AlgLin: det(A^2+B^2) \ge det(AB-BA)
Dimostrare che, comunque scelte $A, B \in M_2(\mathbb{R})$ (i.e., due matrici reali di dimensione 2 x 2), risulta $|A^2+B^2| \ge |AB - BA|$, e stabilire quindi in quali casi sussiste l'uguaglianza.
Risposte
Quà oggi mi sono bloccato.... ho solo notato:
1) se consideriamo A e B come matrici di endomorfismi il quesito è invariante per cambiamenti di base; ma se non sono nemmeno triangolabili questo non è un vantaggio utile;
2) supponiamo che A e B siano invertibili. Allora per Binet la tesi si riduce a:
$|B|*|I+B^(-1)A^(-1)BA|<=|A|*|I+(A^(-1))^2B^2|$
ove i determinanti dovrebbero essere più facili da controllare anche se i calcoli restano sempre tanti ($I$ è la matrice identità);
3) la tesi potrebbe derivare dallo svolgimento di un quadrato tipo questo:
$|(A-B)^2|= |A^2+B^2-AB-BA|>=0$
se solo si potesse spezzare il determinante in qualche maniera...
4) la soluzione brute force è a portata di mano con una mezz'oretta di calcoli ma di certo fare i calcoli non sarebbe una soluzione;
???????help!
1) se consideriamo A e B come matrici di endomorfismi il quesito è invariante per cambiamenti di base; ma se non sono nemmeno triangolabili questo non è un vantaggio utile;
2) supponiamo che A e B siano invertibili. Allora per Binet la tesi si riduce a:
$|B|*|I+B^(-1)A^(-1)BA|<=|A|*|I+(A^(-1))^2B^2|$
ove i determinanti dovrebbero essere più facili da controllare anche se i calcoli restano sempre tanti ($I$ è la matrice identità);
3) la tesi potrebbe derivare dallo svolgimento di un quadrato tipo questo:
$|(A-B)^2|= |A^2+B^2-AB-BA|>=0$
se solo si potesse spezzare il determinante in qualche maniera...
4) la soluzione brute force è a portata di mano con una mezz'oretta di calcoli ma di certo fare i calcoli non sarebbe una soluzione;
???????help!
Non vorrei sbagliare! C'è il teorema di Binet che afferma: $|AB|=|A|*|B|$. Se può servire!
Quello l'ho già provato ad utilizzare nel punto 2, Leo... cmq non sbagli! 
Più che altro sarebbe utile sapere (chi lo prova a verificare) se il determinante è una norma... la tesi poi potrebbe seguire facilmente dal punto 3.... forse....
Più che altro sarebbe utile sapere (chi lo prova a verificare) se il determinante è una norma... la tesi poi potrebbe seguire facilmente dal punto 3.... forse....
Hitleuler propone sempre quesiti sfiziosi. Bravo.
"Thomas":
Quello l'ho già provato ad utilizzare nel punto 2, Leo... cmq non sbagli!
Più che altro sarebbe utile sapere (chi lo prova a verificare) se il determinante è una norma... la tesi poi potrebbe seguire facilmente dal punto 3.... forse....
Cavolo non avevo proprio visto!
non c'è problema Leo....
cmq il det non è una norma: può assumere anche valori negativi!
... e ci sono anche altre cose che non funzionano... però cavoli... se Hitleuler lo indica con quella notazione forse perlomeno la triangolare ce l'ha.... boh!
cmq il det non è una norma: può assumere anche valori negativi!
... e ci sono anche altre cose che non funzionano... però cavoli... se Hitleuler lo indica con quella notazione forse perlomeno la triangolare ce l'ha.... boh!
"Thomas":
1) se consideriamo A e B come matrici di endomorfismi il quesito è invariante per cambiamenti di base; ma se non sono nemmeno triangolabili questo non è un vantaggio utile;
E perché mai dovrebbero NON esserlo? You know, I looove Schur's lemma...
"Thomas":
2) Supponiamo che A e B siano invertibili. Allora [...]
Idea interessante, se indovini il modo di portarla avanti...
"Thomas":
4) la soluzione brute force è a portata di mano con una mezz'oretta di calcoli ma di certo fare i calcoli non sarebbe una soluzione [...]
