Azioni paradossali
Un azione \(G \curvearrowright X \) di un gruppo su un insieme \(X\) è detta paradossale, se \(X\) ammette una decomposizione paradossale, i.e. se esistono \( A_1, \ldots, A_n , B_1 , \ldots, B_m \subseteq X \) ed esistono \( g_1,\ldots,g_n , h_1,\ldots,h_m \in G \) tale che
\[ X = A_1 \sqcup \ldots \sqcup A_n \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_m \]
e
\[ X = g_1 A_1 \sqcup \ldots \sqcup g_n A_n \]
\[ X= h_1 B_1 \sqcup \ldots \sqcup h_m B_m \]
Sia \( \operatorname{SO}(3) \) il gruppo delle rotazioni di \( \mathbb{R}^3 \), \( B = \{ x \in \mathbb{R}^3 , \left \| x \right \| \leq 1 \} \) la palla unitaria e sia \( \dot{B} = B \setminus \{ (0,0,0)\} \) la palla unitaria senza l'origine.
1) Dimostrare che \( \operatorname{SO}(3) \curvearrowright \dot{B} \) è paradossale.
Hint 1: Un gruppo \(G\) è amenabile se e solo se \( G \curvearrowright X \) è amenabile e \( \forall x \in X \), \( \operatorname{Stab}_G(x) \) è amenabile.
Hint 2: (Teorema di Tarski) Un azione \( G \curvearrowright X \) è amenabile se e solo se non è paradossale.
Data un azione \(G \curvearrowright X \), diciamo che una funzione \( f : X \to X \) è a pezzi \(G\) se esistono \( A_1, \ldots, A_n \subseteq X \) ed esistono \( g_1 , \ldots , g_n \in G \) tale che \( X= A_1 \sqcup \ldots \sqcup A_n\) e tale che per ogni \(1 \leq i \leq n \) abbiamo \( f(x) = g_i x \) per ogni \( x \in A_i \). Siano \(A,B \subseteq X \), diciamo che \(A\) e \(B\) sono equidecomponibili, denotato \( A \sim_G B\), se esiste una biezione \( f: A \to B \) che è a pezzi \(G\).
2) Sia \( G = \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^3)\) il gruppo delle isometrie di \( \mathbb{R}^3 \), dedurre da 1) che \[ \dot{B} \sim_G \dot{B} \sqcup \left( \dot{B} + v \right) \]
dove \( v \) è un vettore tale che \( \left \| v \right \| \geq 2 \).
Hint: Dimostrare che \( G \curvearrowright X \) è paradossale se e solo se esistono \( \sigma_{\pm} : X \hookrightarrow X \) due iniezioni a pezzi \(G\) tale che \( \sigma_+ (X) \cap \sigma_{-} (X) = \emptyset \) e con \( \sigma_{\pm}(X) \sim_G X \).
3) A vostro avviso \( \operatorname{SO}(3) \curvearrowright B \) è paradossale?
Hint: Pensare ai punti fissi.
\[ X = A_1 \sqcup \ldots \sqcup A_n \sqcup B_1 \sqcup \ldots \sqcup B_m \]
e
\[ X = g_1 A_1 \sqcup \ldots \sqcup g_n A_n \]
\[ X= h_1 B_1 \sqcup \ldots \sqcup h_m B_m \]
Sia \( \operatorname{SO}(3) \) il gruppo delle rotazioni di \( \mathbb{R}^3 \), \( B = \{ x \in \mathbb{R}^3 , \left \| x \right \| \leq 1 \} \) la palla unitaria e sia \( \dot{B} = B \setminus \{ (0,0,0)\} \) la palla unitaria senza l'origine.
1) Dimostrare che \( \operatorname{SO}(3) \curvearrowright \dot{B} \) è paradossale.
Hint 1: Un gruppo \(G\) è amenabile se e solo se \( G \curvearrowright X \) è amenabile e \( \forall x \in X \), \( \operatorname{Stab}_G(x) \) è amenabile.
Hint 2: (Teorema di Tarski) Un azione \( G \curvearrowright X \) è amenabile se e solo se non è paradossale.
Data un azione \(G \curvearrowright X \), diciamo che una funzione \( f : X \to X \) è a pezzi \(G\) se esistono \( A_1, \ldots, A_n \subseteq X \) ed esistono \( g_1 , \ldots , g_n \in G \) tale che \( X= A_1 \sqcup \ldots \sqcup A_n\) e tale che per ogni \(1 \leq i \leq n \) abbiamo \( f(x) = g_i x \) per ogni \( x \in A_i \). Siano \(A,B \subseteq X \), diciamo che \(A\) e \(B\) sono equidecomponibili, denotato \( A \sim_G B\), se esiste una biezione \( f: A \to B \) che è a pezzi \(G\).
2) Sia \( G = \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^3)\) il gruppo delle isometrie di \( \mathbb{R}^3 \), dedurre da 1) che \[ \dot{B} \sim_G \dot{B} \sqcup \left( \dot{B} + v \right) \]
dove \( v \) è un vettore tale che \( \left \| v \right \| \geq 2 \).
Hint: Dimostrare che \( G \curvearrowright X \) è paradossale se e solo se esistono \( \sigma_{\pm} : X \hookrightarrow X \) due iniezioni a pezzi \(G\) tale che \( \sigma_+ (X) \cap \sigma_{-} (X) = \emptyset \) e con \( \sigma_{\pm}(X) \sim_G X \).
3) A vostro avviso \( \operatorname{SO}(3) \curvearrowright B \) è paradossale?
Hint: Pensare ai punti fissi.
Risposte
[ot]
Gli insiemi \(\displaystyle A_i,B_j\) sono non vuoti e disgiunti tra di loro?
"3m0o":Azione è un sostantivo femminile: qui ci vuole l'apostrofo![/ot]
Un azione [...]
Gli insiemi \(\displaystyle A_i,B_j\) sono non vuoti e disgiunti tra di loro?
Ciao j18eos!
Disgiunti sì, infatti con \( \sqcup \) intendo l'unione disgiunta. Vuoti non necessariamente.
Disgiunti sì, infatti con \( \sqcup \) intendo l'unione disgiunta. Vuoti non necessariamente.
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