformulo e mi spiego meglio.

Domanda. Sia $(S, d)$ uno spazio metrico. Se succede che per ogni $x_0 \in S, r >0$ risulta

$\bar{{x \in S | d(x, x_0)< r}}={x \in S | d(x, x_0)<=r}$

allora esiste una struttura di spazio normato $(S, +, *, ||*||)$ tale che $d(x, y)=||x-y||$?

Motivazione per questa richiesta viene dalla seguente osservazione presa a prestito da questo esercizio di Lang (Undergraduate analysis):


Ora nel tuo primo esempio una struttura di spazio normato su $RR$ compatibile con la distanza $d(x, y)=|x^3-y^3|$ esiste. Se definiamo $x oplus y= (x^3+y^3)^(1/3), lambda otimes y= lambday, ||x||=|x^3|$, direi che ci siamo. Infatti sostanzialmente stiamo trasportando la struttura naturale di $RR$ su $RR$ mediante la bigezione $x \mapsto x^3$.

Invece la sfera mi manda in crisi, perché è compatta. Uno spazio normato compatto? Hmm...

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j18eos

3 apr 2011, 11:32

"robbstark":...
Definisco una distanza:
$d:RR X RR->RR^+$, $d(x,y)=|-[|x-y|]|$ dove le parentesi quadre indicano la parte intera. Più intuitivamente pongo la distanza tra due numeri pari alla parte intera del modulo della differenza aumentata di 1, se la differenza non è intera; se la differenza è intera pongo la distanza pari al modulo della differenza stessa...
...

Si fà prima a scrivere [tex]$d:(x;y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\ni\begin{cases}[|x-y|]+1\iff x-y\not\in\mathbb{Z}\\ |x-y|\iff x-y\in\mathbb{Z}\end{cases}$[/tex].
Poi, secondo tale metrica (col beneficio del dubbio) deve essere (come hai ben calcolato) [tex]$B(0;3)=\{x\in\mathbb{R}-\mathbb{Z}\mid[|x|]<2\}\cup\{-2;-1;0;1;2\}=(-2;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;2)\cup\{-2;-1;0;1;2\}=[-2;2]$[/tex]; [tex]$C(0;3)=\{x\in\mathbb{R}-\mathbb{Z}\mid[|x|]\leq 2\}\cup\{-3;-2;-1;0;1;2;3\}=\hdots=[-3;3]$[/tex]; [tex]$B\bigg(\frac{5}{2};\frac{1}{2}\bigg)=\bigg\{\frac{5}{2}\bigg\}$[/tex] è un punto di [tex]$C(0;3)$[/tex] non di aderenza per [tex]$B(0;3)$[/tex] e quindi [tex]$\overline B(0;3)\neq C(0;3)$[/tex].

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Gaal Dornick

3 apr 2011, 14:29

@Dissonance:
Carino, molto carino. Della serie "inutile scrivere in gotico, tanto sempre di normati parliamo".
E dopo averlo fatto mi sono anche reso conto che l'avevo visto in un corso (Bora.) e non me n'ero accorto!

Difatto possiamo provare che, dato uno spazio metrico qualunque $S$, allora esiste
$V$ uno spazio vettoriale normato e
$J:S \to V$ isometria (ingettiva).

Inoltre il nostro spazio $V$ è completo (funzioni limitate con la norma del $"sup"$), e abbiamo subito gratis che: se $J(S)$ è chiuso, allora $S$ è completo. Oppure che $\bar(J(S))$ è l'(unico) completamento di $S$!

La tua domanda diventa quindi: se è vero che, per ogni $x in S$ si ha
${y | ||f_x-f_y||<=r} sub \bar({y | ||f_x-f_y|| è possibile concludere che La $J$ è surgettiva?
(ad esempio, si vede subito che l'ipotesi non è soddisfatta per la metrica discreta - in quel caso stiamo considerando solo come funzioni limitate le caratteristiche)

Però non ho la risposta.
Mi è piaciuto molto però.

Non capisco il tuo ragionamento però. La "metrica cubica" (per darle un nome) non è indotta da una norma, non è invariante per traslazioni. Non capisco il tuo ragionamento. L'unica cosa che penso si possa dire è che è una metrica (riemanniana) su $RR$. Ma a questo punto getto la spugna, ne so troppo poco per complicare la questione tirando in ballo le varietà riemanniane..