Moi e la brute force?
Ehm... Potrei anche offendermi per questo, sai? 
Mon Dieu, je suis l'elegance - et en tant que telle, je ne fais pas caca et je ne fais pas pipi...
azz.... mi sembrava il punto (3) quello più promettente e invece non l'hai nemmeno citato... mi spiace cmq che con questo post non aggiungo nuove idee... (del resto le avevo già finite con il primo post)
1) non conosco questo lemma di Shur (non mi pare che le matrici 2X2 siano sempre triangolabili sui reali), ma mi viene in mente che forse possiamo diagonalizzare almeno una delle due matrici a patto di lavorare con i complessi... possiamo? e ci sarà utile?
2) l'idea interessanre sarebbe considerare le due matrici invertibili oppure la scomposizione con la I che rende più controllabili i determinanti? No perchè da quanto scrivi sembrerebbe la prima, ma in realtà quella non è una idea, è solo una ipotesi che ho dovuto inserire per applicare Binet
4) non capisco il francese e quindi passo avanti sugli insulti che sicuramente hai fatto ... la prox volta magari utilizza il tedesco 
... cmq per intendersi la soluzione Brute force è scriversi la bella disequazione ad 8 incognite e risolverla.... ma non vorrei certo offenderti anche solo provando a fare i conti;
Ho l'impressione che qualcosa mi sia sfuggita........
1) non conosco questo lemma di Shur (non mi pare che le matrici 2X2 siano sempre triangolabili sui reali), ma mi viene in mente che forse possiamo diagonalizzare almeno una delle due matrici a patto di lavorare con i complessi... possiamo? e ci sarà utile?
2) l'idea interessanre sarebbe considerare le due matrici invertibili oppure la scomposizione con la I che rende più controllabili i determinanti? No perchè da quanto scrivi sembrerebbe la prima, ma in realtà quella non è una idea, è solo una ipotesi che ho dovuto inserire per applicare Binet
4) non capisco il francese e quindi passo avanti sugli insulti che sicuramente hai fatto
... la prox volta magari utilizza il tedesco ... cmq per intendersi la soluzione Brute force è scriversi la bella disequazione ad 8 incognite e risolverla.... ma non vorrei certo offenderti anche solo provando a fare i conti; Ho l'impressione che qualcosa mi sia sfuggita........
dai su qualche volenteroso che ci provi... sono curioso di vedere la sol... alla fine è solo una matrice 2X2....
Si potrebbe sapere perlomeno che conoscenze richiede la risoluzione di questo problema ?????????????
mi innervosisce vederlo irrisolto da una settimana.....
mi innervosisce vederlo irrisolto da una settimana.....
Inutile negarlo, sono una cara amica di gaussz che mi ha detto di postare la soluzione a questo problema che lui ha definito "quasi demenziale" e che merita una risoluzione (sappiate che io non c'entro ?!non ne capisco niente?!) e poi mi ha chiesto di scrivere perchè lo avete bannato dopo che è stato ripetutamente provocato e offeso dal modo di intervenire di HiTToLo (a suo parere inutile) e quindi costretto a sua volta a offendere, e di sapere se mai sarà riammesso e fra quanto tempo.
la sua soluzione è questa:
$AB-BA=-AB(B^(-1)A^(-1)BA-I)$ inoltre posto $C:=B^(-1)A^(-1)BA$ se det($C$)=1 allora triangolando C su ottengono tutti uno sulla diagonale quindi det(C-I)=0. e poi ha detto che ora bisogna dimostrare solo che det($A^2+B^2$)$>=$0 e che lo lascia a voi.
ciao! (chissà se mai tornerò su questo forum, gaussz me ne ha parlato molto male)
sonomatta
la sua soluzione è questa:
$AB-BA=-AB(B^(-1)A^(-1)BA-I)$ inoltre posto $C:=B^(-1)A^(-1)BA$ se det($C$)=1 allora triangolando C su ottengono tutti uno sulla diagonale quindi det(C-I)=0. e poi ha detto che ora bisogna dimostrare solo che det($A^2+B^2$)$>=$0 e che lo lascia a voi.
ciao! (chissà se mai tornerò su questo forum, gaussz me ne ha parlato molto male)
sonomatta
A dire la verità mi sento un pò offeso a sentire chiamare quasi demenziale un quesito che non ho risolto... io non ho mai detto nulla di questo tipo anche quando vedevo cadere altri su domande a mio parere facili... ... poi se qualcuno si degnasse di darmi un aiuto sarebbe bello !
