Analisi 2

[Principe2]

analisi 2 a tutti gli effetti.
Sia $g\inL^2(\RR^2)$, $g\ge0$. Per ogni naturale $n$ poniamo $E_n={(x,y):n\le g(x,y)\le2n+1}$. Definiamo

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}1/(1+x^2+y^2)\chi_{E_n}(x,y)$

Mostrare che $f\inL^1(\RR^2)$.

Come si fa l'integrale doppio che esce fuori? Magari si può solo stimare ... aiutino?!

[Principe2]

L.O. non risponde...

nel frattempo metto altri due esercizi di analisi

[gugo82]

Riesumo per proporre una risoluzione veloce.
La cosa strana è che la limitazione [tex]$g(x,y)\leq 2n+1$[/tex] in [tex]$E_n$[/tex] non mi è servita a nulla d'importante...

La disuguaglianza di Chebyschev (o come diavolo si scrive lui... ) implica che:

[tex]$|E_n| \leq \frac{1}{n^2}\lVert g\rVert_2^2$[/tex],

quindi le misure degli [tex]$E_n$[/tex] costituiscono una successione tale che la serie [tex]\sum_{n\geq 1} |E_n|^\alpha[/tex] è convergente per ogni [tex]$\alpha >\tfrac{1}{2}$[/tex] (poiché controllata da una serie armonica generalizzata d'esponente [tex]$2\alpha$[/tex]).

Ora, la serie:

[tex]$\sum_{n\geq 1} \frac{1}{1+x^2+y^2}\ \chi_{E_n} (x,y)$[/tex]

è una serie positiva, la sua somma [tex]$f(x,y)$[/tex] esiste finita ovunque* e si può applicare Beppo Levi per calcolarne l'integrale esteso ad [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex]:

(*) [tex]$\int_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y =\sum_{n=1}^{+\infty} \int_{\mathbb{R}^2} \frac{1}{1+x^2+y^2}\ \chi_{E_n} (x,y)\ \text{d} x\text{d} y$[/tex].

La funzione [tex]$\eta (x,y):=\tfrac{1}{1+x^2+y^2}$[/tex] è in [tex]$L^p(\mathbb{R}^2)$[/tex] per ogni [tex]$p>1$[/tex]: infatti, passando a coordinate polari si trova:

[tex]$\int_{\mathbb{R}^2} \eta^p(x,y)\ \text{d} x\text{d} y =2\pi \int_0^{+\infty} \left( \frac{r}{1+r^2}\right)^p\text{d} r <+\infty$[/tex]

in quanto l'integrando è continuo ed infinitesimo all'infinito d'ordine [tex]$p$[/tex] (per [tex]$p=\infty$[/tex] basta osservare che [tex]$\eta (x,y)$[/tex] è continua, positiva e minore di [tex]$1$[/tex]).

D'altro canto ogni [tex]$\chi_{E_n} (x,y)$[/tex] è in ogni [tex]$L^q(\mathbb{R}^2)$[/tex] ed, in particolare, è in [tex]$L^{p^\prime }(\mathbb{R}^2)$[/tex] con [tex]$p^\prime$[/tex] coniugato di Hölder di [tex]$p>1$[/tex].

A questo punto, fissato [tex]$p>1$[/tex] (che sceglieremo appropriatamente tra poco), possiamo applicare la disuguaglianza di Hölder ad ogni addendo del secondo membro in (*) ed ottenere per la seguente maggiorazione:

[tex]$\int_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\ \text{d} x\text{d} y \leq \sum_{n=1}^{+\infty} \left\{\int_{\mathbb{R}^2} \eta^p (x,y)\ \text{d} x\text{d} y\right\}^{\frac{1}{p}}\ \left\{ \int_{\mathbb{R}^2} \chi_{E_n}^{p^\prime} (x,y)\ \text{d} x\text{d} y\right\}^{\frac{1}{p^\prime}}$[/tex]
[tex]$= C \sum_{n=1}^{+\infty} |E_n|^\frac{1}{p^\prime}$[/tex]

ove per comodità [tex]$C:=\lVert \eta \rVert_p$[/tex]; scelto allora [tex]$p=4$[/tex], risulta [tex]$p^\prime =\tfrac{4}{3}$[/tex] e la serie [tex]\sum_{n\geq 1} |E_n|^{\frac{3}{4}}[/tex] è convergente (per quanto detto all'inizio).
Ne consegue che [tex]$f(x,y)\in L^1 (\mathbb{R}^2)$[/tex] e:

[tex]$\lVert f\rVert_1\leq \frac{\sqrt{\pi}}{2}\ \zeta \left( \tfrac{3}{2}\right)\ \lVert g\rVert_2^2$[/tex],

ove [tex]$\zeta(t)$[/tex] è la funzione zeta di Riemann.


__________
* Si ha evidentemente [tex]$f(x,y) =+\infty$[/tex] se e solo se [tex]$(x,y)\in E_n$[/tex] per infiniti [tex]$n$[/tex]; tuttavia quest'ultima circostanza non si presenta né se [tex]$g(x,y)<+\infty$[/tex] (perchè in tal caso [tex]$(x,y)$[/tex] non appartiene ad alcun [tex]$E_n$[/tex] per [tex]$n$[/tex] sufficientemente grande) né se [tex]$g(x,y)=+\infty$[/tex] (perchè in tal caso [tex]$(x,y)$[/tex] non sta in nessun [tex]$E_n$[/tex]).