Ovviamente (nel senso "for sure you know" - cioè non so, non mi va di provarlo, ma ci credo) l'unico spazio vettoriale topologico compatto è ${0}$.

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giaorl

3 apr 2011, 15:13

@Gaal Dornick: La metrica cubica non è deducibile da una norma su [tex](\mathbb{R},+,\cdot)[/tex] con la struttura usuale di spazio vettoriale, ma è deducibile da una norma su [tex](\mathbb{R}, \oplus, \otimes)[/tex] con le operazioni come definite da dissonance. In pratica la questione iniziale di dissonance è: dato uno spazio metrico tale che la chiusura della palla sia la palla aperta unita alla sfera, esiste una qualche struttura di spazio vettoriale e una norma su tale spazio tale che la distanza sia dedotta da essa? (traeva in inganno anche me il fatto che [tex]\mathbb{R}[/tex] avesse da sè una struttura di spazio vettoriale, mentre quello che interessa è esclusivamente la struttura di spazio metrico). Siamo tutti d'accordo comunque che la compattezza della sfera crea problemi.

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dissonance

3 apr 2011, 17:45

@giaorl: Esattamente. Comunque la congettura è falsa, ormai questo è chiaro: sicuramente l'unico spazio normato compatto è ${0}$ [size=75](*)[/size] e la sfera, che è compatta, verifica questa "proprietà della chiusura delle palle" ( ). Quindi la sfera è un controesempio valido: e in realtà, ormai che abbiamo capito il trucco, controesempi così ce ne sono parecchi. Un disco chiuso in $RR^2$, per esempio, ci fa lo stesso scherzo, mi sa.

Va bene. Sono contento che vi sia piaciuto. Quell'osservazione di Lang (@Gaal: si esatto, anche Boratynski se ne serviva per dimostrare il teorema di completamento) è interessante, anche se ultimamente mi sto convincendo che non è del tutto fondata.

Questo perché in realtà spazi metrici non immediatamente riconducibili a spazi normati ce ne sono. Come giustamente diceva giaorl, tutte le varietà topologiche sono metrizzabili: Lang ci dice che esiste un certo spazio normato in cui la varietà in questione è imbedded, ma è uno spazio molto astratto e concretamente non ce ne facciamo proprio nulla.

Invece introdurre una metrica su una varietà è una cosa molto più concreta e che nella vita reale si fa. Qui giaorl ne sa certamente più di me, ma io direi che ad esempio introdurre una distanza geodetica sulla sfera è una cosa "pratica", che si fa veramente nelle applicazioni. E cosa c'entra una distanza del genere con gli spazi normati? Proprio nulla.

_________________
(*) @Gaal: sono d'accordo sul fatto che questo si estende agli spazi vettoriali topologici. Direi che una dimostrazione rapida passa dalle rette: uno spazio vettoriale topologico non ridotto a ${0}$ contiene almeno una retta $r$, e questa è omeomorfa ad $RR$ e perciò non è compatta. Quindi anche lo spazio totale non è compatto perché se lo fosse tutti i suoi sottoinsiemi chiusi, rette comprese, dovrebbero essere compatti. Va bene?

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giaorl

3 apr 2011, 17:51

"dissonance":Qui giaorl ne sa certamente più di me

Ahah! Ne dubito! Infatti le mie argomentazioni sono state del tutto euristiche Per formalizzare questi concetti di geometria mi sa che devo attendere ancora un po'.

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Gaal Dornick

3 apr 2011, 20:15

@Dissonance.
Non ti fidare di me, non ricordo per bene la questione, ma direi di si. Le rette sono la prima cosa a cui penso, e direi che l'argomentazione da usarsi è quella. Insomma, è tutto troppo naturale per non funzionare.

Continuo a battere il ferro perchè è una questione assolutemente difficile per me, non sono a mio agio.
E localmente? Cosa possiamo dire?
Della serie: per ogni punto c'è un intorno in cui il nostro spazio è uno spazio vettoriale normato?
Ad esempio sulla sfera possiamo togliere un punto, e otteniamo che la sfera meno un punto è omeomorfa a $RR^n$ (vabbè, in realtà la sfera è il suo compattificato - serve?). E la topologia sulla sfera (in realtà definita proprio per rendere il succitato un omeomorfismo) è indotta dalla metrica riemaniana canonica. Ma questa metrica è normabile?

