[Analisi]-Cercando un limite di una somma

[salvozungri]

Ho scoperto da qualche giorno l'esistenza di questa bella sezione, e per darle "la mia benedizione" vorrei proporre un esercizio magari facile, non so dirlo. Ad ogni modo:

Dimostrare che [tex]$\forall \alpha\in\mathbb{N}_{>0}\qquad\lim_{k\to\infty}\sum_{n=\alpha}^k \frac{1}{n+k}= \log(2)[/tex]

Spero vi piaccia
__________
Nota: Questo obbrobrio è nato come controesempio in questa discussione

[j18eos]

Scusa per i commenti fuori luogo: perché sarebbe un obbrobbio? Già vedo un paio di passi obbligatori per nulla facili per risolverlo.

Inoltre per indicare l'insieme dei numeri naturali con [tex]$0$[/tex] escluso ci sono vari simboli standard quali [tex]$\mathbb{N}$[/tex], [tex]$\mathbb{N}_1$[/tex], [tex]$\mathbb{N}^\#$[/tex] (il mio preferito tra i "complicati"), [tex]$\mathbb{N}^+$[/tex] e [tex]$\mathbb{N}^*$[/tex] (questi ultimi due non mi piacciono).

[salvozungri]

E' un obbrobrio perchè è una cosa molto controintuitiva. Se ci fai caso la somma non dipende [tex]\alpha[/tex]... .
La notazione dei numeri naturali a cui va escluso lo zero non è standard , questa che ho utilizzato la consigliava Fioravante Patrone qualche tempo fa, e visto che è funzionale l'ho adottata .

[j18eos]

C'ho fatto caso ad [tex]$\alpha$[/tex] ed ho già un'idea per sistemarlo senza usare dei cannoni.
Poi ho un'idea per dimostrare la convergenza ; ma non ho idea di come dimostrare la convergenza a [tex]$\log2$[/tex].
Poi ho parlato di vari simboli standard, questo di Fioravante Patrone mi è nuovo; lo terrò a mente, mica lo si butta.

Comunque devo ancora finire qui!

[salvozungri]

Non ti preoccupare! Hai tutto il tempo... (sembra più una minaccia che un invito )

[j18eos]

Certo! Ognuno posta la sua soluzione, io mi limiterò ad alcune parti.

"Proverbio":Il troppo storpia!

[gugo82]

Soluzione breve, ma difficile, per [tex]$\alpha =1$[/tex].

Ricordo che la funzione definita ponendo:

[tex]$\psi (z) :=\frac{\Gamma^\prime (z)}{\Gamma (z)}$[/tex],

che è la derivata logaritmica della [tex]$\Gamma$[/tex], si chiama funzione digamma e gode della seguente proprietà di ricorrenza:

(*) [tex]$\psi (1+z) =\psi (z) +\frac{1}{z}$[/tex].

Applicando la (*) [tex]$n$[/tex] volte si riconosce che:

[tex]$\psi (n+z) =\psi (z) +\sum_{k=1}^n \frac{1}{z+k-1}$[/tex],

dalla quale, facendo [tex]$z=n+1$[/tex], si ricava immediatamente:

[tex]$\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} =\psi (1+2n) -\psi (1+n)$[/tex].

Ne viene che basta calcolare il [tex]$\lim_n \psi (1+2n) -\psi (1+n)$[/tex] per ottenere il risultato; ma la formula (1) in questo articolo implica che:

[tex]$\psi (z) \approx \ln z -\frac{1}{2z} +\text{o} \left( \frac{1}{z}\right)$[/tex]

per [tex]$z$[/tex] reale e [tex]$z\to +\infty$[/tex], cosicché:

[tex]$\lim_n \psi (1+2n) -\psi (1+n) = \lim_n \ln \frac{1+2n}{1+n} -\frac{1}{2(1+2n)} +\frac{1}{1+n} +\text{o} \left( \frac{1}{n}\right) =\ln 2$[/tex],

come volevamo. [tex]$\square$[/tex]

Tuttavia la soluzione proposta funziona per ogni [tex]$\alpha \in \mathbb{N} \setminus \{ 0\}$[/tex]: per provarlo basta usare la ricorrenza (*) a dovere.

[Rigel1]

Soluzione breve ma facile...

Detta $S_k$ la somma ad argomento del limite, abbiamo che
$\int_{\alpha}^k \frac{1}{x+k} dx \le S_k \le \int_{\alpha}^k \frac{1}{x+k-1} dx$, vale a dire
$\log\frac{2k-1}{k+\alpha-1} \le S_k \le \log\frac{2k}{k+\alpha}$.
Di conseguenza $\lim_k S_k = \log(2)$ per il criterio del confronto.

