Calcolare la ridotta di una serie ...

[Erasmus_First]

a) Dare l'espressione della somma
$S(n, m) = 1/m+3/m^3 + 5/m^5 + ... + (2n+1)/m^(2n+1)$
come funzione diretta del naturale $n$ (e del parametro $m$).
b) Naturalmente, al tendere di $n$ all'infinito, $S(n,m)$ converge se è $| m | > 1$.
In tal caso, a quale limite?
_______

[orsoulx]

posto $ frac 1 m =x $ con $ m \ne 0 $, ottengo
$ S(n,m)= frac {(2n+1)x^{2n+3}} {x^2-1}- frac { 2x^{2n+3}-x(x^2+1)} {(x^2-1)^2} $ per $ \abs m \ne 1 $
$ S(n,-1)=-n^2 $; $ S(n,1)=n^2 $ errata corrige: invece di $ n^2 $, leggasi $ (n+1)^2 $
Al tendere di $ n $ all'infinito, $ S(n,m) $[strike], al contrario di quanto scrivi,[/strike] converge per $ \abs m >1 $, a: $ frac {m(m^2+1)} {(m^2-1)^2} $.

Ciao
B.

[Erasmus_First]

"orsoulx":Al tendere di $ n $ all'infinito, $S(n,m) $, al contrario di quanto scrivi, converge per $\abs m >1$ [...]

Hai ragione! Grazie della segnalazione.
"Lapsus" fu!
[Ho editato e corretto]
_______

[dan952]

a) Consideriamo la funzione:
$$F(x,m)=\frac{1-x^{-(m+1)}}{1-x^{-1}}-\frac{1-x^{-2([m/2]+1)}}{1-x^{-2}}$$
da cui $S(n,m)=(\frac{1}{x}\frac{dF}{dx})|_{x \in NN}$.
b) Se è giusto il punto a) si tratta di svolgere un limite con parametro

Ho fatto a mente probabile che io abbia sbagliato...