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[dissonance]

"robbstark":non è detto che $C = bar{B}(x_0,r)$, come invece avviene in $RR^n$ con la metrica euclidea.

Più in generale questo avviene negli spazi normati. Aggiungerei anzi una ulteriore domanda, che mi è venuta in mente adesso e della quale non conosco la risposta:

3) E' vero che $C=bar{B}(x_0, r)$ per ogni $x_0 \in S, r >0$ equivale a dire che $(S, d)$ è uno spazio normabile?

[mistake89]

Sono stanco e non datemi addosso se dico fandonie

Se consideriamo $S=RR$ e $d$ distanza banale (quella per intenderci che è uguale a $0$ se $x=x_0$ e $1$ altrimenti) ) non funziona il controsempio alla 2?
$(RR,d)$ è lo spazio discreto, quindi $\bar (B(x_0),r))=B(x_0,r)$
Ora, posto $r=1$ si ha che $C=RR$, mentre $B(x_0,1)={x_0}$.

Ho detto fesserie?

[robbstark1]

Aggiungo subito in spoiler un esempio che illustra il secondo punto:

Definisco una distanza:
$d:RR X RR->RR^+$, $d(x,y)=|-[|x-y|]|$ dove le parentesi quadre indicano la parte intera. Più intuitivamente pongo la distanza tra due numeri pari alla parte intera del modulo della differenza aumentata di 1, se la differenza non è intera; se la differenza è intera pongo la distanza pari al modulo della differenza stessa.
Si deve innanzitutto provare che effettivamente questa funzione definisce una distanza:
1)$d(x,y)>=0$ $AAx,y in RR$: immediato da verificare
2)$d(x,y)=0 hArr x=y$: immediato da verificare
3)$d(x,y)=d(y,x)$: immediato da verificare
4)$d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)$: Dimostro sotto:

Dimostrazione della validità della disuguaglianza triangolare (4):
Se $zx,y$ allora almeno uno tra $|x-z|$ e $|z-y|$ è maggiore di $|x-y|$, da cui per le proprietà della parte intera si ricava la tesi.
Resta da studiare il caso $z$ compreso tra $x$ e $y$.
Se $|x-y|$ è intero, posso scegliere $z$ in modo che anche $|x-z|$ e $|z-y|$ siano interi. In questo caso la disuguaglianza è verificata col segno di uguaglianza. Se invece $|x-z|$ e $|z-y|$ non sono interi, la somma delle parti intere è minore di una unità rispetto al caso in cui vengono scelti interi, ma $d(x,z)=1+[|x-z|]$ e analogamente per l'altro termine. Quindi anche in questo caso la disuguaglianza è verificata.
Se $|x-y|$ non è intero, almeno uno dei valori assoluti in cui si può dividere è non intero, per cui con ragionamento analogo al precedente si ottiene che la disuguaglianza è verificata.

A questo punto, se non ho fatto errori finora, considero per semplicità $B(0,3)=[-2;2]$. In corrispondenza $C=[-3;3]$. Considero, come esempio, il punto $x=5/2$: $B(5/2,1/2)= {5/2} sube C-B(0,3)$, dunque $x=5/2$ è un punto interno di $C-B(0,3)$ e non è di aderenza per $B(0,3)$.

NOTA: Ho sfruttato una definizione "discreta" di distanza, in modo che in certi casi un intorno di un punto può coincidere con il punto stesso. E' davvero così facile? Oppure ho preso un grave abbaglio?

[j18eos]

"mistake89":

...mentre $B(x_0,1)={x_0}$. Deve essere $B(x_0,0)={x_0}$; by j18eos!

Ho detto fesserie?

Una fesseria l'hai scritta per svista!

[mistake89]

Non l'ho capita la correzione armando

[robbstark1]

Sull'idea di mistake89:

Mi sembra corretto, purchè anticipi la posizione $r=1$. Credo che sia uguale con un qualsiasi $r<1$. In fondo mi pare la mia stessa idea di base, solo molto ma molto più semplice. Complimenti.

A dissonance: Quando saprò cos'è uno spazio normato, credo presto, proverò a rispondere.