[gugo82]

@Rigel: Ottimo... Sentivo di aver usato un cannone laddove bastava la paletta per le mosche.

[Rigel1]

eh eh, il vantaggio di non conoscere le cose difficili è che non ti viene in mente di usarle

[salvozungri]

Ciao a tutti, grazie per essere intervenuti
Alcuni commenti alle soluzioni:
@gugo: Mi sciocca sempre di più la tua capacità di lavorare con funzioni che non sono canoniche, e ti ammiro molto per questo!!

La mia soluzione coincide con quella di Rigel, a cui va le mie più sentite congratulazioni per la velocità con cui l'ha trovata, io c'ho messo 5 giorni all'epoca.
Avevo risolto il problema per $\alpha=1$ poi mi sono accorto che il valore del limite non dipendeva da questo parametro, così ho generalizzato. Mi auguro vi sia piaciuto .

PS: chissà se esiste un'altra soluzione

PS2: Non sono riuscito a dire quale fosse la difficoltà dell'esercizio perchè questa dipendeva dal colpo d'occhio

[j18eos]

"gugo82":...Sentivo di aver usato un cannone laddove bastava la paletta per le mosche.

Se mi consenti quoto... mamma mia, questa volta mi hai spaventato.

[salvozungri]

Spezzo una lancia nei confronti della soluzione di Gugo. Nonostante sia molto elaborata, la trovo "didatticamente istruttiva". Mi piace l'idea!
Inoltre io non avrei mai e poi mai pensato alle funzioni speciali per giungere alla soluzione. Gugo ha dimostrato, ancora una volta, d'avere intuito da vendere .

[gugo82]

Grazie per i complimenti, ma non sento di meritarli; la soluzione di Rigel è quella che rende maggiormente giustizia al problema perchè, secondo me, si dovrebbe sempre evitare di complicarsi la vita.

Tra l'altro, a questo punto si potrebbe congetturare la seguente generalizzazione:

[tex]$\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{N} \setminus \{ 0\},\quad \lim_n \sum_{k=\alpha}^{\beta n} \frac{1}{n+k} =\ln (\beta +1)$[/tex];

chi fa due conticini?


Domanda bonus: da questo esercizio è possibile desumere una dimostrazione della divergenza della serie armonica?


@Mathematico: Grazie per avermi ricordato quel vecchio thread.

[robbstark1]

Prima di provare la generalizzazione, posto la soluzione che è venuta a me prima di sbirciare, che, come difficoltà è a metà strada tra quella di Rigel e quella di Gugo 82:

$int_{n}^{n+1} 1/(x+k) dx = ln((n+k+1)/(n+k)) =ln(1+1/(n+k))$

Utilizzando lo sviluppo in serie di Mc Laurin con resto di Lagrange:

$ln(1+1/(n+k))=1/(n+k) -1/(2(1+t^2)) 1/(n+k)^2 $

Dunque:

$1/(n+k) = int_{n}^{n+1} 1/(x+k) dx +1/(2(1+t^2)) 1/(n+k)^2 $

$sum_{n=alpha}^{k} 1/(n+k) = int_{alpha}^{k+1} 1/(x+k) dx + sum_{n=alpha}^{k} 1/(2(1+t^2)) 1/(n+k)^2 <= int_{alpha}^{k+1} 1/(x+k) dx +1/k = ln((2k+1)/(alpha+k)) +1/k $

$lim_{k->+infty} sum_{n=alpha}^{k} 1/(n+k) =lim_{k->+infty} ln((2k+1)/(alpha+k)) +1/k = ln 2$

P.s.: In questo modo la generalizzazione risulta semplice. Inoltre per $alpha=0$ e $beta -> +infty$ si ottiene la serie armonica...

[j18eos]

Non mi sembra che [tex]$\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{2(1+t^2)(n+k)^2}\leq\frac{1}{k}$[/tex]; ammesso che stia sbagliando comunque hai dimostrato che [tex]$\lim_{k\to+\infty}\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{n+k}\leq\log2$[/tex].

