Analisi 2
analisi 2 a tutti gli effetti.
Sia $g\inL^2(\RR^2)$, $g\ge0$. Per ogni naturale $n$ poniamo $E_n={(x,y):n\le g(x,y)\le2n+1}$. Definiamo
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}1/(1+x^2+y^2)\chi_{E_n}(x,y)$
Mostrare che $f\inL^1(\RR^2)$.
Come si fa l'integrale doppio che esce fuori? Magari si può solo stimare ... aiutino?!
Sia $g\inL^2(\RR^2)$, $g\ge0$. Per ogni naturale $n$ poniamo $E_n={(x,y):n\le g(x,y)\le2n+1}$. Definiamo
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}1/(1+x^2+y^2)\chi_{E_n}(x,y)$
Mostrare che $f\inL^1(\RR^2)$.
Come si fa l'integrale doppio che esce fuori? Magari si può solo stimare ... aiutino?!
Risposte
Ti sei perso una $y$, credo. Dovrebbe essere $f(x,y)$, no?
certo... è $f(x,y)$. Provo una soluzione:
Siccome $g\inL^2$ fissato $\varepsilon>0$ esiste $N$ tale che $m(\cup_{n>N}E_n)<\varepsilon$. Inoltre ogni $E_n$ ha misura finita e quindi sarà contenuto in una palla di raggio $\rho_n$. Quindi
$\intf(x,y)dxdy=\sum_{n\ge0}\int_{E_n}1/(1+x^2+y^2)dxdy=\sum_{n=0}^N\int_{E_n}1/(1+x^2+y^2)dxdy+\sum_{n>N}\int_{E_n}1/(1+x^2+y^2)dxdy$
$\le\sum_{n=0}^N\int_0^{\rho_n}\rho/(1+\rho^2)d\rho+\sum_{n>N}\int_{E_n}dxdy$
$\le\sum_{n=0}^N1/2ln(1+\rho_n^2)+\varepsilon<\infty$.
Funziona?
Siccome $g\inL^2$ fissato $\varepsilon>0$ esiste $N$ tale che $m(\cup_{n>N}E_n)<\varepsilon$. Inoltre ogni $E_n$ ha misura finita e quindi sarà contenuto in una palla di raggio $\rho_n$. Quindi
$\intf(x,y)dxdy=\sum_{n\ge0}\int_{E_n}1/(1+x^2+y^2)dxdy=\sum_{n=0}^N\int_{E_n}1/(1+x^2+y^2)dxdy+\sum_{n>N}\int_{E_n}1/(1+x^2+y^2)dxdy$
$\le\sum_{n=0}^N\int_0^{\rho_n}\rho/(1+\rho^2)d\rho+\sum_{n>N}\int_{E_n}dxdy$
$\le\sum_{n=0}^N1/2ln(1+\rho_n^2)+\varepsilon<\infty$.
Funziona?
"ubermensch":
Inoltre ogni $E_n$ ha misura finita e quindi sarà contenuto in una palla di raggio $\rho_n$.
Secondo me questo punto non torna, a quanto ne so un insieme potrebbe avere misura finita ma non essere limitato.
Pensa per esempio ad un filamento che diventa sempre più piccolo (per esempio alla sottoarea di una funzione integrabile ma non a supporto compatto), tipo $E_n = {(x , y) : 0 \leq y \leq e^(- n x^2)}$.
O sbaglio?
"ubermensch":
Siccome $g\inL^2$ fissato $\varepsilon>0$ esiste $N$ tale che $m(\cup_{n>N}E_n)<\varepsilon$.
C'è un'altra cosa... Gli $E_n$ non sono disgiunti, quindi la somma delle misure degli $E_n$ non dà la misura dell'unione, da cui segue che non puoi maggiorare con $\varepsilon$ il secondo termine dell'integrale, anche se l'unione degli $E_n$ ha misura piccola.
certo... quante cazzate ho detto!!
Stavo pensando che forse Chebyschev può servire. Ma non sono sicura. È solo che fa comparire l'integrabilità della funzione $g$...
boh.. ora ci provo.. comunque mi pare che il primo problema si può superare in quanto se $E_n$ non è limitato, siccome $1/(1+x^2+y^2)$ è piccola all'infinito si può sostituire $E_n$ con una palla abbastanza grande in maniera che l'integrale su $E_n$ sia $\le$ di quello sulla palla.
P.s. comunque questi problemi sono una cifra complicati... mi sto deprimendo.
P.p.s. sai se l'altr'anno a tor vergata c'erano due orali o sempre uno scritto e un orale?
P.s. comunque questi problemi sono una cifra complicati... mi sto deprimendo.
P.p.s. sai se l'altr'anno a tor vergata c'erano due orali o sempre uno scritto e un orale?
Non so di Tor Vergata, io l'anno scorso sapevo già che sarei venuta qui e quindi non ho fatto più di tanta attenzione ai vari concorsi di dottorato a Roma.
L'unica cosa che ho fatto (per scaramanzia!) è stata iscrivermi all'esame per La Sapienza...
L'unica cosa che ho fatto (per scaramanzia!) è stata iscrivermi all'esame per La Sapienza...