[j18eos]

@mistake89 Avevo letto un segno uguale che non c'è. Quindi non ci sono fesserie!

[mistake89]

Grazie mille

[j18eos]

@mistake89 Per così poco, non esageriamo!

@robbstark Non mi dire nulla, ho visto la lunghezza e non mi ci sono applicato; ci penserò domani. Notte!

[paolo.papadia]

"robbstark":Siano $x_0 in (S,d)$ un punto di uno spazio metrico e $C={x in S: d(x,x_0)<=r$ con $r in RR^+$.
1. Si provi che $C$ è un insieme chiuso. (molto facile)

sia $X-C$ il complementare di C,cioè $X-C={x in S: d(x,x_0)>r$
voglio dimostrare che $X-C$ è aperto,ottenendo cosi che $C$ è chiuso per definizione.
sia y elemento di $X-C$,allora $d(x,x_o)=r+k$ con $k>0$.
è chiaro che la bolla $B(y,k)$ è contenuta in $X-C$(si verifica tramite la disuguaglianza triangolare)
quindi $X-C$ contiene un un'ntorno di ogni suo punto,e quindi è aperto.

"robbstark":
2. Si provi che $C supe bar{B}(x_0,r)$, dove $B(x_0,r)={x in S: d(x,x_0)

$bar{B}(x_0,r)$ è per definizione l'intersezione di tutti i chiusi contenenti $B(x_0,r)$
C è un chiuso che contienene $bar{B}(x_0,r)$
quindi $C supe bar{B}(x_0,r)$

[j18eos]

@robbstark Scusami ma non ho trovato il tempo di scrivere quello che devo dirti!

@dissonance C'è una [tex]$X$[/tex] di troppo nel tuo post oppure no?

[giaorl]

"dissonance":[quote="robbstark"]non è detto che $C = bar{B}(x_0,r)$, come invece avviene in $RR^n$ con la metrica euclidea.

Più in generale questo avviene negli spazi normati. Aggiungerei anzi una ulteriore domanda, che mi è venuta in mente adesso e della quale non conosco la risposta:

3) E' vero che $C=bar{B}(x_0, r)$ per ogni $x_0 \in S, r >0$ equivale a dire che $(S, d)$ è uno spazio normabile?[/quote]

Di primo acchito mi pare di no. Propongo questo controesempio (non ho fatto i conti, quindi potrebbe benissimo essere sbagliato):

Consideriamo su [tex]\mathbb{R}[/tex] la distanza così definita: [tex]\forall\ x,y \in \mathbb{R}:\ d(x,y):=|x^3-y^3|[/tex]. Questa si vede facendo due conti che è una distanza (e facendoli si capisce perché ho messo il cubo e non il quadrato ). Se chiamo [tex]B_d(x_0,r):=\{x \in \mathbb{R}| |x^3 - x_0^3| < \varepsilon\}[/tex] e [tex]C[/tex] l'insieme con il minore uguale, dovrebbe essere [tex]\overline{B_d(x_0,r)}^d = C[/tex] (ripeto che non ho fatto i conti, ma intuitivamente mi sembra così). Ma questa distanza non è deducibile da una norma, il cubo fa perdere la linearità in questo senso: [tex]|x^3-y^3| \neq |(x+z)^3 - (y+z)^3|[/tex], e invece le distanze dedotte da norme hanno questa proprietà.

Un'altra idea può essere questa (argomento euristico):

Una varietà è metrizzabile (è un risultato che io personalmente non ho ancora visto), ma non è a priori nemmeno uno spazio vettoriale. Però è localmente uno spazio euclideo. Qui non saprei entrare nel dettaglio, ma l'idea che ho in mente è la sfera: sulla sfera non è difficile pensare ad una distanza le cui palle siano dei dischi sulla sfera.

Lo so, due mezze dimostrazioni non ne fanno una, questa è matematica. Solo non volevo lasciare in sospeso la questione e dare una mia idea.

[j18eos]

"giaorl":...sulla sfera non è difficile pensare ad una distanza le cui palle siano dei dischi sulla sfera...

Detta [tex]$S^2$[/tex] una sfera e [tex]$d$[/tex] la distanza euclidea di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex], basta scegliere [tex]$d^{*}=d_{/_{S^2}}$[/tex].