[robbstark1]

Forse non sono stato chiarissimo, oppure ho commesso qualche errore che non riesco a vedere. Spiego meglio:

1. $sum_{n=alpha}^{k} 1/(2(1+t^2)(n+k)^2) $ è una somma di al più $k$ termini positivi, per maggiorarla quindi posso maggiorare i termini della sommatoria con un unico termine e moltiplicarlo per $k$, togliendo la sommatoria. Per maggiorare rimpicciolisco il denomitare, levando il fattore $2(1+t^2) > 1$ e ponendo $n=0$. Mi resta quindi:
$sum_{n=alpha}^{k} 1/(2(1+t^2)(n+k)^2) <= k/k^2 =1/k $

2. $sum_{n=alpha}^{k} 1/(n+k) = int_{alpha}^{k+1} 1/(x+k) dx + sum_{n=alpha}^{k} 1/(2(1+t^2)(n+k)^2)$
Il limite si può calcolare adesso, ed è somma di due limiti, ma il secondo addendo è minore di $1/k$ ed è positivo, quindi al limite fa $0$. Resta che il limite della somma è uguale al limite dell'integrale.

Adesso ti torna?

[j18eos]

Continua a non tornarmi poiché, più semplicemente, viene che la somme di una serie numerica a termini positivi non nulli converge a [tex]$0$[/tex]!(*) Poi [tex]$n$[/tex] è l'indice della sommatoria, non puoi eliminarlo come hai fatto tu.

§§§

(*) Menomale che ho detto all'incirca: "Penso di aver sbagliato!" in quanto si tratta di una successione e non di una serie, basta vedere "bene"; come giustamente richiamato da robbstark!

[robbstark1]

viene che la somme di una serie numerica a termini positivi non nulli converge a !

Non è la serie (che poi è una somma finita in realtà), ma è il limite della sommatoria al variare del parametro $k$. Se tu fissi $k=100$ la somma fa un certo valore. Se $k=1000$ un altro valore, ecc.. All'aumentare di $k$ questa somma diventa sempre più piccola. Esistono molti altri esempi del genere.

Poi $n$ è l'indice della sommatoria, non puoi eliminarlo come hai fatto tu.

Perchè non posso? Supponiamo di volere maggiorare la serie $sum_{n=1}^{100} 1/(n+1)$. Posso dire che è la somma di $100$ termini e che $1/(n+1) <1$ quindi la somma è minore di $100$. Anche in questo caso ho fatto una maggiorazione eliminando la dipendenza dei termini dall'indice della serie, prendendo quindi un valore che maggiorasse tutti i termini della serie.

[j18eos]

Ti posto il conto che ho fatto io: [tex]$\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{2(1+t^2)(n+k)^2}=\frac{1}{2(1+t^2)}\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{(n+k)^2}\leq\frac{1}{2}\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{(n+k)^2}<\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{(n+k)^2}$[/tex]; poiché [tex]$k\geq n\geq\alpha\geq1$[/tex] è [tex]$1\leq k<1+k\leq n+k\Rightarrow\bigg(k^2<(n+k)^2\iff\frac{1}{(n+k)^2}<\frac{1}{k^2}\bigg)$[/tex], allora [tex]$\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{2(1+t^2)(n+k)^2}<\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{(n+k)^2}<\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{k^2}=\frac{k-\alpha}{k^2}$[/tex]. Da tutto ciò [tex]$0\leq\lim_{k\to+\infty}\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{2(1+t^2)(n+k)^2}<\lim_{k\to+\infty}\frac{k-\alpha}{k^2}=0$[/tex] per il teorema dei carabinieri hai l'asserto, su questa parte.

EDIT: Corretta una microscopica svista: non è [tex]$k\leq1+k$[/tex] ma [tex]$k<1+k$[/tex].

[salvozungri]

@gugo, carinissima la generalizzazione , la lascio ad uno studente volenteroso .

@robbstark: appena ho letto la tua dimostrazione, ho avuto lo stesso sospetto di Armando. In particolare quando scrivi

"robbstark":
$sum_{n=alpha}^{k} 1/(n+k) = int_{alpha}^{k+1} 1/(x+k) dx + sum_{n=alpha}^{k} 1/(2(1+t^2)) 1/(n+k)^2 <= int_{alpha}^{k+1} 1/(x+k) dx +1/k = ln((2k+1)/(alpha+k)) +1/k $

non puoi passare direttamente a

"robbstark":
$lim_{k->+infty} sum_{n=alpha}^{k} 1/(n+k) =lim_{k->+infty} ln((2k+1)/(alpha+k)) +1/k = ln 2$

Fortunatamente poi ho letto il tuo secondo commento che mi ha chiarito le idee . Complimentoni!

Ops: caricando la pagina, in "Revisione argomento " vedo il commento di Armando che spiega tutto