Base di un triangolo conoscendo un angolo, l'altezza e la mediana relative

[ABRAMO48]

Di un triangolo scaleno ABC, conosciamo l'angolo in A, l'altezza h del vertice A sulla alla base BC e l'angolo che la mediana dal vertice A forma con la base BC nel punto M.
Come trovare la misura della base?

[Oiram92]

Magari un disegno non sarebbe guastato..se ho interpretato bene il testo dovrebbe essere così ?

[fcd="Triangolo scaleno"][FIDOCAD]
LI 210 185 345 185 0
LI 345 185 305 135 0
LI 305 135 210 185 0
TY 210 185 4 3 0 0 0 * B
TY 345 185 4 3 0 0 0 * C
TY 305 130 4 3 0 0 0 * A
TY 275 185 4 3 0 0 0 * M
TY 305 185 4 3 0 0 0 * A'
LI 305 135 305 185 0
FCJ 0 0 3 2 3 0
TY 310 165 4 3 0 0 0 * h
LI 305 135 275 185 0
FCJ 0 0 3 2 3 0
BE 280 175 285 175 290 180 290 185 1
TY 285 170 4 3 0 0 1 * β
TY 310 135 4 3 0 0 2 * α
BE 295 140 300 145 305 145 310 140 2[/fcd]

[sandroroma]

E' sufficiente applicare risultati noti della geometria elementare.
Precisamente, indicando con $a,b,c$ le misure dei lati del triangolo, si ha il seguente sistema :
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$
$ah=bc\sin\alpha$
$\frac{4h^2}{\sin^2\delta}=2(b^2+c^2)-a^2$
($\delta$ è l'angolo tra mediana relativa al lato $a$ e il lato medesimo)
Nel sistema precedente la prima equazione è il teorema di Carnot applicato al lato $a$;
la seconda equazione è l'area del triangolo calcolata in 2 modi diversi
e la terza equazione è la formula della mediana applicata al lato $a$
Con qualche calcolo è possibile eliminare $b,c$ giungendo all'equazione nell'incognìta $a$:
$a^2+(4h\cot\alpha)a-\frac{4h^2}{\sin^2\delta}=0$
Da qui si può ricavare $a$. Forse il problema è risolubile con considerazioni puramente geometriche
ma non mi è riuscito di farlo.

[ABRAMO48]

Risposta a Oiram92:

Sì, anche se, nel caso concreto l'altezza cade all'esterno della base BC, cioè il vertice C si trova fra il punto M e il punto A'.

[spugna2]

"sandroroma":Forse il problema è risolubile con considerazioni puramente geometriche

Ci provo (ma lascio i conti a chi ha il tempo per farli)

Partiamo da un segmento $B'C'$ di lunghezza unitaria, e cerchiamo $A'$ in modo da ottenere un triangolo simile ad $ABC$: conoscendo $\alpha$, troviamo la circonferenza circoscritta ad $A'B'C'$ (raggio $1/{2 sin alpha}$), e conoscendo $\beta$ sappiamo che $A'$ appartiene alla retta che forma un angolo $beta$ con $B'C'$ e che interseca quest'ultimo nel suo punto medio $M'$, quindi $A'$ è uno dei due punti di intersezione tra la retta e la circonferenza (quello più lontano da $M'$ se $alpha$ è acuto e quello più vicino se è ottuso). Detta $A''$ la seconda intersezione, calcoliamo $A'M'$ e $A''M'$: il loro prodotto è $B'M'*M'C'=1/4$ per il teorema delle secanti, e la loro somma è $A'A''$, che si ricava da $alpha$ e $beta$ (si trova facilmente la distanza dal centro, che è $1/2 |cot alpha cos beta|$). A questo punto poniamo $m'=A'M'$, che è la lunghezza della mediana relativa a $B'C'$, e osserviamo che in $ABC$ la lunghezza della mediana corrispondente è $m=h/{sin beta}$, quindi $ABC$ si ottiene da $A'B'C'$ moltiplicando tutte le lunghezze per $m/{m'}$, e in particolare $BC=m/{m'}$.