[dissonance]

@giaorl: Ho posto male la domanda, mannaggia. Riformulo e mi spiego meglio.

Domanda. Sia $(S, d)$ uno spazio metrico. Se succede che per ogni $x_0 \in S, r >0$ risulta

$\bar{{x \in S | d(x, x_0)< r}}={x \in S | d(x, x_0)<=r}$

allora esiste una struttura di spazio normato $(S, +, *, ||*||)$ tale che $d(x, y)=||x-y||$?

Motivazione per questa richiesta viene dalla seguente osservazione presa a prestito da questo esercizio di Lang (Undergraduate analysis):


Ora nel tuo primo esempio una struttura di spazio normato su $RR$ compatibile con la distanza $d(x, y)=|x^3-y^3|$ esiste. Se definiamo $x oplus y= (x^3+y^3)^(1/3), lambda otimes y= lambday, ||x||=|x^3|$, direi che ci siamo. Infatti sostanzialmente stiamo trasportando la struttura naturale di $RR$ su $RR$ mediante la bigezione $x \mapsto x^3$.

Invece la sfera mi manda in crisi, perché è compatta. Uno spazio normato compatto? Hmm...

[j18eos]

"robbstark":...
Definisco una distanza:
$d:RR X RR->RR^+$, $d(x,y)=|-[|x-y|]|$ dove le parentesi quadre indicano la parte intera. Più intuitivamente pongo la distanza tra due numeri pari alla parte intera del modulo della differenza aumentata di 1, se la differenza non è intera; se la differenza è intera pongo la distanza pari al modulo della differenza stessa...
...

Si fà prima a scrivere [tex]$d:(x;y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\ni\begin{cases}[|x-y|]+1\iff x-y\not\in\mathbb{Z}\\ |x-y|\iff x-y\in\mathbb{Z}\end{cases}$[/tex].
Poi, secondo tale metrica (col beneficio del dubbio) deve essere (come hai ben calcolato) [tex]$B(0;3)=\{x\in\mathbb{R}-\mathbb{Z}\mid[|x|]<2\}\cup\{-2;-1;0;1;2\}=(-2;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;2)\cup\{-2;-1;0;1;2\}=[-2;2]$[/tex]; [tex]$C(0;3)=\{x\in\mathbb{R}-\mathbb{Z}\mid[|x|]\leq 2\}\cup\{-3;-2;-1;0;1;2;3\}=\hdots=[-3;3]$[/tex]; [tex]$B\bigg(\frac{5}{2};\frac{1}{2}\bigg)=\bigg\{\frac{5}{2}\bigg\}$[/tex] è un punto di [tex]$C(0;3)$[/tex] non di aderenza per [tex]$B(0;3)$[/tex] e quindi [tex]$\overline B(0;3)\neq C(0;3)$[/tex].

[Gaal Dornick]

@Dissonance:
Carino, molto carino. Della serie "inutile scrivere in gotico, tanto sempre di normati parliamo".
E dopo averlo fatto mi sono anche reso conto che l'avevo visto in un corso (Bora.) e non me n'ero accorto!

Difatto possiamo provare che, dato uno spazio metrico qualunque $S$, allora esiste
$V$ uno spazio vettoriale normato e
$J:S \to V$ isometria (ingettiva).

Inoltre il nostro spazio $V$ è completo (funzioni limitate con la norma del $"sup"$), e abbiamo subito gratis che: se $J(S)$ è chiuso, allora $S$ è completo. Oppure che $\bar(J(S))$ è l'(unico) completamento di $S$!

La tua domanda diventa quindi: se è vero che, per ogni $x in S$ si ha
${y | ||f_x-f_y||<=r} sub \bar({y | ||f_x-f_y|| è possibile concludere che La $J$ è surgettiva?
(ad esempio, si vede subito che l'ipotesi non è soddisfatta per la metrica discreta - in quel caso stiamo considerando solo come funzioni limitate le caratteristiche)

Però non ho la risposta.
Mi è piaciuto molto però.

Non capisco il tuo ragionamento però. La "metrica cubica" (per darle un nome) non è indotta da una norma, non è invariante per traslazioni. Non capisco il tuo ragionamento. L'unica cosa che penso si possa dire è che è una metrica (riemanniana) su $RR$. Ma a questo punto getto la spugna, ne so troppo poco per complicare la questione tirando in ballo le varietà riemanniane..