P.S.: Che fine hanno fatto ubermensch ed irenze? I loro post erano molto interessanti.



***EDIT: Le ipotesi poste su [tex]$g(x,y)$[/tex] non consentono di dire nulla sull'appartenenza ad [tex]$L^q$[/tex] della funzione [tex]$\chi_{E_0}(x,y)$[/tex]: infatti [tex]$E_0$[/tex] può benissimo avere, in generale, misura infinita** ergo, in generale, [tex]$\lVert \chi_{E_0}\rVert_q=|E_0|^{\frac{1}{q}} =+\infty$[/tex].
Conseguentemente [tex]$f(x,y)$[/tex] non può appartenere ad [tex]$L^1$[/tex] in generale, giacché la sua norma [tex]$L^1$[/tex] è certamente non inferiore all'integrale [tex]\int_{E_0} \frac{1}{1+x^2+y^2}\ \text{d} x[/tex] che può non essere finito (ad esempio, se si prende come [tex]$g(x,y)$[/tex] quella in nota **, si ha [tex]$E_0=\mathbb{R}^2$[/tex]).
Quindi si tratta di modificare un po' il testo dell'esercizio e far partire la somma dall'indice [tex]$n=1$[/tex].

__________
** Ad esempio, si può prendere [tex]g(x,y):=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{n+1}\ \chi_{\overline{B}(0;n+1)\setminus B(0;n)}(x,y)[/tex] e verificare che [tex]$g(x,y)$[/tex] è in [tex]$L^2$[/tex] e che [tex]$|E_0|=+\infty$[/tex].

[ViciousGoblin]

@Gugo Mi sa che ti sei perso $E_0$, che mi pare abbia misura infinita in generale ... d'altra parte - se non ho frainteso il testo del problema - mi pareva che dal mio intervento precedente risultasse $\int_{RR^2}f(x,y) dxdy=+\infty$. A meno che non si stia supponendo che il supporto di $g$ sia di misura finita.

Ciao

[gugo82]

@VG: Sì, effettivamente l'avevo perso il tuo post, né mi ero reso conto del problema [tex]$n=0$[/tex] (fatto tutto troppo di corsa, troppo tardi la notte!).

Tuttavia l'unico problema sembra essere proprio [tex]$n=0$[/tex], quindi tendo a credere che sia sbagliato il testo dell'esercizio in quel punto e che la serie parta dall'indice [tex]$1$[/tex].

Comunque ho editato il mio post.
Grazie come al solito, VG.

[ViciousGoblin]

"gugo82":@VG: Sì, effettivamente l'avevo perso il tuo post, né mi ero reso conto del problema [tex]$n=0$[/tex] (fatto tutto troppo di corsa, troppo tardi la notte!).

Tuttavia l'unico problema sembra essere proprio [tex]$n=0$[/tex], quindi tendo a credere che sia sbagliato il testo dell'esercizio in quel punto e che la serie parta dall'indice [tex]$1$[/tex].

Comunque ho editato il mio post.
Grazie come al solito, VG.

In effetti stavo riflettendo anch'io sul fatto che imponendo che $g$ abbia supporto di misura finita (che mi pare simile a partire da $n=1$) allora torna. Ma allora la dimostrazione può essere accorciata: sia $A$ il supporto di $g$, allora $\eta\in L^p(RR^2)\Rightarrow \eta\in L^p(A)\Rightarrow\eta\in L^1(A)$ (dis. di Hoelder) e cioè $f\in L^1(RR^2)$.
Continuo a pensare che ci sia stata una svista nel testo, probabilmente ci doveva essere qualche $n$ anche nell'integrando: così com'è l'esercizio "moralmente" chiede di dimostrare che $\eta$ è integrabile sull'unione degli $E_n$ (non proprio perché gli $E_n$ si sovrappongono un po', ma secondo me questa è un'altra svista ...), quindi come è fatta $g$ non c'entra quasi nulla.

EDIT Forse mi sono sbagliato nel commento sopra e lo spirito dell'esercizio era proprio nella sovrapposizione degli $E_n$ - allora la dim. di Gugo mi pare perfettamente adeguata.

[gugo82]

"ViciousGoblin":Continuo a pensare che ci sia stata una svista nel testo, probabilmente ci doveva essere qualche $n$ anche nell'integrando: così com'è l'esercizio "moralmente" chiede di dimostrare che $\eta$ è integrabile sull'unione degli $E_n$ (non proprio perché gli $E_n$ si sovrappongono un po', ma secondo me questa è un'altra svista ...), quindi come è fatta $g$ non c'entra quasi nulla.

EDIT Forse mi sono sbagliato nel commento sopra e lo spirito dell'esercizio era proprio nella sovrapposizione degli $E_n$ - allora la dim. di Gugo mi pare perfettamente adeguata.

Tendo a credere anch'io che la sovrapposizione degli [tex]$E_n$[/tex] fosse il quid dell'esercizio, e proprio questo mi fà pensare ad un errore di battitura nell'indice della serie (o ad una svista dell'autore); d'altra parte, se [tex]$g (x,y)$[/tex] avesse supporto finito, la cosa sarebbe troppo semplice.

Chissà se ubermensch ed irenze hanno provato a chiedere lumi sulla faccenda all'Orsina (credo sia lui L.O., come probabilmente è la Porzio la P.; ma sono solo mie speculazioni)...