Per il resto se proprio era così ovvio triangolarlo su C potevate dirlo... cmq la dimostrazione non è chiara:
1) se triangoli su C non è detto che hai 1 sulla diagonale ma potresti avere degli esponenziali...quindi che quel determinante risulti 0 non mi pare dimostrato...
*aggiunta:
2) poi applichi Binet considerando le matrici invertibili, il che limita le ipotesi del problema, come ho osservato in post precedenti;
poi si può lasciare al lettore tutto quello che si vuole...
edit: modificato qualche punto, ma il discorso generale è rimasto uguale;
... poi se qualcuno si degnasse di darmi un aiuto sarebbe bello ! Per il resto se proprio era così ovvio triangolarlo su C potevate dirlo... cmq la dimostrazione non è chiara:
1) se triangoli su C non è detto che hai 1 sulla diagonale ma potresti avere degli esponenziali...quindi che quel determinante risulti 0 non mi pare dimostrato...
*aggiunta:
2) poi applichi Binet considerando le matrici invertibili, il che limita le ipotesi del problema, come ho osservato in post precedenti;
poi si può lasciare al lettore tutto quello che si vuole...
edit: modificato qualche punto, ma il discorso generale è rimasto uguale;
ciao!
sarei pure io abbastanza curioso di sapere perché C triangolata avrebbe solo degli 1 sulla diagonale...
sarei pure io abbastanza curioso di sapere perché C triangolata avrebbe solo degli 1 sulla diagonale...
Ho cambiato qualche imprecisione nel post precedente che non andava molto bene, ma cmq il discorso è rimasto uguale. Gaussz se ho ben capito afferma che il det a destra è sempre 0 (tra l'altro senza neanche utilizzare l'ipotesi che le matrici siano 2X2)...
Associo alla matrice classica il vettore $(a_11,a_12,a_21,a_22)$ perchè non sò scrivere le matrici
Controesempio:
$A=(1,2,3,4)$
$B=(3,4,5,6)$
$AB=(13,16,29,36)$
$BA=(15,22,23,34)$
$AB-BA=(-2,-6,6,2)$
$det(AB-BA)=32!=0$
mi scuso per eventuali errori di calcolo!
Associo alla matrice classica il vettore $(a_11,a_12,a_21,a_22)$ perchè non sò scrivere le matrici
Controesempio:
$A=(1,2,3,4)$
$B=(3,4,5,6)$
$AB=(13,16,29,36)$
$BA=(15,22,23,34)$
$AB-BA=(-2,-6,6,2)$
$det(AB-BA)=32!=0$
mi scuso per eventuali errori di calcolo!
Quesito molto interessante, ma non si vede come uscirne !!!
Camillo
Camillo
"camillo":
Quesito molto interessante, ma non si vede come uscirne !!!
Certo, bisogna avere 10 decimi per vederlo... Però siamo d'accordo su un punto: il quesito è molto interessante!
"DavidHilbert":
[quote="camillo"]Quesito molto interessante, ma non si vede come uscirne !!!
Certo, bisogna avere 10 decimi per vederlo... Però siamo d'accordo su un punto: il quesito è molto interessante![/quote]
Dai su... se proprio non avete voglia di scrivere la sol date un hint, indicate quali sono i teoremi da seguire...
magari per qualcuno con più esperienza certe cose sono ovvie...
"Thomas":
Dai su... se proprio non avete voglia di scrivere la sol date un hint, indicate quali sono i teoremi da seguire... magari per qualcuno con più esperienza certe cose sono ovvie...
Perché usi il plurale? Qualcun altro saprebbe forse fornire una dimostrazione - a parte HiTToLo? Non ho letto per intero il thread, per cui può darsi mi sia sfuggito qualcosa. Se così, che diamine aspetta mai per mostrarcela?
ehm....scusa DavidHilbert avevo capito che tu avevi una soluzione... no al momento non ci sono soluzioni accettabili... e non si capisce quale sia l'approccio corretto...
ciao
ciao
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