[Analisi Reale] Esercizietto

[dan952]

Esercizio Sia $f \in L^p(RR)$, con $1 \leq p <+\infty$, e sia
$$F_y(x):=f(x+y)-f(x-y)$$
Dimostrare che
$$\lim_{y \rightarrow +\infty} ||F_y||_p=2^{1/p}||f||_p$$

[Erasmus_First]

Non ci ho capito niente perché non conosco questa simbologia.
Potresti spiegarmi in parole povere cosa c'è da dimostrare?
Grazie dell'attenzione.
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[dan952]

Definizione(caso $p$ finito). La $L^p$-norma di una funzione $f$ che sia $p$-sommabile in $RR$, con $p \in [1,+\infty)$, è definita
$||f||_{L^p(RR)}=||f||_p=\root

{\int_{RR} |f|^p}$

Devi dimostrare $\root

{\int_{RR} 2|f|^p} = \lim_{y \rightarrow +\infty} \root

{\int_{RR} |f(x+y)-f(x-y)|^p}$

Edit: grazie j18eos

[j18eos]

@dan95 Non può essere \(\displaystyle p=0\); e gli spazi \(\displaystyle L^p\) con \(\displaystyle0

[dan952]

Sì, un errore di distrazione infatti all'esercizio ho scritto $p \in [1,+\infty)$