Banalmente completo?

spazio paradosso
$\mathbb{N}$ ,dotato della metrica $d(n,m)=|n-m|$, è uno spazio metrico completo?

Risposte
vict85
È in effetti abbastanza semplice. Prova a ragionare su cosa significhi che \(d(n,m) < 1\).

spazio paradosso
ci ho pensato, ma guarda: le uniche successioni di Cauchy sui numeri naturali sono quelle costanti si ha banalmente che due termini sono sempre arbitrariamente vicini. Esiste una successione di Cauchy che non converge in N?

vict85
Con la topologia usuale no. Le successioni di Cauchy diventano costanti dopo un certo \(n\).

spazio paradosso
anche se sono costanti dopo un certo n ,poiché sono di Cauchy, non importa dato che converge comunque. Quindi la mia risposta è: si, N è completo sotto la definizione di spazio metrico completo.

spazio paradosso
P.S. mi scuso per la pessima grammatica

vict85
Non ho capito esattamente che intendi dire con “non importa dato che converge comunque”.

La frase “\(\mathbb{N}\) con la metrica \(\displaystyle d(n,m) = \lvert n - m\rvert \) è uno spazio metrico completo” è un teorema la cui dimostrazione è diretta conseguenza dei seguenti due fatti:
[list=1][*:3kiiic45] In \(\mathbb{N}\), con la metrica \(\displaystyle d(n,m) = \lvert n - m\rvert \), una successione converge se è costante a meno di un numero finito di termini;[/*:m:3kiiic45]
[*:3kiiic45] Una successione a valori in \(\mathbb{N}\) è di Cauchy rispetto alla metrica \(\displaystyle d(n,m) = \lvert n - m\rvert \) se e solo se è costante a meno di un numero finito di termini. [/*:m:3kiiic45][/list:o:3kiiic45]

spazio paradosso
Non ha più importanza cosa volesse dire la frase "non importa dato che converge comunque" ,dato che ho trovato la risposta alla mia domanda. Grazie mille per l'aiuto :)

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