Ovviamente (nel senso "for sure you know" - cioè non so, non mi va di provarlo, ma ci credo) l'unico spazio vettoriale topologico compatto è ${0}$.

[giaorl]

@Gaal Dornick: La metrica cubica non è deducibile da una norma su [tex](\mathbb{R},+,\cdot)[/tex] con la struttura usuale di spazio vettoriale, ma è deducibile da una norma su [tex](\mathbb{R}, \oplus, \otimes)[/tex] con le operazioni come definite da dissonance. In pratica la questione iniziale di dissonance è: dato uno spazio metrico tale che la chiusura della palla sia la palla aperta unita alla sfera, esiste una qualche struttura di spazio vettoriale e una norma su tale spazio tale che la distanza sia dedotta da essa? (traeva in inganno anche me il fatto che [tex]\mathbb{R}[/tex] avesse da sè una struttura di spazio vettoriale, mentre quello che interessa è esclusivamente la struttura di spazio metrico). Siamo tutti d'accordo comunque che la compattezza della sfera crea problemi.

[dissonance]

@giaorl: Esattamente. Comunque la congettura è falsa, ormai questo è chiaro: sicuramente l'unico spazio normato compatto è ${0}$ [size=75](*)[/size] e la sfera, che è compatta, verifica questa "proprietà della chiusura delle palle" ( ). Quindi la sfera è un controesempio valido: e in realtà, ormai che abbiamo capito il trucco, controesempi così ce ne sono parecchi. Un disco chiuso in $RR^2$, per esempio, ci fa lo stesso scherzo, mi sa.

Va bene. Sono contento che vi sia piaciuto. Quell'osservazione di Lang (@Gaal: si esatto, anche Boratynski se ne serviva per dimostrare il teorema di completamento) è interessante, anche se ultimamente mi sto convincendo che non è del tutto fondata.

Questo perché in realtà spazi metrici non immediatamente riconducibili a spazi normati ce ne sono. Come giustamente diceva giaorl, tutte le varietà topologiche sono metrizzabili: Lang ci dice che esiste un certo spazio normato in cui la varietà in questione è imbedded, ma è uno spazio molto astratto e concretamente non ce ne facciamo proprio nulla.

Invece introdurre una metrica su una varietà è una cosa molto più concreta e che nella vita reale si fa. Qui giaorl ne sa certamente più di me, ma io direi che ad esempio introdurre una distanza geodetica sulla sfera è una cosa "pratica", che si fa veramente nelle applicazioni. E cosa c'entra una distanza del genere con gli spazi normati? Proprio nulla.

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(*) @Gaal: sono d'accordo sul fatto che questo si estende agli spazi vettoriali topologici. Direi che una dimostrazione rapida passa dalle rette: uno spazio vettoriale topologico non ridotto a ${0}$ contiene almeno una retta $r$, e questa è omeomorfa ad $RR$ e perciò non è compatta. Quindi anche lo spazio totale non è compatto perché se lo fosse tutti i suoi sottoinsiemi chiusi, rette comprese, dovrebbero essere compatti. Va bene?

[giaorl]

"dissonance":Qui giaorl ne sa certamente più di me

Ahah! Ne dubito! Infatti le mie argomentazioni sono state del tutto euristiche Per formalizzare questi concetti di geometria mi sa che devo attendere ancora un po'.

[Gaal Dornick]

@Dissonance.
Non ti fidare di me, non ricordo per bene la questione, ma direi di si. Le rette sono la prima cosa a cui penso, e direi che l'argomentazione da usarsi è quella. Insomma, è tutto troppo naturale per non funzionare.

Continuo a battere il ferro perchè è una questione assolutemente difficile per me, non sono a mio agio.
E localmente? Cosa possiamo dire?
Della serie: per ogni punto c'è un intorno in cui il nostro spazio è uno spazio vettoriale normato?
Ad esempio sulla sfera possiamo togliere un punto, e otteniamo che la sfera meno un punto è omeomorfa a $RR^n$ (vabbè, in realtà la sfera è il suo compattificato - serve?). E la topologia sulla sfera (in realtà definita proprio per rendere il succitato un omeomorfismo) è indotta dalla metrica riemaniana canonica. Ma questa metrica è normabile?