[Analisi]-Cercando un limite di una somma

[salvozungri]

Ho scoperto da qualche giorno l'esistenza di questa bella sezione, e per darle "la mia benedizione" vorrei proporre un esercizio magari facile, non so dirlo. Ad ogni modo:

Dimostrare che [tex]$\forall \alpha\in\mathbb{N}_{>0}\qquad\lim_{k\to\infty}\sum_{n=\alpha}^k \frac{1}{n+k}= \log(2)[/tex]

Spero vi piaccia
__________
Nota: Questo obbrobrio è nato come controesempio in questa discussione

[j18eos]

Sottolineo che nel mezzo c'è il simbolo [tex]$\leq$[/tex], quindi non è ancora stata confutata la mia tesi che robbstark abbia solo trovato una maggiorazione.

P.S.: Grazie per avermi chiamato per nome!

[salvozungri]

Mmm, tu stesso hai dimostrato che
[tex]$\lim_{k\to+\infty}\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{2(1+t^2)(n+k)^2}=0$[/tex]

Dunque:
[tex]$\lim_{k\to \infty}\sum_{n=\alpha}^k \frac{1}{n+k} = \lim_{k\to\infty }\int_{\alpha}^{k+1}\frac{1}{x+k} dx +\lim_{k\to\infty}\sum_{n=\alpha}^k \frac{1}{2(1+t^2)(n+k)^2}[/tex]
da ciò segue la tesi


[ot]figurati, il tuo nickname mi viene difficile da ricordare, inoltre uno dei miei migliori amici si chiama armando

[j18eos]

Che svista! -_-

Lo ribadisco ancora che pensavo (come si è dimostrato) di essere in errore. Quella maggiorazione mi ha fregato.

[gugo82]

"gugo82":Tra l'altro, a questo punto si potrebbe congetturare la seguente generalizzazione:

[tex]$\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{N} \setminus \{ 0\},\quad \lim_n \sum_{k=\alpha}^{\beta n} \frac{1}{n+k} =\ln (\beta +1)$[/tex] [...]

Domanda bonus: da questo esercizio è possibile desumere una dimostrazione della divergenza della serie armonica?

Risposta seria alla domanda bonus.

Si ha:

[tex]$\sum_{k=\alpha}^{\beta n} \frac{1}{n+k} = \sum_{h=n+\alpha }^{(\beta +1)n} \frac{1}{h} = \sum_{h=1}^{(\beta +1) n} \frac{1}{h} - \sum_{h=1}^{n+\alpha -1} \frac{1}{h}$[/tex]

quindi:

(*) [tex]$\lim_n \sum_{h=1}^{(\beta +1) n} \frac{1}{h} - \sum_{h=1}^{n+\alpha -1} \frac{1}{h} =\ln (\beta +1)$[/tex];

se, per assurdo, supponessimo che [tex]\sum \frac{1}{h}[/tex] converga, allora dovrebbe essere soddisfatto il criterio di Cauchy, i.e.:

[tex]$\lim_{p,q \to +\infty} \left| \sum_{h=1}^p \frac{1}{h} -\sum_{h=1}^q \frac{1}{h} \right| =0$[/tex]

quindi il limite (*) dovrebbe essere nullo, in palese contraddizione con quanto provato.
Quindi [tex]\sum \frac{1}{h}[/tex] diverge.