Chiusura di una palla

[robbstark1]

Siano $x_0 in (S,d)$ un punto di uno spazio metrico e $C={x in S: d(x,x_0)<=r$ con $r in RR^+$.
1. Si provi che $C$ è un insieme chiuso. (molto facile)
2. Si provi che $C supe bar{B}(x_0,r)$, dove $B(x_0,r)={x in S: d(x,x_0)

Cita

Segnala

---

Risposte

dissonance

3 apr 2011, 20:56

Il discorso così si complica. Certo sulle varietà topologiche la risposta alla tua domanda, in un certo senso, si.

Infatti se $M$ è una varietà topologica e $p \in M$ allora esistono un intorno $U$ di $p$, un aperto $V$ di $RR^n$ e un omeomorfismo $phi: U to V$. Sicuramente $V$ contiene una palla $B$ di centro $phi(p)$ e questa è omeomorfa a tutto $RR^n$: componendo queste mappe otteniamo un omeomorfismo

$Phi: phi^{-1}(B) \to RR^n$

e quindi un intorno del punto $p$ è omeomorfo ad uno spazio normato. Ma questo non significa che globalmente lo spazio sia normabile, naturalmente, né ha tanto senso chiederselo: in generale non ci sono delle operazioni algebriche definite in modo naturale sullo spazio totale.


P.S.: Ah per la questione dello spazio vettoriale topologico, chiaramente quella dimostrazione funziona nel caso reale... Ma il caso complesso è perfettamente uguale.

Cita

Segnala

---

robbstark1

4 apr 2011, 16:46

@ Armando: grazie per avere controllato l'ultima parte.

Cita

Segnala

---

j18eos

5 apr 2011, 21:06

@robbstark Prego, di nulla! Ho controllato anche il resto e funziona.

@dissonance (oppure G.[*]) Complimenti per il doppio senso.

[*] Mi sono deciso a chiamarti per nome, se vuoi!

Cita

Segnala

---

Rispondi

Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.

[dissonance]

Il discorso così si complica. Certo sulle varietà topologiche la risposta alla tua domanda, in un certo senso, si.

Infatti se $M$ è una varietà topologica e $p \in M$ allora esistono un intorno $U$ di $p$, un aperto $V$ di $RR^n$ e un omeomorfismo $phi: U to V$. Sicuramente $V$ contiene una palla $B$ di centro $phi(p)$ e questa è omeomorfa a tutto $RR^n$: componendo queste mappe otteniamo un omeomorfismo

$Phi: phi^{-1}(B) \to RR^n$

e quindi un intorno del punto $p$ è omeomorfo ad uno spazio normato. Ma questo non significa che globalmente lo spazio sia normabile, naturalmente, né ha tanto senso chiederselo: in generale non ci sono delle operazioni algebriche definite in modo naturale sullo spazio totale.


P.S.: Ah per la questione dello spazio vettoriale topologico, chiaramente quella dimostrazione funziona nel caso reale... Ma il caso complesso è perfettamente uguale.

[robbstark1]

@ Armando: grazie per avere controllato l'ultima parte.

[j18eos]

@robbstark Prego, di nulla! Ho controllato anche il resto e funziona.

@dissonance (oppure G.[*]) Complimenti per il doppio senso.

[*] Mi sono deciso a chiamarti per nome, se vuoi!