"ubermensch":
boh.. ora ci provo.. comunque mi pare che il primo problema si può superare in quanto se $E_n$ non è limitato, siccome $1/(1+x^2+y^2)$ è piccola all'infinito si può sostituire $E_n$ con una palla abbastanza grande in maniera che l'integrale su $E_n$ sia $\le$ di quello sulla palla.
in realtà non serve che sia piccola all'infinito, basta che sia decrescente; allora facendo una specie di "riarrangiamento simmetrico" di $E_n$ avrai $\rho_n = \sqrt{(m(E_n))/\pi}$ e per la decrescenza con il raggio l'integrale sull'insieme riarrangiato maggiorerà quello su $E_n$.
bene.. la prima parte è risolta... come facciamo la maggiorazione con $\varepsilon$? Si riesce ad inventare qualcosa?
Non sono sicura, ma secondo me basta usare che $E_n \subset F_n = {(x , y) : g(x , y) \geq n}$.
Chebyschev mi dice che $n m(F_n)^{1/2} \leq {||g||}_{L^2}$ e quindi $m(F_n) \leq ({||g||}_{L^2}^2)/(n^2)$ e dunque la serie delle misure è finita...
Mi sembra un po' strano perché allora basterebbe maggiorare $f$ con la serie delle funzioni caratteristiche... Che ci sta a fare $1/(1 + x^2 + y^2)$?
Chebyschev mi dice che $n m(F_n)^{1/2} \leq {||g||}_{L^2}$ e quindi $m(F_n) \leq ({||g||}_{L^2}^2)/(n^2)$ e dunque la serie delle misure è finita...
Mi sembra un po' strano perché allora basterebbe maggiorare $f$ con la serie delle funzioni caratteristiche... Che ci sta a fare $1/(1 + x^2 + y^2)$?
questo eviterebbe anche tutta la prima parte... in effetti è un pò strano.. mi puoi scrivere precisamente la disug di Chebishev per favore?
Faccio copia-incolla dalle dispense di Analisi Reale di L.O. (non credo che ti sia difficile capire di chi parlo 
):
Teorema 3.2.25 (Chebyshev) Sia $E$ un insieme misurabile, e $f : E →\bar{RR}$
una funzione misurabile, non negativa quasi ovunque e sommabile. Allora,
per ogni $\lambda > 0$ si ha
$\lambda m({x \in E : f (x) \geq \lambda}) \leq \int_E f (x) dx$.
In particolare, $m({x \in E : f (x) = +\infty}) = 0$.
Puoi generalizzare alla norma $L^p$ usando la disuguaglianza di Hölder... Almeno credo!
(Ho fatto i conti e a me viene così, ma i miei conti sono spesso sbagliati, quindi ricontrolla)
):Teorema 3.2.25 (Chebyshev) Sia $E$ un insieme misurabile, e $f : E →\bar{RR}$
una funzione misurabile, non negativa quasi ovunque e sommabile. Allora,
per ogni $\lambda > 0$ si ha
$\lambda m({x \in E : f (x) \geq \lambda}) \leq \int_E f (x) dx$.
In particolare, $m({x \in E : f (x) = +\infty}) = 0$.
Puoi generalizzare alla norma $L^p$ usando la disuguaglianza di Hölder... Almeno credo!
(Ho fatto i conti e a me viene così, ma i miei conti sono spesso sbagliati, quindi ricontrolla)
Ho rifatto i conti e mi viene esattamente la stessa cosa... mi sto convincendo che quel denominatore non serve a niente!
Mmmm, forse servirebbe qualcuno di esterno che dia un altro parere...
I don't understand
Mi pare che $f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1} \sum_{n\in NN}\chi_{E_n}\geq\frac{1}{x^2+y^2+1}$ ( dato che preso un qualunque $(x,y)$ c'è un $n$ per cui $(x,y)\in E_n$)
Ma $\int_{RR^2}\frac{1}{x^2+y^2+1}dx dy=2\pi\int_0^\infty\frac{\rho}{1+\rho^2} d\rho =+\infty$ ????
Non è che il testo era diverso?
Mi pare che $f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2+1} \sum_{n\in NN}\chi_{E_n}\geq\frac{1}{x^2+y^2+1}$ ( dato che preso un qualunque $(x,y)$ c'è un $n$ per cui $(x,y)\in E_n$)
Ma $\int_{RR^2}\frac{1}{x^2+y^2+1}dx dy=2\pi\int_0^\infty\frac{\rho}{1+\rho^2} d\rho =+\infty$ ????
Non è che il testo era diverso?
Mmmm... Dov'è l'inghippo?
Il testo è quello!
La faccenda si fa veramente misteriosa ...
La faccenda si fa veramente misteriosa ...
Sì, confermo che il testo è quello (è nel test d'accesso alla Sapienza del 2006).
Prova a chiedere a un prof, tipo L.O. dovrebbe andare bene (secondo me l'esercizio l'ha scritto lui) o puoi anche andare da P. se vuoi...
Prova a chiedere a un prof, tipo L.O. dovrebbe andare bene (secondo me l'esercizio l'ha scritto lui) o puoi anche andare da P. se vuoi...
Aspettiamo la risposta di L.O. ...
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